Гидростатическое равновесие солнца определение

Пожалуй важнейшим условием равновесия в звездах можно считать условие механического равновесия, то есть равенства сил, действующих на любой, произвольно выделенный объем в звезде. Хотя в абсолютном смысле это условие не может справедливым — практически любая звезда эволюционирует в той или иной мере, то есть меняет свой радиус, а значит существует сила, выполняющая эту работу. Однако характерное время такого измененяи в большинстве случаев столь велико (млрд. лет), что с любой разумной точностью условие равновесия следует считать выполненным. (Исключения составляют «взрывные» стадии эволюции звезды, которые весьма интересны, но очень далеки от понимания).

В классической теории эволюции принимаются в расчет только две силы, равновесие между которыми и называют гидростатическим. Первая — это давление на выделенный объем со стороны других элементов газа (то есть термодинамическое давление самой плазмы), а вторая — сила гравитационного притяжения элементов объема со стороны других элементов, составляющих звезду. Очевидно, что именно эти силы рассматриваются в гидростатике, единственным отличием является то, что поле сил тяжести в гидростатике обычно предполагается внешним.

Для получения необходимого уравнения просто приравняем все силы давления P, действующие каждый, достаточно маленький чтобы считаться плоским элемент поверхности dS, окружающей выделенный объем V, и сумму сил притяжения каждого элемента массы dm, то есть

Теперь интеграл по поверхности следует заменить на интеграл по объему. Такая замена выполняется с помощью теоремы Гаусса-Остроградского, смысл которой состоит в возможности разбить наш объем на множество маленких эелементиков «удобной» формы, например цилиндров (необязательно круговых) с осью, направленной вдоль градиента давления С P. Тогда интеграл по поверхности может быть вычислен как интеграл по объему, ограниченному этой поверхностью, но уже от градиента давления (для маленького цилидра это не трудно доказать). Наше условие переходит в

Но поскольку мы никак не ограничивали выбор нашего объема, по которому ведется интегрирование, то единственный способ гарантировать выполнение этого условия — потребовать, чтобы подынтегральное выражение было равно нулю в любой точке звезды. Тогда получается дифференциальное уравнение, выражающее гидростатическое равновесие звезды.

Данное уравнение справедливо для любого случая гидростатического равновесия, включая, например, неизотропное давление (нужно только правильно понимать операцию градиента от тензора давления). Однако в случае звезд, логично воспользоваться предположением о сферической симметрии звезды, тем более, что пока не видно сил, которые могли бы нарушать такую симметрию. В этом случае существует выражение для гравитационного потенциала j (и его градиента) через массу слоев m_r, заключенных в сфере под рассматриваемой точкой — см. уравнение Пуассона. Кроме того, предположение о сферической симметрии позволяет записать дифференциальные уравнения для производных по радиусу, поскольку все остальные производные, входящие в градиент, просто равны нулю. В результате, уравнение принимает вид

с добавлением соответствующего уравнения, определяющего величину m_r

Легко понять, что из этих двух уравнений можно исключить одну неизвестную, например m_r. Правда, порядок уравнения при этом повысится до второго, а неизвестных останется все равно две.

(к этому уравнению проще всего прийти сразу из векторного условия равновесия, применяя оператор градиента и используя уравнение Пуассона

Нужно только не забыть, что под внешним градиентом в левой части стоит векторная функция, то есть он означает дивергенцию — отсюда и множитель r 2 в записи уравнения в сферических координатах).

Векторное уравнение второго порядка для известного давления как функции плотности.

Источник

АСТРОНОМИЯ

Внутреннее строение Солнца.

Одновременно с ростом температуры в более глубоких слоях Солнца должно

возрастать давление, определяемое весом всех вышележащих слоев. Следовательно,

плотность также будет увеличиваться. В каждой внутренней точке Солнца должно

выполняться так называемое условие гидростатического равнове сия, означающее,

что разность давлений, испытываемых каким-либо элементарным слоем (например, АВ

должна уравновешиваться гравитационным притяжением всех более глубоких слоев.

Если давление на верхней границе слоя (A) обозначить через P1 , а на нижней —

через Р2 , то равновесие будет иметь место при условии, что

где r — средняя плотность слоя АВ, H — его толщина, a g — соответствующее

значение ускорения силы тяжести. Среднюю плотность r можно положить равной

среднему арифметическому от значений плотности r 1 и r 2 на верхней и нижней

границах слоя АВ:

Используя уравнение газового состояния (7.9), получим

Подставляя это значение в формулу (9.1), имеем

Выражение имеет размерность длины и обладает важным физическим смыслом: если

температура слоя постоянна, а толщина его составляет

то давление и плотность в пределах этого слоя меняется приблизительно в три

раза. Действительно, подставляя (9.5) в (9.4), получаем

Величина Н называется шкалой высоты, так как она показывает, на каком расстоянии

происходит заметное изменение плотности. При T = 10 000ё (m = 1/2 (ионизованный

водород) и g = 2,7×104 см/сек2, что примерно соответствует условиям в наружных

слоях Солнца, Н = 6×107 см, т.е. рост плотности в три раза происходит при

продвижении вглубь на расстояние 600 км. Глубже температура растет, и

возрастание плотности замедляется.

Некоторое представление об условиях в недрах Солнца можно получить, если

предположить что вещество в нем распределено равномерно. Очевидно, что свойства

такого «однородного» Солнца должны быть близки к реальному случаю в средней

точке, на глубине половины радиуса. При равномерном распределении масс плотность

всюду равна уже известному нам среднему значению Давление в средней точке равно

весу радиального столбика вещества сечением 1 см2 и высотой RЅ/2 (см. 129,

В средней точке ускорение силы тяжести g, очевидно, равно

так как в сфере радиусом RЅ/2 при однородном распределении масс заключена 1/8

часть массы всего Солнца. Следовательно, давление в средней точке Солнца равно

Зная давление и плотность, легко найти температуру Т из уравнения газового

Таким образом, мы получили следующие значения характеристик физических свойств

«однородного Солнца» на глубине, равной половине радиуса RЅ/2:

r = 1,4 г/см2 (1,3 г/см2),

Р = 6,6×1014 дин/см2 (6,1×1014 дин/см2),

T = 2 800 000ё (3 400 000ё).

В скобках приведены те же величины, рассчитанные точными методами, учитывающими

неоднородное распределение масс в Солнце. Таким образом, для средней точки

предположение о равномерном распределении масс приводит к правдоподобным

В центре Солнца давление, плотность и температура должны быть еще больше. В

табл.5 приведена так называемая модель внутреннего строения Солнца, т.е.

зависимость его физических свойств от глубины.

Модель внутреннего строения Солнца

Расстояние от центраТемператураДавление

Из табл. 5 видно, что в недрах Солнца температура превышает 10 миллионов

градусов, а давление — сотни миллиардов атмосфер (1 атм = 103 дин/см2). В этих

условиях отдельные атомы движутся с огромными скоростями, достигающими,

например, для водорода, сотен километров в секунду. Поскольку при этом плотность

вещества очень велика, весьма часто происходят атомные столкновения. Некоторые

из таких столкновений приводят к тесным сближениям атомных ядер, необходимым для

возникновения ядерных реакций.

В недрах Солнца существенную роль играют две ядерные реакции. В результате одной

из них, схематически изображенной на 130, из четырех атомов водорода

образуется один атом гелия. На промежуточных стадиях реакции образуются ядра

тяжелого водорода (дейтерия) и ядра изотопа Не3. Эта реакция называется

Другая реакция в условиях Солнца играет значительно меньшую роль. В конечном

счете она также приводит к образованию ядра гелия из четырех протонов. Процесс

сложнее и может протекать только при наличии углерода, ядра которого вступают в

реакцию на первых ее этапах и выделяются на последних. Таким образом, углерод

является катализатором, почему и вся реакция носит названия углеродного цикла.

Исключительно важным является то обстоятельство, что масса ядра гелия почти на

1% меньше массы четырех протонов. Эта кажущаяся потеря массы называется дефектом

массы и является причиной выделения в результате ядерных реакций большого

количества энергии, так как согласно формуле Эйнштейна энергия, которая связана

с массой т, равна

Описанные ядерные реакции являются источником энергии, излучаемой Солнцем в

Так как наибольшие температуры и давление создаются в самых глубоких слоях

Солнца, ядерные реакции и сопровождающее их энерговыделение наиболее интенсивно

происходит в самом центре Солнца. Только здесь наряду с протон-протонной

реакцией большую роль играет углеродный цикл. По мере удаления от центра Солнца

температура и давление становятся меньше, выделение энергии за счет углеродного

цикла быстро прекращается и вплоть до расстояния около 0,2-0,3 радиуса от центра

существенной остается только протон-протонная реакция. На расстоянии от центра

больше 0,3 радиуса температура становится меньше 5 миллионов градусов, а

давление ниже 10 миллиардов атмосфер. В этих условиях ядерные реакции

происходить совсем не могут. Эти слои только передают наружу излучение,

выделившееся на большей глубине в виде гамма-квантов, которые поглощаются и

переизлучаются отдельными атомами. Существенно, что вместо каждого поглощенного

кванта большой энергии атомы, как правило, излучают несколько квантов меньших

энергий. Происходит это по следующей причине. Поглощая, атом ионизуется или

сильно возбуждается и приобретает способность излучать. Однако возвращение

электрона на исходный энергетический уровень происходит не сразу, а через

промежуточные состояния, при переходах между которыми выделяются кванты меньших

энергий. В результате этого происходит как бы «дробление» жестких квантов на

менее энергичные. Поэтому вместо гамма-лучей излучаются рентгеновские, вместо

рентгеновских — ультрафиолетовые, которые в свою очередь уже в наружных слоях

дробятся на кванты видимых и тепловых лучей, окончательно излучаемых Солнцем.

Та часть Солнца, в которой выделение энергии за счет ядерных реакций

несущественно и происходит процесс переноса энергии путем поглощения излучения и

последующего переизлучения, называется зоной лучистого равновесия. Она занимает

область примерно от 0,3 до 0,7 rЅ от центра Солнца. Выше этого уровня в переносе

энергии начинает принимать участие само вещество, и непосредственно под

наблюдаемыми внешними слоями Солнца, на протяжении около 0,3 его радиуса,

образуется конвективная зона, в которой энергия переносится конвекцией.

Наконец, самые внешние слои Солнца, излучение которых можно наблюдать,

называются солнечной атмосферой; в основном она состоит из трех слоев,

называемых фотосферой, хромосферой и короной. Они будут рассмотрены в следующих

параграфах. В целом описанная структура Солнца изображена на 131.

131. Схематический разрез Солнца и его атмосферы

Источник

Гидростатическое равновесие солнца определение

Теперь интеграл по поверхности следует заменить на интеграл по объему. Такая замена выполняется с помощью теоремы Гаусса-Остроградского, смысл которой состоит в возможности разбить наш объем на множество маленких эелементиков «удобной» формы, например цилиндров (необязательно круговых) с осью, направленной вдоль градиента давления P. Тогда интеграл по поверхности может быть вычислен как интеграл по объему, ограниченному этой поверхностью, но уже от градиента давления (для маленького цилидра это не трудно доказать). Наше условие переходит в

Но поскольку мы никак не ограничивали выбор нашего объема, по которому ведется интегрирование, то единственный способ гарантировать выполнение этого условия — потребовать, чтобы подынтегральное выражение было равно нулю в любой точке звезды. Тогда получается векторное дифференциальное уравнение, выражающее гидростатическое равновесие звезды.

Данное уравнение справедливо для любого случая гидростатического равновесия, включая, например, неизотропное давление (нужно только правильно понимать операцию градиента от тензора давления). Однако в случае звезд, логично воспользоваться предположением о сферической симметрии звезды, тем более, что пока не видно сил, которые могли бы нарушать такую симметрию. В этом случае существует выражение для гравитационного потенциала (и его градиента) через массу слоев m_r, заключенных в сфере под рассматриваемой точкой — см. уравнение Пуассона. Кроме того, предположение о сферической симметрии позволяет записать дифференциальные уравнения для производных по радиусу, поскольку все остальные производные, входящие в градиент, просто равны нулю. В результате, уравнение принимает вид

с добавлением соответствующего уравнения, определяющего величину m_r

Векторное уравнение второго порядка для известного давления P() как функции плотности.

Источник