Доказать что общий центр масс системы земля луна находится внутри земли

§ 12. СИСТЕМА «ЗЕМЛЯ — ЛУНА»

1. Основные движения Земли. Земля — это третья по удаленности от Солнца планета. Она движется со скоростью около 30 км/с вокруг Солнца по эллиптической орбите, мало отличающейся от окружности. Одно из доказательств обращения Земли вокруг Солнца — кажущееся ( параллактическое ) смещение ближайших к нам звезд. Впервые такие смещения удалось обнаружить лишь в 30-х гг. XIX в.

Второе основное движение Земли — вращение вокруг оси, наклоненной к плоскости орбиты под углом 66 ˚ 34′.

При движении Земли вокруг Солнца ось ее остается параллельной самой себе. Из курсов природоведения и естествознания вы знаете, что смена времен года на Земле как раз и является следствием указанных трех причин: обращения Земли вокруг Солнца, наклона земной оси к плоскости орбиты и сохранения направления оси в пространстве.

Кроме того, Земля движется в пространстве вместе со всей Солнечной системой и участвует во многих других движениях.

2. Форма Земли. Лишь в грубом приближении к действительности можно считать, что Земля — это шар, радиус которого определяется по формуле (21) методом, описанным в § 11.4. Однако геодезические измерения показали, что длина дуги 1° меридиана около экватора равна 110,6 км , а вблизи полюсов — 111,7 км , следовательно, Земля не шар, ее экваториальный радиус больше полярного .

Объясняется это тем, что Земля вследствие своего вращения вокруг оси сжата у полюсов и по форме близка к эллипсоиду вращения. Сжатие эллипсоида может быть вычислено по формуле:

, (24)

где ε — сжатие Земли; a — большая полуось земного эллипсоида; b — его малая полуось. Данные, основанные на наблюдениях движения искусственных спутников Земли, позволили уточнить результаты наземных геодезических измерений сжатия Земли.

Поскольку различие в экваториальном ( 6378,140 км ) и полярном ( 6356,755 км ) радиусах Земли небольшое ( 21,385 км ), то при решении многих астрономических задач Землю можно считать шаром со средним радиусом, равным 6371 км .

Зная средний радиус Земли и ее массу (как найти массу Земли, вы знаете из курса физики), легко вычислить среднюю плотность нашей планеты (5,5 · 10 3 кг/м 3 ).

3. Луна — спутник Земли. Луна — ближайшее к Земле небесное тело. Радиус Луны примерно в 4 раза, а масса в 81 раз меньше соответственно радиуса и массы Земли. По этим физическим характеристикам естественный спутник нашей планеты нельзя считать маленьким по сравнению с Землей. Строго говоря, по эллиптической орбите вокруг Солнца движется общий центр масс системы «Земля — Луна», находящийся внутри Земли. Систему «Земля — Луна» часто называют «двойной планетой».

Луна — не самосветящееся тело; она светит отраженным солнечным светом. В зависимости от положения, которое Луна занимает по отношению к Земле и Солнцу, мы видим то полную Луну ( полнолуние ), то половину видимого диска ( первая или последняя четверть ), то совсем не видим Луны ( новолуние ).

Рис. 28. Фазы луны.

Наблюдаемая с Земли освещенная часть лунного диска называется фазой Луны. Проследить смену лунных фаз можно по рисунку 28. В новолунии Луна бывает в то время, когда она располагается между Землей и Солнцем; в полнолунии Луна находится за Землей. После новолуния Луна «растет» от узкого серпа (направленного выпуклостью вправо) до полудиска (первая четверть) и далее до полного диска (полнолуние). После полнолуния Луна «убывает» до полудиска (выпуклость направлена влево, наступает последняя четверть), затем становится узким серпом и перестает быть видимой в новолунии. Полный цикл смен лунных фаз ( синодический месяц ) составляет примерно 29,5 сут (29,5 д ).

Угловой диаметр Луны на небесной сфере около 0,5° (≈30′). Но он не остается постоянным, а изменяется из-за эллиптичности орбиты (примерно 33′ в перигее и 29′ в апогее). Эксцентриситет лунной орбиты е = 0,05, а большая полуось эллипса — 384400 км (среднее расстояние Луны от Земли). Полный оборот вокруг Земли Луна совершает за 27,3 сут (27,З д , сидерический месяц ). За это же время Луна делает оборот вокруг своей оси, поэтому к Земле всегда обращено одно и то же полушарие Луны.

Как и все другие небесные тела, Луна участвует в суточном вращении небесной сферы. Но в отличие от планет и Солнца, более удаленных от Земли, Луна быстро перемещается на фоне звездного неба (13° за сутки) с запада на восток, т. е. в направлении, противоположном суточному вращению небесной сферы. Этим объясняется явление, которое вы сами можете обнаружить. Каждый вечер, отмечая по часам моменты верхней кульминации Луны, вы убедитесь, что Луна приходит к небесному меридиану с опозданием примерно на 50 мин (т. е. кульминирует сегодня на 50 мин позже, чем вчера).

4. Солнечные и лунные затмения. Когда Луна при своем движении вокруг Земли полностью или частично заслоняет Солнце, происходят солнечные затмения . Во время полного солнечного затмения (рис. 29) Луна закрывает весь диск Солнца (это возможно благодаря тому, что видимые диаметры Луны и Солнца почти одинаковы). Полное солнечное затмение можно наблюдать лишь из тех точек земной поверхности, где проходит полоса полной фазы . Так называется полоса, которую как бы прочерчивает по земной поверхности сходящийся конус лунной тени (см. рис. 29).

Рис. 29. Схема полного затмения Солнца.

По обе стороны полосы полной фазы происходит частное затмение Солнца, во время которого Луна заслоняет не весь солнечный диск, а лишь часть его. Наблюдается частное солнечное затмение из тех мест земной поверхности, которые охватывает расходящийся конус лунной полутени (см. рис. 29).

Ширина полосы полной фазы солнечного затмения и его продолжительность зависят от взаимных расстояний Солнца, Земли и Луны. Вследствие изменения расстояний видимый угловой диаметр Луны тоже изменяется. Когда он чуть больше солнечного, полное затмение Солнца может длиться до 7,5 мин, когда равен, то одно мгновение, если же он меньше, то Луна вообще не закрывает Солнце полностью. В последнем случае происходит кольцеобразное затмение: вокруг темного лунного диска видно узкое яркое солнечное кольцо.

Полное солнечное затмение — очень красивое явление. Во время затмения Солнце имеет вид черного диска, окруженного нежным сиянием ( короной ). Дневной свет настолько ослабевает, что иногда можно видеть на небе яркие звезды и планеты.

Полное солнечное затмение, которое можно было наблюдать с территории России (в некоторых ее южных районах) произошло 29 марта 2006 г .

Когда при движении вокруг Земли Луна попадает в конус земной тени, которую отбрасывает освещаемый Солнцем земной шар, происходит полное лунное затмение (рис. 30). Если же в тень Земли погружается лишь часть Луны, то происходит частное затмение Луны.

Рис. 30. Схема полного затмения Луны.

Полное лунное затмение может длиться примерно 1,5 — 2 ч (столько времени, сколько требуется Луне, чтобы пересечь конус земной тени). Его можно наблюдать со всего ночного полушария Земли, где Луна в момент затмения находится над горизонтом. Поэтому в данной местности полные лунные затмения удается наблюдать значительно чаще солнечных.

Во время полного лунного затмения Луны лунный диск остается видимым, но он приобретает обычно темно-красный оттенок. Это явление объясняется преломлением солнечных лучей в земной атмосфере. Проходя через земную атмосферу, солнечные лучи рассеиваются и преломляются. Причем рассеивается в основном коротковолновое излучение (соответствующее синему и голубому участкам спектра, чем и обусловлен голубой цвет нашего дневного неба), а преломляется длинноволновое (соответствующее красному участку спектра). Преломляясь в земной атмосфере, длинноволновое солнечное излучение попадает в конус земной тени и освещает Луну.

Легко сообразить, что солнечное затмение происходит, когда Луна бывает в новолунии, а лунное — когда в полнолунии. Однако далеко не в каждое новолуние и полнолуние происходят затмения. Дело в том, что плоскость, в которой Луна движется вокруг Земли, наклонена к плоскости эклиптики под углом примерно 5°. Чаще всего в году бывает только два солнечных и два лунных затмения. В 1982 г . было семь затмений — четыре частных солнечных и три полных лунных (это максимально возможное число затмений в год).

Еще древние астрономы заметили, что через определенный промежуток времени лунные и солнечные затмения повторяются в определенном порядке. Этот промежуток времени был назван сáросом (в переводе с египетского — повторение ). Существование сароса объясняется закономерностями, наблюдаемыми в движении Луны. Сарос составляет 6585,32 сут (≈18 лет 11 дней). В течение каждого сароса происходит 70 затмений, из них 42 солнечных и 28 лунных. Однако в данном месте Земли лунные затмения наблюдаются чаще, чем солнечные, так как лунные затмения видны со всего ночного полушария Земли. Полные солнечные затмения в данной точке земной поверхности видны не чаще одного раза в 200—300 лет.

Зная продолжительность сароса, можно приближенно предсказывать время наступления затмений. В настоящее время разработаны очень точные методы предсказания солнечных и лунных затмений. Астрономы неоднократно помогали историкам уточнять даты исторических событий, которые, по свидетельству летописей, совпадали с затмениями. В Москве очередное полное солнечное затмение будет наблюдаться 16 октября 2126 г .

В прошлом необычный вид Луны и Солнца во время затмений приводил людей в ужас. Жрецы, зная о повторяемости этих явлений, использовали их для подчинения и устрашения людей, приписывая затмения сверхъестественным силам. Давно уже перестала быть тайной причина затмений. Наблюдения затмений позволяют ученым получать важные сведения об атмосферах Земли и Солнца, а также о движении Луны. Во время полных затмений Солнца создаются условия, благоприятные для наблюдения отклонения луча света звезды в поле тяготения Солнца. Это позволяет получить одно из важнейших доказательств теории тяготения Эйнштейна (общей теории относительности).

Источник

Где находится центр масс системы Земля – Луна?

Центр масс системы Земля – Луна, так называемый барицентр, находится на расстоянии 4672 километра от центра Земли по направлению к Луне, то есть на глубине приблизительно 1700 километров под поверхностью Земли. Строго говоря, по эллиптической орбите вокруг Солнца движется не Земля, а барицентр, при этом Земля и Луна обращаются относительно барицентра, совершая полный оборот за лунный месяц.

Фокус Земля-Луна

Земля-луна центр тяжести является общим центром тяжести ( барицентра ) в системе Земля-Луна . Хотя Луна с Земли, видимая из ( геоцентрической точки ), кажется, вращается вокруг центра Земли , тем не менее, и Земля, и Луна вокруг их общего центра масс и — вращаются — в созерцании неподвижной системы Солнца. Из-за огромной массы Земли он все еще находится внутри Земли (точнее: в мантии Земли ), но не совпадает с центром Земли .

Лунная орбита не круг, но приблизительно эллиптический с земной луной центром тяжести при фокальной точке эллипса . Из-за эксцентриситета лунной орбиты расстояние Земля-Луна варьируется более чем на 13 процентов от (в среднем) от 356 410 до 406 740 км в ритме аномального месяца . Таким образом, и Луна, и центр Земли находятся на разном расстоянии от центра тяжести Земля-Луна.

Система Земля-Луна с центром тяжести Земля-Луна в качестве общего центра тяжести вращается вокруг Солнца в целом .

содержание

Основы

Тела вращающихся в невесомости состояния всегда вращаются вокруг своего центра масс . По отношению к внешним силам центр тяжести движется так, как если бы в нем объединилась вся масса тела. Например, центр тяжести брошенного вверх молота движется точно по параболе, в то время как молот вращается вокруг центра тяжести рядом с головкой молота.

То же самое относится к «двойному телу » (системе двух тел ), состоящему из двух небесных тел, таких как Б. Земля и Луна: их движение в космосе можно разбить на

движение общего центра тяжести по кеплеровской эллиптической орбите вокруг Солнца под действием прилагаемой им силы тяжести ; « земная орбита » вокруг Солнца на самом деле является орбитой центра тяжести Земля-Луна .
вращение Земли и Луны вокруг общего центра тяжести. Вращение друг вокруг друга приводит к тому, что Земля вращается по своей орбите вокруг Солнца в радиальном и вертикальном направлениях. Этот эффект называется месячными или лунными орбитальными возмущениями (англ. Lunar perturbation ) Земли или земными возмущениями Луны. Как и фазы луны, их период составляет около 29½ дней.

расчет

В первом приближении достаточно рассматривать Землю и Луну как точечные массы. Положение общего центра тяжести на линии, соединяющей два центра масс, определяется в соответствии с определением центра масс как расстояния от центра Земли и как расстояния от центра Луны : р Э. <\ displaystyle r _ <\ mathrm >> р М. <\ displaystyle r _ <\ mathrm >>

р Э. знак равно р м М. м Э. + м М. <\ displaystyle r _ <\ mathrm > = r \, <\ frac >> > + m _ <\ mathrm > >>> р М. знак равно р м Э. м Э. + м М. <\ displaystyle r _ <\ mathrm > = r \, <\ frac >> > + m _ <\ mathrm > >>>

точечная масса земли м Э. <\ displaystyle m _ <\ mathrm >>
точечная масса луны м М. <\ Displaystyle м _ <\ mathrm >>
их среднее расстояние между ними р знак равно р Э. + р М. ≈ 384 000 км <\ displaystyle r = r _ <\ mathrm > + r _ <\ mathrm > \ около 384 000 \; <\ text >>

Поскольку массы Земли и Луны находятся в соотношении примерно 81: 1:

м Э. ≈ 81 год ⋅ м М. <\ displaystyle m _ <\ mathrm > \ около 81 \ cdot m _ <\ mathrm >>

их общий центр тяжести находится примерно на одной восьмидесяти секунде расстояния между двумя центрами масс вне центра масс Земли:

⇒ р Э. ≈ 1 81 год + 1 ⋅ р ≈ 384 000 км 82 <\ displaystyle \ Rightarrow r _ <\ mathrm > \ приблизительно <\ frac <1><81 + 1>> \ cdot r \ приблизительно <\ frac <384 000 \; <\ text >> <82 >>>

Таким образом, это примерно 4700 км от центра Земли в направлении Луны или примерно 1700 км ниже поверхности Земли.

Радиальное колебание

В то время как орбита общего центра тяжести вокруг Солнца представляет собой почти идеальный кеплерэллипс, Земля покидает эту орбиту на расстояние до 4700 км. В результате получается пульсация примерно 0,03 ‰ (как частное из 4700 км и среднего расстояния от Солнца до Земли в одну а.е. ) — отклонение, которое невозможно увидеть в точном масштабе.

Однако с Луной колебание все еще составляет 1,2%. Так как земля позади центра на орбите , как видна с Луны, разница между орбитой осью с орбитой Луны и его линейный эксцентриситет 4700 км или 1,2% меньше , чем расстояние перигея и сумма лунной орбиты оси и его линейный эксцентриситет 4700 км, что на 1,2% меньше апогея .

И наоборот, расстояние от центра Земли до центра тяжести Земля-Луна колеблется на 1,2%, то есть примерно на ± 60 км в ритме аномального (кеплеровского) периода обращения Луны.

Вертикальное колебание

В вертикальном направлении колебания менее выражены, чем в радиальном направлении. Плоскость лунной орбиты наклонена примерно на 5 ° к плоскости эклиптики — плоскости вращения Земля-Солнце . Луна движется на одной половине своей орбиты вокруг Земли выше, а в течение другой половины ниже плоскости эклиптики, Земля по другую сторону барицентра движется по другую сторону плоскости эклиптики; Когда вы бежите через другую половину трассы, для обоих тел все наоборот. Из-за относительно небольшого угла наклона и близости Земли к барицентру это колебание Земли составляет всего несколько сотен километров.

Источник

➤

Доказать что общий центр масс системы земля луна находится внутри земли