Эйлер теория движения луны

5. Л. Эйлер

Леонард Эйлер (1707—1783), один из крупнейших ученых мира и — наряду с Ломоносовым — гордость Петербургской Академии наук XVIII столетия, прославившийся многими выдающимися работами, посвятил много внимания разрешению практических и теоретических вопросов астрономии, и его труды в этой области навсегда вошли в историю науки. Уже упоминалось о том, что Эйлер принимал деятельное участие в подготовке геодезических экспедиций и в составлении географического атласа России. Он участвовал также в подготовке экспедиций в Сибирь для наблюдений прохождения Венеры в 1761 и 1769 гг.

Леонард Эйлер (1707—1783)

Однако главные из трудов Эйлера, связавших его имя с историей астрономии, относились к оптике и небесной механике. Опровергнув утверждение Ньютона о невозможности создания ахроматического объектива, который не давал бы окрашенных изображений предметов, Эйлер в труде «Диоптрика» (1769—1771) изложил свой способ расчета ахроматических телескопов и микроскопов. Пользуясь теорией Эйлера (основы которой он высказал еще в 1747 г.), академик Н.И. Фусс разработал практические способы расчета линз, а академик Эпинус изготовил в России один из первых в мире ахроматических микроскопов. Ахроматический же телескоп изготовил в 1751 г. в Англии Доллонд, опираясь уже на ранние выводы Эйлера. Таким образом, благодаря трудам Эйлера был сделан крупнейший шаг вперед в области изучения оптическими приборами как огромных небесных тел, так и мельчайших организмов и частиц вещества.

Исключительные трудности преодолел Эйлер, разрабатывая теорию движения Луны, изложенную им в мемуарах, опубликованных в Петербурге в 1747, 1752, 1772, 1777 и 1781 гг. Если знать заранее по времени начального меридиана, например петербургского, моменты, когда Луна будет занимать на небе определенное положение среди звезд, то можно определить географическую долготу места наблюдения, отметив, когда по местному времени Луна занимает указанное положение. Географическая долгота равна разности моментов данного положения Луны по местному времени, отмеченному при наблюдениях, и по петербургскому времени, вычисленному заранее на основе теории движения Луны. Другие способы определения географической долготы, доступные в ту эпоху, были менее точны, а главное, не всегда могли применяться (например, наблюдения затмений Юпитером его спутников). Большим затруднением для теории является то, что движение Луны вокруг Земли очень сложно, так как на Луну помимо Земли оказывает действие и притяжение Солнца. Поэтому Луна обращается вокруг Земли с постоянно меняющейся скоростью и всякий раз по несколько иному пути, который похож на эллипс только приблизительно. Эти неравномерности в движении Луны были давно известны из наблюдений; они происходили в соответствии с законом тяготения, но предвычислить их величину заранее и с нужной точностью не удавалось.

Между тем развитие мореплавания настоятельно требовало нахождения метода определения долготы корабля в море, так как неточность определения его координат и ошибки в определении долгот и широт подводных камней и мелей не раз служили причиной гибели судов. Английское правительство, особенно заинтересованное в обеспечении мореплавания, в 1713 г. объявило даже премию в 200000 рублей золотом за нахождение способа определения долготы хотя бы с точностью до 30′.

Эйлер в 1753 и 1774 гг. опубликовал две исключительно важные работы, по-новому трактовавшие проблему движения Луны и позволявшие составить таблицы для предвычисления ее положений на небе.

Метод изучения движения Луны, примененный Эйлером, основывался на другой его замечательной работе по изучению движений небесных тел.

Из закона тяготения следует, что одно тело под действием тяготения к другому должно описывать вокруг него эллиптическую орбиту. Так, Земля и всякая другая планета при взаимодействии с одним лишь Солнцем должна двигаться по определенному эллипсу и так же должна двигаться Луна вокруг Земли. Однако взаимное тяготение между планетами и притяжение Луны Солнцем расстраивают это движение, которое уже становится не строго эллиптическим. Отклонения от законов эллиптического движения называются возмущениями, и учет их представляет собой труднейшую задачу небесной механики, которую после открытия закона всемирного тяготения пытались разрешить лучшие математики мира.

Полное, практически годное для расчетов решение задачи движения даже только трех тяготеющих друг к другу тел не дано до сих пор, но для случая, когда тяготение к одному телу значительно преобладает (а так именно и происходит в солнечной системе, где Солнце по своей массе в 750 раз превосходит все планеты, вместе взятые), Эйлеру удалось найти совершенно новый и крайне плодотворный метод исследования.

В 1756 г. в своей работе, премированной Академией, Эйлер развил метод, найденный им еще до 1753 г. при изучении возмущений в движении Луны. Этот метод называется методом вариации элементов орбиты, т. е. тех величин, которые характеризуют размеры эллиптической орбиты, ее форму и положение в пространстве. Вследствие возмущений Луна и планеты описывают орбиты, отличающиеся от эллипсов. Эйлер остроумно предложил считать, что возмущаемое тело все время движется по эллипсу, но что элементы этого эллипса непрерывно меняются в зависимости от времени. Это позволило вычислять орбиту тела и его положение на орбите на очень большой срок вперед.

Более подробное и точное изучение вопроса встретило такие большие математические трудности, что и в настоящее время продолжается разработка этого наследия, оставленного Эйлером. Метод Эйлера оказался применимым не только к Луне, но именно за первую работу о Луне Эйлеру была выплачена часть упомянутой выше премии английского правительства, долгие годы не находившей достойного кандидата для ее получения. Другая часть премии была выплачена немецкому ученому Майеру, составившему таблицы движения Луны на основе той же теории Эйлера.

Основные заслуги великих математиков Лагранжа и Лапласа в значительной мере состояли в развитии идей и методов Эйлера, в частности в изучении выявленных Эйлером возмущений двух видов — периодических и вековых. Периодические возмущения меняют элементы орбиты лишь в небольших пределах. Так, орбита Земли немного меняет свою форму, становясь то более, то менее вытянутой. Вековые же возмущения изменяют элементы орбиты все время в одну и ту же сторону неограниченно. Например, орбита Луны в пространстве поворачивается все время в одну и ту же сторону, что сильно сказывается на приливах, на периодичности солнечных и лунных затмений, на движении земной оси и т. п.

Среди астрономических трудов Эйлера следует еще отметить разработанный им в 1744 г. метод определения кометных орбит с любым эксцентриситетом; Эйлер касался этого вопроса и в своих работах 1734 и 1778 гг., а также разрабатывал теорию притяжения тел (1738) и теорию приливов (1740).

В 1766 г. Эйлер исследовал законы рефракции — преломления лучей небесных светил в земной атмосфере. Еще раньше, в 1746 г., он разрабатывал теорию распространения света и теорию аберрации — кажущегося отклонения видимого положения светила от его истинного положения на небе, вызванного сочетанием движения Земли с находящимся на ней наблюдателем и конечной скорости распространения света. Эйлер предполагал, что в межпланетном пространстве может быть среда (он называл ее эфиром), препятствующая движению в ней планет, и изучал теорию этого вопроса.

Исследуя теорию вращения небесных тел, Эйлер предположил, что полюсы должны несколько перемещаться по поверхности Земли с определенным периодом. Это его предположение было подтверждено наблюдениями только в 90-х годах XIX в.

Источник

Эйлер теория движения луны

Автор: Леонард Эйлер
Название: Новая теория движения Луны
Издательство: Л.: АН СССР
Год: 1934
Язык: Русский
Формат: pdf
Размер: 110,3 mb
Страниц: 208

Колебательное движение приобретает все большее и большее значение в технике, благодаря введению самых разнообразных, мощных и быстроходных механизмов, и во многих случаях приходится иметь дело с дифференциальными уравнениями нелинейными, а если и линейными, то с переменными коэффициентами, т. е. как раз с уравнениями того вида, которые рассматривает Эйлер в своей теории Луны.

Перевод был предназначен не для астрономов, а для техников и инженеров, а его назначение — сделать для них доступными методы Эйлера в его собственном, столь полном и ясном, изложении.

Предисловие переводчика
Предисловие автора

ЧАСТЬ ПЕРВАЯ
Исследование дифференциальных уравнений движения Луны

Предварительные сведения о движении Луны
Основные формулы для движения Луны
Более обстоятельное рассмотрение движения Земли или тела ?
Общее преобразование найденных формул
Приведение предыдущих координат к средней долготе Лупы
Развитие членов, заключающих делитель vЗ
Исключение величин u и ? из предыдущих уравнений
Приведение предыдущих формл к синусам и косинусам первой степени
Приведение трех наших уравнений к трем другим более удобным координатам
Развитие членов, содержащих делитель u3 — иначе членов, содержащих множитель ?
Определение значения буквы ?, введенной в наши
уравнения
Общие правила решения наших уравнений
Введение средней аномалии Луны и, сверх того,
аргумента широты
О различных порядках лунных неравенств
Отдельные дифференциальные уравнения для каждого из членов установленных выше порядков

ЧАСТЬ ВТОРАЯ
Численное развитие уравнений, составленных в предыдущей части для координат x и y

Развитие уравнений для величин ? и О, составляющих верный порядок
Развитие уравнений для величии ? и Р, входящих в члены 2-го порядка

ЧАСТЬ ТРЕТЬЯ
Численное развитие уравнения, коими определяется координата z

Развитие уравнения для величины р, входящей в член первого порядка

Прибавления и примечания переводчика
Элементарные сведения из астрономии
Понятия о теориях Луны Адамса и Хилля
Примечание к главе XIII
Извлечение из сочинения G. W. Ніll’я—Researches in the Lunar Theory

Источник

Эйлер теория движения луны

Предисловие переводчика
Предисловие автора

ЧАСТЬ ПЕРВАЯ
Исследование дифференциальных уравнений движения Луны

ЧАСТЬ ВТОРАЯ
Численное развитие уравнений, составленных в предыдущей части для координат x и y

ЧАСТЬ ТРЕТЬЯ
Численное развитие уравнения, коими определяется координата z

Развитие уравнения для величины р, входящей в член первого порядка

Источник

Теория движения Луны

Одной из труднейших задач небесной механики была теория движения Луны. Изучая движения планет, учёным приходится рассматривать возмущения, которые создаёт воздействие других планет, сравнительно слабое по сравнению с притяжением центрального тела — Солнца. В случае же Луны оно как раз и выступает в роли главного «возмутителя» движения спутника Земли. Возмущения от него весьма велики и всё время меняют свою величину и направление в зависимости от взаимного расположения Земли, Луны и Солнца.

Первые усилия для создания теории движения Луны предпринял Ньютон. Ему удалось на основе закона всемирного тяготения объяснить основные неравенства (периодические отклонения) движения Луны, открытые ещё в древности и подтверждённые такими наблюдателями, как Тихо Браге. «Большое эллиптическое неравенство» объяснялось эллиптичностью лунной орбиты, эвекция (огглат. evehere — «поднимать») — тем, что в новолуние Луна оказывается ближе к Солнцу, чем Земля, а в полнолуние — дальше. Вариация происходит из-за изменения скорости движения Луны на орбите опять-таки под действием притяжения Солнца. Годичное уравнение связано с эллиптичностью земной орбиты, а значит с периодическим изменением расстояния Земли и Луны от Солнца в течение года.

Но не всё было так просто. Когда Ньютон попытался рассчитать поворот линии апсид лунной орбиты (её большой оси, соединяющей перигей и апогей), он получил время полного обращения, равное 18 годам, хотя на самом деле это время равно 9. Так показывали наблюдения со времён Гиппарха.

Клеро попробовал решить эту задачу и. получил то же значение времени полного оборота линии апсид, что и Ньютон: 18 лет. В решение задачи включился Д»Аламбер. Действуя независимо от Клеро, он получил, увы, то же самое. Приступил к этой проблеме Эйлер и тоже не смог объяснить наблюдаемый период. Это было в 1747-1749 гг. А может быть, закон Ньютона неточен и в его формулу надо внести дополнительный член?

Тогда Петербургская Академия наук объявила конкурс под таким названием: «Показать, согласны ли все неравенства, которые наблюдаются в движении Луны, с ньютоновской теорией и какой должна быть истинная теория всех этих неравенств, чтобы по ней можно было со всей точностью определять место Луны на любое время». Надо думать, что тему и формулировку её предложил Эйлер.

И Клеро заново взялся за решение задачи. Он понял, что полученное им и Д»Аламбером значение годичного поворота линии апсид — это только первый член ряда, выражающего эту величину. Клеро нашёл второй член: расхождение теории с наблюдениями уменьшилось в несколько раз. Он прибавил третий, четвёртый члены (расхождение стало совсем незначительным), понял, что задача решена, и написал соответствующий мему-ар. Премия Петербургской Академии наук была присуждена ему. Это произошло в 1751 г. На следующий год его мемуар был издан в Петербурге, а затем его переиздали в Париже.

Этот пример наглядно показал, что для хорошего согласия теории с наблюдениями нужно вычислить много членов рядов, выражающих те или иные величины. В теории Клеро было 20 членов каждого ряда. В современных теориях их число измеряется уже тысячами. Зато точность их намного превосходит точность теории Клеро.

Созданием теории движения Луны занимались и другие учёные того времени. Леонард Эйлер создал в 1753- 1772 гг. целых три теории движения Луны. Почему же три? Дело в том, что Эйлер всё время искал новые пути для решения сложных задач небесной механики. Ему принадлежат методы, верно служившие астрономам и в дальнейшем, спустя и 100, и 200 лет. Теорию движения Луны развивал и Лаплас, его ученики и последователи.

В настоящее время астрономы используют для построения формул, отражающих движение Луны, ЭВМ. Это привело к созданию так называемых машинных теорий. Однако без трудов классиков небесной механики учёным никогда не удалось бы этого сделать.

Накопленные знания Лаплас подытожил в пятитомном труде под названием «Трактат о небесной механике», выходившем с большими перерывами в 1798-1825 гг. Сам термин «небесная механика» введён Лапласом. Ученики и последователи великого учёного сравнивали этот труд со стройным зданием, полагая, что оно почти не потребует переделки.

Эти предположения не подтвердились. Хотя здание действительно было грандиозное, но оно потребовало многочисленных переделок и не раз достраивалось учёными последующих поколений. Увеличивалась точность наблюдений, требовалось уточнить и теорию. Возникали новые задачи (например, о движении искусственных спутников Земли и планет). Однако громадная заслуга Пьера Симона Лапласа и его предшественников именно в том и состоит, что они построили это здание.

Источник