Эратосфен расстояние до луны

Эратосфен расстояние до луны

§ 13. О пределение расстояний и размеров тел в С олнечной системе

1. Форма и размеры Земли

П редставление о Земле как о шаре, который свободно, без всякой опоры находится в космическом пространстве, является одним из величайших достижений науки древнего мира.

Считается, что первое достаточно точное определение размеров Земли провёл греческий учёный Эратосфен (276—194 до н. э.), живший в Египте. Идея, положенная в основу измерений Эратосфена, весьма проста: измерить длину дуги земного меридиана в линейных единицах и определить, какую часть полной окружности эта дуга составляет. Получив эти данные, можно вычислить длину дуги в 1 ° , а затем длину окружности и величину её радиуса, т. е. радиуса земного шара. Очевидно, что длина дуги меридиана в градусной мере равна разности географических широт двух пунктов: ϕ B – ϕ A .

Рис. 3.8. Способ Эратосфена

Для того чтобы определить эту разность, Эратосфен сравнил полуденную высоту Солнца в один и тот же день в двух городах, находящихся на одном меридиане. Измерив высоту Солнца h B (рис. 3.8) в полдень 22 июня в Александрии, где он жил, Эратосфен установил, что Солнце отстоит от зенита на 7,2 ° . В этот день в полдень в городе Сиена (ныне Асуан) Солнце освещает дно самых глубоких колодцев, т. е. находится в зените ( h A = 90 ° ). Следовательно, длина дуги составляет 7,2 ° . Расстояние между Сиеной ( A ) и Александрией ( B ) около 5000 греческих стадий — l .

Стадией в Древней Греции считалось расстояние, которое проходит легко вооружённый греческий воин за тот промежуток времени, в течение которого Солнце, коснувшееся горизонта своим нижним краем, целиком скроется за горизонт.

Несмотря на кажущееся неудобство такой единицы и достаточную громоздкость словесного определения, её введение выглядело вполне оправданным, учитывая, что строгая периодичность небесных явлений позволяла использовать их движение для счёта времени.

Обозначив длину окружности земного шара через L , получим такое выражение:

= ,

откуда следует, что длина окружности земного шара равняется 250 тыс. стадий.

Точная величина стадии в современных единицах неизвестна, но, зная, что расстояние между Александрией и Асуаном составляет 800 км, можно полагать, что 1 стадия = 160 м. Результат, полученный Эратосфеном, практически не отличается от современных данных, согласно которым длина окружности Земли составляет 40 тыс. км.

Эратосфен ввёл в практику использование терминов «широта» и «долгота». Видимо, появление этих терминов связано с особенностями формы карт того времени: они повторяли по очертаниям побережье Средиземного моря, которое длиннее по направлению запад—восток (по долготе), чем с севера на юг (по широте).

Рис. 3.9. Параллактическое смещение

Определить географическую широту двух пунктов оказывается гораздо проще, чем измерить расстояние между ними. Зачастую непосредственное измерение кратчайшего расстояния между этими пунктами оказывается невозможным из-за различных естественных препятствий (гор, рек и т. п.). Поэтому применяется способ, основанный на явлении параллактического смещения и предусматривающий вычисление расстояния на основе измерений длины одной из сторон (базиса — BC ) и двух углов B и C в треугольнике ABC (рис. 3.9).

Параллактическим смещением называется изменение направления на предмет при перемещении наблюдателя.

Чем дальше расположен предмет, тем меньше его параллактическое смещение, и чем больше перемещение наблюдателя (базис измерения), тем больше параллактическое смещение.

Рис. 3.10. Схема триангуляции

Для определения длины дуги используется система треугольников — способ триангуляции , который впервые был применён ещё в 1615 г. Пункты в вершинах этих треугольников выбираются по обе стороны дуги на расстоянии 30—40 км друг от друга так, чтобы из каждого пункта были видны по крайней мере два других. Основой для вычисления длин сторон во всех этих треугольниках является размер базиса AC (рис. 3.10). Точность измерения базиса длиной в 10 км составляет около 1 мм. Во всех пунктах устанавливают геодезические сигналы — вышки высотой в несколько десятков метров. С вершины сигнала с помощью угломерного инструмента ( теодолита ) измеряют углы между направлениями на два-три соседних пункта. Измерив углы в треугольнике, одной из сторон которого является базис, геодезисты получают возможность вычислить длину двух других его сторон. Проводя затем измерение углов из пунктов, расстояние между которыми вычислено, можно узнать длину двух очередных сторон в треугольнике. Зная длину сторон этих треугольников, можно определить длину дуги AB .

В какой степени форма Земли отличается от шара, выяснилось в конце XVIII в. Для уточнения формы Земли Французская академия наук снарядила сразу две экспедиции. Одна из них работала в экваториальных широтах Южной Америки в Перу, другая — вблизи Северного полярного круга на территории Финляндии и Швеции. Измерения показали, что длина одного градуса дуги меридиана на севере больше, чем вблизи экватора. Последующие исследования подтвердили, что длина дуги одного градуса меридиана увеличивается с возрастанием географической широты. Это означало, что форма Земли — не идеальный шар: она сплюснута у полюсов. Её полярный радиус на 21 км короче экваториального.

Для школьного глобуса масштаба 1 : 50 000 000 отличие этих радиусов будет всего 0,4 мм, т. е. совершенно незаметно.

Отношение разности величин экваториального и полярного радиусов Земли к величине экваториального называется сжатием . По современным данным, оно составляет , или 0,0034. Это означает, что сечение Земли по меридиану будет не окружностью, а эллипсом, у которого большая ось проходит в плоскости экватора, а малая совпадает с осью вращения.

В XX в. благодаря измерениям, точность которых составила 15 м, выяснилось, что земной экватор также нельзя считать окружностью. Сплюснутость экватора составляет всего (в 100 раз меньше сплюснутости меридиана). Более точно форму нашей планеты передаёт фигура, называемая эллипсоидом, у которого любое сечение плоскостью, проходящей через центр Земли, не является окружностью.

В настоящее время форму Земли принято характеризовать следующими величинами:

сжатие эллипсоида — 1 : 298,25;

средний радиус — 6371,032 км;

длина окружности экватора — 40075,696 км.

2. Определение расстояний в Солнечной системе. Горизонтальный параллакс

И змерить расстояние от Земли до Солнца удалось лишь во второй половине XVIII в., когда был впервые определён горизонтальный параллакс Солнца. По сути дела, при этом измеряется параллактическое смещение объекта, находящегося за пределами Земли, а базисом является её радиус.

Горизонтальным параллаксом ( p) называется угол, под которым со светила виден радиус Земли, перпендикулярный лучу зрения (рис. 3.11) .

Рис. 3.11. Горизонтальный параллакс светила

Из треугольника OAS можно выразить величину — расстояние OS = D :

D = ,

где R — радиус Земли. По этой формуле можно вычислить расстояние в радиусах Земли, а зная его величину, — выразить расстояние в километрах.

Очевидно, что чем дальше расположен объект, тем меньше его параллакс. Наибольшее значение имеет параллакс Луны, который меняется в связи с тем, что Луна обращается по эллиптической орбите, и в среднем составляет 57 ʹ . Параллаксы планет и Солнца значительно меньше. Так, параллакс Солнца равен 8,8 ʺ . Такому значению параллакса соответствует расстояние до Солнца, примерно равное 150 млн км. Это расстояние принимается за одну астрономическую единицу (1 а. е.) и используется при измерении расстояний между телами Солнечной системы.

Известно, что для малых углов sin p ≈ p , если угол p выражен в радианах. В одном радиане содержится 206 265 ʺ . Тогда, заменяя sin p на p и выражая этот угол в радианной мере, получаем формулу в виде, удобном для вычислений:

D = R ,

или (с достаточной точностью)

D = R .

Во второй половине XX в. развитие радиотехники позволило определять расстояния до тел Солнечной системы посредством радиолокации . Первым объектом среди них стала Луна. Затем радиолокационными методами были уточнены расстояния до Венеры, Меркурия, Марса и Юпитера. На основе радиолокации Венеры величина астрономической единицы определена с точностью порядка километра. Столь высокая точность определения расстояний — необходимое условие для расчётов траекторий полёта космических аппаратов, изучающих планеты и другие тела Солнечной системы. В настоящее время благодаря использованию лазеров стало возможным провести оптическую локацию Луны. При этом расстояния до лунной поверхности измеряются с точностью до сантиметров.

П РимеР РешениЯ задаЧи

На каком расстоянии от Земли находится Сатурн, когда его горизонтальный параллакс равен 0,9 ʺ ?

Известно, что параллакс Солнца на расстоянии в 1 а. е. равен 8,8 ʺ .

Тогда, написав формулы для расстояния до Солнца и до Сатурна и поделив их одна на другую, получим:

= .

D 1 = = = 9,8 а. е.

Ответ : D 1 = 9,8 а. е.

3. Определение размеров светил

Рис. 3.12. Угловые размеры светила

З ная расстояние до светила, можно определить его линейные размеры, если измерить его угловой радиус ρ (рис. 3.12). Формула, связывающая эти величины, аналогична формуле для определения параллакса:

D = .

Учитывая, что угловые диаметры даже Солнца и Луны составляют примерно 30 ʹ , а все планеты видны невооружённым глазом как точки, можно воспользоваться соотношением: sin ρ ≈ ρ . Тогда:

D = и D = .

r = R .

Если расстояние D известно, то

где величина ρ выражена в радианах.

П РимеР РешениЯ задаЧи

Чему равен линейный диаметр Луны, если она видна с расстояния 400 000 км под углом примерно 30 ʹ ?

Если ρ выразить в радианах, то

d = = 3490 км.

Ответ : d = 3490 км.

В опросы 1. Какие измерения, выполненные на Земле, свидетельствуют о её сжатии? 2. Меняется ли и по какой причине горизонтальный параллакс Солнца в течение года? 3. Каким методом определяется расстояние до ближайших планет в настоящее время?

У пражнение 11 1. Чему равен горизонтальный параллакс Юпитера, наблюдаемого с Земли в противостоянии, если Юпитер в 5 раз дальше от Солнца, чем Земля? 2. Расстояние Луны от Земли в ближайшей к Земле точке орбиты (перигее) 363 000 км, а в наиболее удалённой (апогее) — 405 000 км. Определите горизонтальный параллакс Луны в этих положениях. 3. Во сколько раз Солнце больше, чем Луна, если их угловые диаметры одинаковы, а горизонтальные параллаксы равны 8,8 ʺ и 57 ʹ соответственно? 4. Чему равен угловой диаметр Солнца, видимого с Нептуна?

Источник

Измерения Солнца, Луны и Земли

Одним из самых выдающихся достижений астрономии Древней Греции является успешное измерение размеров Земли, Солнца и Луны, а также расстояний от Земли до Луны и Солнца. Успех заключался не в том, что полученные величины были точными – они были далеки от точности. Наблюдения, на которых основывались вычисления, были слишком грубы, чтобы служить верными исходными данными. Но это был первый случай, когда математику использовали правильным образом, чтобы дать количественную характеристику объектам окружающего мира.

Сперва было необходимо понять природу таких явлений, как затмения Солнца и Луны, а также уяснить, что Земля имеет форму шара. И христианский мученик Ипполит Римский, и часто цитируемый философ Аэций, годы жизни которого точно неизвестны, приписывают самое раннее открытие истинных причин затмений Анаксагору, греку-ионийцу, рожденному около 500 г. до н. э. в Клазоменах близ Смирны, который занимался преподаванием наук и философии в Афинах[84]. Возможно, опираясь на подмеченный Парменидом факт, что освещенная сторона Луны всегда обращена к Солнцу, Анаксагор заключил, что «лишь Солнце дарует Луне ее свечение»[85]. Отсюда было естественным заключить, что затмения Луны происходят в те моменты, когда она проходит сквозь тень Земли. Также полагают, что он понял тот факт, что затмения Солнца происходят там, где тень Луны падает на поверхность Земли.

В вопросе определения формы Земли Аристотель продемонстрировал блестящую комбинацию наблюдательности и анализа. Диоген Лаэртский и древнегреческий географ Страбон писали, что еще Парменид задолго до Аристотеля учил, что Земля – это шар, но мы не знаем, как и почему Парменид пришел к такому выводу (если это вообще правда). Аристотель же в трактате «О небе» приводит и теоретические, и эмпирические аргументы в пользу шарообразной формы Земли. Как мы уже видели в главе 3, согласно априорной теории материи Аристотеля, тяжелые элементы, такие как земля и (в меньшей степени) вода, стремятся оказаться в центре мироздания, в то время как воздух или (в еще большей степени) огонь стремятся прочь от него. Земля является шаром, центр которого совпадает с центром всего космоса, потому что это расположение позволяет наибольшему количеству тяжелого вещества оказываться в положенном ему месте, ближе к центру. Аристотель не стал полагаться лишь на один этот аргумент, а добавил эмпирические свидетельства сферической формы земной поверхности. Тень Земли, отбрасываемая на Луну во время лунного затмения, искривлена[86], и наблюдаемое положение звезд на небе меняется в зависимости от того, путешествует наблюдатель на север или на юг:

«… в затмениях терминирующая линия всегда дугообразна. Следовательно, раз Луна затмевается потому, что ее заслоняет Земля, то причина [такой] формы – округлость Земли, и Земля шарообразна. Во-вторых, наблюдение звезд с очевидностью доказывает не только то, что Земля круглая, но и то, что она небольшого размера. Стоит нам немного переместиться к югу или северу, как горизонт явственно становится другим: картина звездного неба над головой существенно меняется, и при переезде на север или на юг видны не одни и те же звезды. Так, некоторые звезды, видимые в Египте и в районе Кипра, не видны в северных странах, а звезды, которые в северных странах видны постоянно, в указанных областях заходят»[87].

Подход Аристотеля к математике хорошо иллюстрирует то, что он даже не попытался использовать наблюдения звезд для того, чтобы количественно оценить размер Земли. Кроме этого, я нахожу загадочным то, что Аристотель ничего не говорит о явлении, знакомом каждому моряку. Когда наблюдатель замечает судно в море в ясный день на большом расстоянии, он видит его с «корпусом под горизонтом» – кривизна земной поверхности скрывает все, кроме верхушек мачт удаленного судна. И только по мере приближения далекое судно становится видимым целиком[88].

То, что Аристотель понял, что Земля имеет шарообразную форму, было немалым достижением. Анаксимандр думал, что Земля имеет форму цилиндра и что мы живем на одной из плоских частей его поверхности. По мнению Анаксимена, Земля плоская, а Солнце, Луна и звезды парят над ней в воздухе, скрываясь от нас иногда за возвышенными частями Земли. Ксенофан писал: «Этот верхний конец земли мы зрим под ногами, // Воздуху он сопределен, а низ в бесконечность уходит»[89]. Позднее и Демокрит, и Анаксагор вслед за Анаксименом думали, что Земля плоская.

Полагаю, что настойчивое возвращение к идее плоской Земли проистекает из очевидной проблемы восприятия Земли шарообразной: если Земля – шар, то почему не падают те, кто перемещается по ее поверхности? Аристотелева теория строения материи давала на это удобный ответ. Аристотель осознавал, что не существует всеобщего направления «вниз», в котором движутся все падающие где-либо предметы. Вместо этого везде на Земле то, что сложено из тяжелых элементов – земли и воды, стремится упасть ближе к центру мира, что и подтверждается наблюдениями.

В этом отношении теория Аристотеля о естественном месте тяжелых элементов в центре космоса работала так же, как и нынешняя теория всемирного тяготения, с одним важным отличием: по Аристотелю, у мироздания был лишь один-единственный центр, а сейчас мы понимаем, что любая достаточно большая масса стремится приобрести форму шара под действием своей собственной силы тяготения и далее притягивает прочие тела в направлении к своему центру. Теория Аристотеля не объясняла, почему что-то еще, кроме Земли, должно иметь форму шара, хотя он знал, что как минимум Луна имеет такую форму, что наглядно видно по смене ее фаз в цикле от новолуния до полнолуния и обратно[90].

После Аристотеля точка зрения о том, что Земля – шар, стала общепризнанной среди астрономов и философов (кроме отдельных деятелей вроде Лактанция). Мощный ум Архимеда усмотрел сферическую поверхность земного шара даже в стакане воды. В книге первой своего труда «О плавающих телах» он демонстрирует, что «поверхность любой покоящейся жидкости есть сфера, центр которой совпадает с центром Земли»[91]. (Хотя это было бы правдой лишь в отсутствие силы поверхностного натяжения, которую Архимед игнорировал.)

Теперь я перехожу к самому впечатляющему во многих отношениях примеру применения математики в естествознании Древнего мира – работе Аристарха Самосского. Аристарх родился около 310 г. до н. э. на населенном ионийцами острове Самос, учился у Стратона из Лампсака, третьего директора афинского Ликея, и впоследствии работал в Александрии до своей смерти около 230 г. до н. э. К счастью, текст его труда «О величинах и расстояниях Солнца и Луны» сохранился до наших дней[92]. В нем Аристарх основывается как на постулатах на четырех астрономических наблюдательных фактах:

1. «В фазе первой четверти Луны ее угловое расстояние от Солнца на одну тридцатую квадранта меньше, чем целый квадрант». (То есть, когда Луна выглядит как полукруг, угол между направлениями на Луну и на Солнце на 3° меньше 90°, составляя 87°.)

2. «Диск Луны точно закрывает видимый диск Солнца во время солнечного затмения, имея тот же размер».

3. «Ширина земной тени равна двойной ширине диска Луны». (Проще всего это геометрически интерпретировать таким образом: если на место Луны поместить сферу в два раза большего диаметра, чем Луна, она точно заполнит пространство земной тени во время лунного затмения. Возможно, это было определено путем сравнения промежутков времени от момента начала покрытия Луны тенью Земли до полного ее вхождения в тень; пребывания Луны внутри полной тени; от начала выхода Луны из тени до полного окончания затмения.)

4. «Размер Луны равен одной пятнадцатой части зодиака». (Весь зодиак – это полная окружность в 360°, но, очевидно, здесь Аристарх имел в виду один отдельно взятый зодиакальный знак. Поскольку зодиак состоит из 12 созвездий, один знак занимает в угловом измерении 360°/12 = 30°, а 1/15 часть от этого угла равняется 2°.)

Исходя из вышесказанного, Аристарх заключил, что:

1. Расстояние от Земли до Солнца не менее чем в 19 и не более чем в 20 раз больше расстояния от Земли до Луны.

2. Диаметр Солнца не менее чем в 19 и не более чем в 20 раз больше диаметра Луны.

3. Диаметр Земли не менее чем в 108/43 и не более чем в 60/19 раз больше диаметра Луны.

4. Расстояние от Земли до Луны не более чем в 30 и не менее чем в 45/2 раз больше диаметра Луны.

Когда Аристарх проводил эти вычисления, тригонометрия еще не была известна, поэтому ему приходилось прибегать к сложным геометрическим построениям, чтобы получить эти нижние и верхние предельные значения. Сегодня с использованием методов тригонометрии мы можем получить более точные результаты. Например, из исходного положения 1 можно заключить, что расстояние от Земли до Солнца относится к расстоянию от Земли до Луны как секанс (функция, обратная косинусу) угла 87°, то есть 19,1 – это значение действительно находится между 19 и 20. (Это и другие заключения Аристарха повторно выводятся с помощью современной методики в техническом замечании 11.)

Исходя из полученных результатов, Аристарх смог вывести размеры Солнца и Луны, а также их расстояния от Земли, выраженные в единицах диаметра земного шара. В частности, совмещая выводы 2 и 3, Аристарх заключил, что диаметр Солнца не менее чем в 361/60 и не более чем в 251/27 раз больше диаметра Земли.

Выкладки Аристарха были математически безупречны, но полученные им результаты очень сильно ушли от истинных величин, потому что в его наборе исходных данных положения 1 и 4 содержали серьезные ошибки. В середине первой четверти угол между направлениями на Солнце и на Луну в действительности составляет не 87°, а 89,853°, и это значит, что Солнце находится от Земли в 390 раз дальше, чем Луна, то есть значительно дальше, чем думал Аристарх. Измерить этот угол с требуемой точностью невооруженным глазом было невозможно, хотя Аристарх верно утверждал, что в момент середины первой четверти он не меньше чем 87°. И, кроме того, видимый угловой размер диска Луны образует угол 0,519°, а не 2°, что дает расстояние от Земли до Луны, близкое к 111 диаметрам Луны. Аристарх определенно мог бы измерить этот угол лучше, и в труде Архимеда «Псаммит» (или «Исчисление песчинок») содержится намек на то, что впоследствии Аристарх так и сделал[93].

Тем не менее не наличие ошибок в измерении отличает научный подход Аристарха от современных методов. Время от времени серьезные ошибки в данных продолжают появляться и в наблюдательной астрономии, и в экспериментальной физике. Например, в 1930-х гг. считалось, что Вселенная расширяется в 7 раз быстрее истинной скорости расширения, известной сегодня. На самом деле отличие Аристарха от нынешних астрономов и физиков не в том, что его данные содержали ошибку, а в том, что он ни разу не попытался оценить их погрешность и вообще не признавал того факта, что они могут быть неточными.

Теперь физики и астрономы с полной серьезностью относятся к погрешностям эксперимента. Даже несмотря на то, что еще студентом я знал, что хочу стать физиком-теоретиком и не заниматься экспериментами, мне приходилось делать лабораторные работы, как и всем студентам-физикам в Корнелле. Большую часть времени на этом курсе мы занимались оценкой погрешности своих измерений. Но если рассматривать этот вопрос в контексте истории науки, то ученые стали сравнительно недавно обращать на него внимание. Насколько мне известно, ни в древности, ни в Средневековье никто не относился серьезно к ошибкам измерений. Как мы увидим в главе 14, даже Ньютон лихо игнорировал неточности наблюдений.

На примере труда Аристарха мы наблюдаем пагубный эффект раздутого престижа математики. Его текст напоминает «Начала» Евклида: данные в положениях 1–4 он принимает за постулаты, исходя из которых, используя строгие математические методы, приходит к некоторым выводам. Эффект ошибки наблюдений в его заключениях намного превысил те пределы допущения для размеров и расстояний, которые он жестко обосновал. Может быть, Аристарх не хотел сказать, что угол между направлениями на Луну и Солнце в момент середины четверти составляет ровно 87°, а лишь взял такое значение для примера, чтобы показать, какие выводы можно из этого сделать. Не зря современники прозвали Аристарха Математиком, в то время, как у его учителя Стратона было прозвище Физик.

Тем не менее Аристарх сделал один важный качественный вывод: Солнце значительно больше Земли. Подчеркивая этот факт, Аристарх рассчитал, что объем Солнца как минимум в (361/60)³ раз (около 218 раз) больше объема Земли. Конечно, мы знаем теперь, что разница гораздо значительнее.

И Архимед, и Плутарх оставили интригующие свидетельства того, что Аристарх, посчитав, что Солнце огромно, решил, что не Солнце обращается вокруг Земли, а Земля вокруг Солнца. Как пишет Архимед в своем «Псаммите»[94], Аристарх не только сделал вывод, что Земля обращается вокруг Солнца, но и что размер земной орбиты ничтожно мал по сравнению с расстоянием до неподвижных звезд. Похоже, что Аристарх столкнулся с проблемой, которая появляется при рассмотрении любой теории движения Земли. Когда мы, например, вертимся на карусели[95], окрестные наземные предметы с нашей точки зрения двигаются то в одну сторону, то в другую. Точно так же и звезды должны двигаться то вперед, то назад по мере того, как мы их наблюдаем в течение года с движущейся Земли. По всей видимости, Аристотель понимал это, когда оставил замечание, что если бы Земля двигалась, то «… должны происходить отклонения и попятные движения неподвижных звезд. Однако этого не наблюдается: одни и те же звезды всегда восходят и заходят в одних и тех же местах Земли»[96]. Точнее говоря, если Земля обращается вокруг Солнца, то каждая звезда должна описывать в небе замкнутую кривую, размер которой зависит от отношения диаметра орбиты Земли вокруг Солнца к расстоянию до этой звезды.

Так почему, если Земля обращается вокруг Солнца, астрономы древности не наблюдали этого перемещения звезд, известного как годичный параллакс? Чтобы параллакс оставался слишком маленьким для возможности его пронаблюдать, было необходимо предположить, что звезды находятся на очень больших расстояниях. К сожалению, в «Псаммите» Архимед ни разу явно не говорит о параллаксе, и мы не знаем, использовал ли кто-либо в древности этот аргумент для того, чтобы оценить минимально возможное расстояние до звезд.

Аристотель приводил и другие аргументы против гипотезы движущейся Земли. Некоторые опирались на теорию о том, что естественное движение направлено в центр мироздания, как описывалось в главе 3, но другие были основаны на наблюдательных фактах. Аристотель говорил, что если Земля находится в движении, то тела, подброшенные вертикально вверх, отстанут от двигающейся Земли и должны будут упасть не в то же самое место, откуда их подбросили. Вместо этого, как он отмечает, «… тяжести, силой бросаемые вверх, падают снова на то же место отвесно, даже если сила забросит их на бесконечно большое расстояние»[97]. Этот аргумент повторялся разными мыслителями много раз, например, Клавдием Птолемеем (знакомым нам по главе 4) около 150 г., затем Жаном Буриданом в Средние века, до тех пор, пока (как мы увидим в главе 10) настоящий ответ на него не был дан Николаем Оремом.

Судить о том, как широко была распространена идея движущейся Земли в античности, было бы можно, если бы сохранилось хорошее описание древнего планетария, механической модели Солнечной системы[98]. Цицерон в диалоге «О государстве» пересказывает разговор, имеющий предметом такой планетарий, состоявшийся в 129 г. до н. э., за двадцать три года до рождения самого Цицерона. В нем Луцию Фурию Филу принадлежат слова о механическом планетарии, созданном Архимедом, который был взят завоевателем Марцеллом в качестве трофея во время падения Сиракуз и который он якобы видел в свое время в доме внука того Марцелла. Трудно судить по информации из третьих рук о том, как именно работал этот механизм (вдобавок в этой части диалога «О государстве» не хватает некоторых страниц), но в одном месте у Цицерона Фил говорит, что это была «такая сфера, на которой были бы представлены движения Солнца, Луны и пяти звезд, называемых странствующими [планетами]»[99], что дает основания думать, что в конструкции планетария Солнце двигалось, а Земля покоилась.

Как я расскажу в главе 8, задолго до Аристарха пифагорейцы считали, что и Земля, и Солнце обращаются вокруг центрального огня. Они ничем не подтверждали свое мнение, но почему-то их рассуждения вспоминались чаще, чем почти забытые идеи Аристарха. Лишь об одном древнегреческом астрономе известно, что он воспринял гелиоцентризм Аристарха: это был таинственный Селевк из Селевкии, живший в середине II в. до н. э. Во времена Коперника и Галилея астрономы и представители Церкви, рассуждающие о Земле, находящейся в движении, называли ее пифагорейской, а не аристарховой. Приехав на остров Самос в 2005 г., я обратил внимание, что там полно баров и ресторанов, названных в честь Пифагора, но нет ни одного, названного в память об Аристархе Самосском.

Легко понять, почему идея движения Земли не закрепилась в античности. Мы не ощущаем этого движения, и вплоть до XIV в. никто не понимал, что нет причины, по которой мы должны были бы чувствовать его. К тому же ни Архимед, ни кто-либо другой не оставили свидетельств того, что Аристарх показывал, как должны выглядеть движения планет с Земли, которая движется сама.

Измерение расстояния между Землей и Луной было повторено со значительно лучшей точностью Гиппархом, которого принято считать лучшим астрономом-наблюдателем Древнего мира[100]. Гиппарх занимался астрономическими наблюдениями в Александрии с 161 по 146 г. до н. э., а затем продолжал их вплоть до 127 г. до н. э., вероятно, на острове Родос. Почти все им написанное было утрачено, и мы знаем о его вкладе в астрономию в основном по свидетельствам Клавдия Птолемея, жившего на три столетия позднее. Один из расчетов Гиппарха базировался на наблюдении полного солнечного затмения, которое, как мы теперь знаем, произошло 14 марта 129 г. до н. э. Во время этого затмения солнечный диск был полностью закрыт Луной в Александрии, но лишь на 4/5 в районе пролива Геллеспонт (сейчас известного как Дарданеллы – этот пролив разделяет Европу и Азию). Поскольку видимый диаметр дисков Луны и Солнца, как это очевидно во время солнечного затмения, почти одинаков и, согласно измерениям Гиппарха, составляет около 33 минут дуги, или 0,55°, он заключил, что разность углов между направлениями на Луну из района Геллеспонта и Александрии есть 1/5 от 0,55°, или 0,11°. Из наблюдений за Солнцем Гиппарх знал широты Геллеспонта и Александрии, также он знал положение Луны на небе в обоих пунктах во время затмения, исходя из чего смог рассчитать расстояние до Луны, выразив его в единицах радиуса Земли. Зная также величину изменений видимого размера Луны на протяжении лунного месяца, Гиппарх сделал вывод, что расстояние от Земли до Луны меняется в пределах от 71 до 83 радиусов Земли. Средняя величина, которую мы знаем сейчас, составляет 60 радиусов Земли.

Я должен прервать рассказ, чтобы упомянуть другое великое достижение Гиппарха, пусть даже оно и не относится напрямую к измерениям размеров и расстояний. Гиппарх создал звездный каталог, в котором было более 800 звезд с указанием их небесных координат. Справедливо, что самый лучший современный звездный каталог, содержащий координаты более чем 118 000 звезд, составлен по материалам наблюдений искусственного спутника Земли, названного в честь Гиппарха.

Измерения Гиппархом положений звезд помогли ему совершить открытие примечательного явления, которое не было понято, пока не нашло объяснения в трудах Ньютона. Чтобы объяснить суть открытия, необходимо сказать несколько слов о том, как описываются небесные координаты астрономических объектов. Каталог Гиппарха не сохранился до нашего времени, и мы не знаем, как именно он описывал эти координаты. Со времен владычества Рима было известно два возможных способа это сделать. Один метод, который использовал Птолемей при создании своего каталога[101], заключается в изображении неподвижных звезд как точек на сфере, экватор которой совпадает с эклиптикой – линией, по которой пролегает видимый годичный путь Солнца среди звезд. Небесные долгота и широта определяют расположение звезд на этой сфере так же, как обыкновенные долгота и широта определяют положение точек на поверхности Земли[102]. Согласно другому методу, который, возможно, был использован Гиппархом[103], точки также наносятся на координатную сферу, но ее полярная ось совпадает с осью Земли, а не с перпендикуляром к плоскости эклиптики. Северный полюс такой сферы есть северный полюс мира, вокруг которого обращаются звезды. Координаты на этой сфере называются не долготой и широтой, а склонением и прямым восхождением.

По словам Птолемея[104], измерения Гиппарха были точны до такой степени, что Гиппарх обратил внимание на изменение, которое произошло с небесной долготой (или прямым восхождением) звезды Спики по сравнению со значением, которое было зарегистрировано задолго до него астрономом Тимохарисом в Александрии: разница составила 2°. Но это не Спика переместилась в другую точку относительно других звезд, а то место на небесной сфере, где находится Солнце во время осеннего равноденствия, – именно от этой точки отмеряется небесная долгота.

Трудно сказать в точности, сколько времени прошло между двумя измерениями. Тимохарис родился около 320 г. до н. э., примерно за 130 лет до Гиппарха, но есть сведения, что он умер молодым около 280 г. до н. э., на 160 лет раньше Гиппарха. Если мы примем, что их наблюдения Спики разделяло примерно 150 лет, то результаты наблюдений показывают, что положение Солнца во время осеннего равноденствия смещается на один градус за 75 лет[105]. Смещаясь с этой скоростью, точка равноденствия совершает полный круг в 360° по зодиаку за промежуток времени, равный произведению 360 и 75, то есть за 27 000 лет.

Сейчас мы знаем, что прецессия точек равноденствия вызывается смещением земной оси (похожей на медленные «блуждающие» оси быстро крутящегося волчка) вокруг перпендикуляра к плоскости орбиты Земли, в то время как угол между этим направлением и осью Земли остается постоянным и приблизительно равен 23,5°. Равноденствия – это дни, когда отрезок прямой между Землей и Солнцем перпендикулярен земной оси, поэтому изменение направления земной оси заставляет точки равноденствия прецессировать. В главе 14 мы узнаем, что причина этого вращения была впервые объяснена Исааком Ньютоном как результат действия сил тяготения со стороны Солнца и Луны на экваториальное вздутие Земли. В действительности поворот земной оси на полные 360° занимает 25 727 лет. Замечательно, насколько точно сумел Гиппарх предсказать длительность процесса, происходящего в течение такого большого промежутка времени. Между прочим, именно из-за прецессии точек равноденствия древним мореходам приходилось определять направление на север приближенно по созвездиям вблизи северного полюса мира, а не по привычной нам Полярной звезде. Полярная осталась на том же месте среди звезд, но в древности ось Земли была направлена вовсе не на нее, и в будущем северный полюс мира снова перестанет совпадать с Полярной звездой.

Возвращаясь к задачам измерения расстояний до небесных тел, надо отметить, что и Аристарх, и Гиппарх давали оценки расстояния до Луны и Солнца, выраженные в относительных единицах, привязанных к размеру Земли. Сам этот размер был измерен спустя несколько десятков лет после работ Гиппарха другим ученым, Эратосфеном. Он родился в 273 г. до н. э. в Кирене, греческом городе на Средиземноморском побережье нынешней Ливии, который был основан около 630 г. до н. э. и ко времени рождения Эратосфена стал частью царства Птолемеев. Он учился в Афинах, в том числе у мудрецов Ликея, а около 245 г. до н. э. царь Птолемей III пригласил его в Александрию, чтобы сотрудничать с Музеем и служить наставником будущему Птолемею IV. В 234 г. до н. э. Эрастофен стал пятым главой Александрийской библиотеки. Его основные труды «Об измерениях Земли», «Географические мемуары», «Гермес», к сожалению, были полностью утрачены, но многие цитаты из них сохранились в работах последователей.

То, как Эратосфен измерял Землю, описал философ-стоик Клеомед в своем труде «О небе»[106], написанном после 50 г. до н. э. Эратосфен взял за основу наблюдение того, что в полдень во время летнего солнцестояния в Сиене, египетском городе, который Эратосфен считал расположенным точно к югу от Александрии, солнце находится на небе прямо над головой, а измерения, которые сам Эратосфен производил с гномоном в Александрии, показали, что во время солнцестояния в полдень направление на Солнце отклонено на 1/50 полного круга, или 7,2° от вертикали. Отсюда он заключил, что длина окружности земного шара в 50 раз больше, чем расстояние между Александрией и Сиеной (см. техническое замечание 12). Расстояние от Александрии до Сиены измерялось (вероятно, пешими измерителями, которые тренировались совершать шаги одинаковой длины) и равнялось 5000 стадиям, поэтому длина окружности всей Земли должна была составлять 250 000 стадий.

Насколько точно это значение? Мы не можем определенно сказать, какова была длина стадии, которую использовал Эратосфен, и Клеомед, по всей видимости, тоже этого не знал, потому что у древних греков не было общего стандарта длины наподобие наших километров или миль. Но, даже не зная длину стадии, мы можем оценить, насколько точно Эратосфен применял астрономический метод. По нынешним данным, длина окружности Земли в 47,9 раз больше расстояния между Александрией и Сиеной (нынешним Асуаном), поэтому вывод Эратосфена о том, что длина окружности земного шара в 50 раз больше этой дистанции, вполне точный, независимо от конкретной длины одной стадии[107]. И если не в географии, то в астрономии Эратосфен наверняка добился успеха.

8. Загадка планет

Не только Солнце и Луна в течение года двигаются по зодиаку с запада на восток, совмещая это передвижение с ежедневным вращением с востока на запад вокруг северного полюса мира вместе с остальным звездным небом. Еще представители древних цивилизаций заметили, что, если наблюдать в течение многих дней, можно заметить, как пять «звезд» двигаются по небосклону с запада на восток и почти так же, как Солнце и Луна, проходят по одному и тому же пути на фоне неподвижных звезд. Греки назвали их странствующими звездами, или планетами , и дали имена богов: Гермес, Афродита, Арес, Зевс и Кронос. Римляне перевели эти имена как Меркурий, Венера, Марс, Юпитер и Сатурн. Вслед за вавилонянами они также включили в состав планет Луну и Солнце[108], так что всего их было семь, как и дней в неделе[109].

Планеты движутся по небу с разной скоростью: Меркурий и Венера проходят свой путь по зодиаку за год, Марс – за год и 322 дня, Юпитер – за 11 лет и 315 дней, Сатурн – за 29 лет и 166 дней. Все эти цифры являются средними значениями, поскольку планеты не движутся через зодиак с постоянной скоростью. Иногда они меняют направление движения на некоторое время, а потом возвращаются на свой привычный путь с запада на восток. Основная часть истории возникновения современной науки связана с длившимися более 2000 лет попытками понять особенности движения планет.

Одна из самых ранних теорий движения планет, Солнца и Луны принадлежала пифагорейцам. Они представляли себе, что пять планет, Солнце и Луна вместе с Землей обращаются вокруг огня, расположенного в центре. Чтобы объяснить, почему мы на Земле не видим этого огня, пифагорейцы предположили, что мы живем на той стороне Земли, которая обращена в противоположную от него сторону. Как и практически все досократики, пифагорейцы считали, что Земля плоская и имеет форму диска; они полагали, что этот диск всегда повернут одной стороной к расположенному в центре мироздания огню, а люди находятся на другой стороне. Дневное обращение Земли вокруг центрального огня предположительно объясняло видимое ежедневное движение более медленно вращающегося вокруг Земли Солнца, движение Луны, планет и неподвижных звезд[110]. Согласно Аристотелю и Аэцию, пифагореец Филолай в V в. до н. э. придумал противоземие – планету, обращающуюся там, где мы не можем наблюдать ее с нашей стороны Земли, то есть либо между Землей и центральным огнем, либо с другой стороны центрального огня. Аристотель объяснял появление этого противоземия увлечением пифагорейцев числами. Солнце, Луна, пять планет, неподвижная сфера со звездами и Земля составляли девять объектов, обращающихся вокруг центрального огня, а пифагорейцам хотелось, чтобы их было десять, поскольку десять является идеальным числом, если представить его следующим образом: 10=1+2+3+4. Как с некоторым презрением описывает Аристотель, пифагорейцы

«… элементы чисел предположили элементами всех вещей и всю вселенную гармонией и числом. И все, что они могли в числах и гармонических сочетаниях показать согласующегося с состояниями и частями мира и со всем мировым устройством, это они сводили вместе и приспособляли ; и если у них где-нибудь того или иного не хватало, они стремились , чтобы все построение находилось у них в сплошной связи. Так, например, ввиду того, что десятка (декада), как им представляется, есть нечто совершенное и вместила в себе всю природу чисел, то и несущихся по небу тел они считают десять, поэтому на десятом месте они помещают противоземлю»[111].

По всей видимости, пифагорейцы никогда не пытались показать, как их теория детально описывает видимое движение по небу Солнца, Луны и планет, проходящих на фоне неподвижных звезд. Объяснение этого видимого движения стало делом будущих веков и было завершено только во времена Кеплера.

Решению этой задачи способствовало появление таких приборов, как гномон, необходимый для изучения движения Солнца, и других инструментов, которые позволили измерить углы между направлениями на различные звезды и планеты или углы между этими астрономическими объектами и линией горизонта. Конечно, все астрономические наблюдения в те времена проводились невооруженным глазом. По иронии судьбы Клавдий Птолемей, который подробно изучил преломление (рефракцию) и отражение света (в том числе эффекты рефракции в атмосфере при определении видимого положения звезд) и который, как мы увидим далее, сыграл основополагающую роль в истории астрономии, так и не понял, что линзы и изогнутые зеркала могут быть использованы для того, чтобы увеличивать изображения небесных тел, как это было сделано в телескопе-рефракторе Галилео Галилея и зеркальном телескопе, изобретенном Исааком Ньютоном.

Но не только измерительные инструменты помогли достичь огромных успехов научной астрономии в Греции. Эти достижения стали возможны благодаря открытиям в области математики. В то время как решались новые задачи, основной спор и в античной, и в средневековой астрономии велся не о том, что движется – Земля или Солнце, а по поводу двух разных объяснений, каким образом Солнце, Луна и планеты обращаются вокруг неподвижной Земли. Как мы увидим далее, большинство этих споров было связано с различиями в понимании роли математики в естественных науках.

Все началось с того, что я люблю называть решением «домашнего задания» Платона. Согласно последователю неоплатонизма Симпликию, писавшему в 530 г. в своих комментариях к трактату Аристотеля «О небе»,

«Платон, безоговорочно потребовавший, чтобы небесные движения были круговыми, равномерными и упорядоченными, предложил математикам проблему: какие надо принять гипотезы, чтобы посредством равномерных круговых упорядоченных движений спасти явления, касающиеся планет»[112].

«Спасти (или сохранить) явления» – это традиционный перевод; Платон спрашивает, какие комбинации движений планет (в том числе Солнца и Луны) по круговым орбитам с постоянной скоростью всегда в одном и том же направлении могли бы показать ту картину, которую мы в действительности наблюдаем.

Первоначально этот вопрос был адресован современнику Платона математику Евдоксу Книдскому[113]. Он создал математическую модель, описанную в утерянной книге «О скоростях», содержание которой дошло до нас в изложении Аристотеля[114]и Симпликия[115]. Согласно этой модели, звезды расположены вокруг Земли на сфере, которая поворачивается в течение дня с востока на запад, тогда как Солнце, Луна и планеты находятся на сложной системе вращающихся сфер. Самая простая модель имела две сферы для Солнца. Внешняя сфера в течение суток поворачивается вокруг Земли с востока на запад, обладая той же самой геометрической осью и скоростью вращения, что и сфера, где находятся звезды, но Солнце также находится на экваторе внутренней сферы, которая вращается вместе с внешней так, как если бы была прикреплена к ней, но за год один раз поворачивается вокруг своей оси с запада на восток. Ось внутренней сферы наклонена на 23,5° по отношению к внешней сфере. Это должно было объяснять видимое суточное движение Солнца и его годичное прохождение через зодиакальные созвездия. Точно так же предполагалось, что Луна расположена на двух сферах, вращающихся вокруг Земли в противоположных направлениях, с той лишь разницей, что внутренняя сфера Луны совершает один оборот с запада на восток не за год, а за месяц. По не совсем ясным причинам Евдокс добавил по третьей сфере для Солнца и для Луны. Такие теории называются гомоцентрическими , поскольку сферы с расположенными на них планетами, Солнцем и Луной вращаются вокруг центра, совпадающего с центром Земли.

Нерегулярные движения планет представляли более сложную проблему. Евдокс выделил для каждой планеты по четыре сферы. Во-первых, внешняя сфера, совершающая за сутки оборот вокруг Земли с востока на запад, с той же самой осью вращения, что и сфера неподвижных звезд и внешние сферы Солнца и Луны. Далее – такая же сфера, как внутренние сферы Солнца и Луны, вращающаяся медленнее с характерной для каждой планеты скоростью с запада на восток и имеющая угол наклона оси вращения на 23,5° по отношению к внешней сфере. И, наконец, две сферы, наиболее близкие к центру, вращающиеся практически с одинаковой скоростью в противоположных направлениях вокруг осей, почти параллельных друг другу, и имеющие большие углы наклона по отношению к осям вращения двух внешних сфер. Планета «крепится» к сфере, наиболее близкой к центру. Две внешние сферы дают каждой планете ее суточное движение вокруг Земли вместе со звездами и ее обычный путь по зодиакальным созвездиям в течение более длительных периодов. Эффекты от двух сфер, вращающихся в противоположных направлениях, почти не заметны, поскольку их оси вращения практически параллельны. Небольшой угол между осями добавляет движение по «восьмерке» планетам, движущимся по знакам зодиака, таким образом объясняя периодические развороты планет. Греки называли такой путь гиппопеда (греч. ἱπποπέδη – лошадиные путы), потому что он напоминал путы, которыми оплетали ноги лошади, чтобы она не уходила слишком далеко.

Модель Евдокса не полностью согласуется с наблюдениями Солнца, Луны и планет. Например, его описание движения Солнца не соответствует разной длине времен года, которая, как мы уже видели в главе 6, была определена Евктемоном с помощью гномона. Модель Евдокса допускает серьезные ошибки в объяснении движения Меркурия и слабо соответствует реальному движению Венеры и Марса. Улучшенную модель предложил Каллипп из Кизика. Он добавил еще по две сферы для Солнца и Луны и по одной для Меркурия, Венеры и Марса. Модель Каллиппа лучше описывает движение небесных тел, хотя, согласно ей, в видимом движении планет должны быть некоторые особенности, которых на самом деле нет.

Источник