На каком расстоянии Луна от Земли и как было измерено это расстояние?
Минимальное и максимальное расстояние между Землей и Луной, способы измерения расстояния до Луны и диаметра спутника нашей планеты
Как измеряли расстояние до планет в древности?
Представьте себя на месте человека не знакомого со строением Солнечной системы, наблюдающего за ночным небосводом. Звезды, сами по себе, вам представляются неподвижными объектами, но вот само звездное небо вроде как вращается, причем вращается вокруг Земли и совершает полный оборот за 24 часа.
Легко сделать вывод, располагая таким данными, что звезды “прикреплены” к небесному своду, представляющему собой своеобразное “покрывало”, окутывающее нашу планету со всех сторон. Это наблюдение очевидное и простое и потому, вплоть до самого XVII века – главенствующее и даже “научное”.
В то же время, уже в древности люди замечали, что некоторые небесные светила движутся среди звезд — а следовательно, эти светила не могли быть прикреплены к небесному своду и находились к Земле ближе, чем само небо. Насчитывалось семь таких небесных тел, называвшихся (в порядке их яркости) Солнце, Луна, Венера, Юпитер, Марс, Сатурн и Меркурий. Эти семь небесных тел греки называли «планетес» (скитальцы или “блуждающие звезды”), так мы до сих пор большинство из них и называем – «планеты».
Пропорции Земли и Луны – да, наш спутник не так уж и мал, всего в 4 раза уступая Земле по размеру. Впрочем, при этом он легче в 80 раз.
Дальнейшие наблюдения показали – можно установить, какие из планет находятся ближе к Земле, а какие — дальше от нее. Например, при каждом солнечном затмении Луна проходила между Землей и Солнцем и, следовательно, Луна была ближе к Земле, чем Солнце.
При оценке других расстояний древние исходили из относительной скорости движения планет среди звезд (чем ближе к нам предмет, тем более быстрым кажется его движение). Исходя из относительной скорости движения планет среди звезд, греки решили, что Луна расположена ближе к Земле, чем остальные планеты. Прочие же располагались в порядке увеличения расстояния так: Меркурий, Венера, Солнце, Марс, Юпитер и Сатурн.
Разумеется, в таком случае при определении расстояний от планет до Земли следовало начинать с ближайшего светила – то есть Луны.
Как Гиппарх измерил расстояние до Луны?
Первую серьезную попытку определить расстояние до Луны предпринял греческий астроном Аристарх Самосский (320—250 гг. до н. э.). Он опирался на наблюдения, сделанные во время лунного затмения. Когда тень Земли упала на Луну, по изгибу ее края можно было судить, как велико ее поперечное сечение по сравнению с размерами Луны.
Кажется, что Луна совсем близко от Земли. Вот так выглядит расстояние между Землей и Луной в натуральных пропорциях. 384 000 километров – не так и близко, а?
Считая, что Солнце находится от Земли гораздо дальше Луны, Аристарх с помощью несложных геометрических построении мог установить, как далеко должна Луна находиться от Земли, чтобы тень Земли уменьшалась до наблюдаемых размеров.
Этот метод был улучшен и дополнен примерно через 100 лет другим греческим астрономом — величайшим астрономом античности Гиппархом из Никеи (190— 120 гг. до н. э.). Гиппарх пришел к выводу, что расстояние от Земли до Луны примерно в 30 раз больше диаметра Земли. Если принять длину диаметра, предложенную Эратосфеном, т.е. 12 800 км, то в этом случае расстояние между Землей и Луной окажется равным 384 000 км.
Это блистательный результат, если учесть тогдашнее состояние астрономии. Наиболее точная современная цифра среднего расстояния между центрами Земли и Луны — 384 395 км. Не располагая и сотой долей тех возможностей, которыми располагает астрономия сейчас, Гиппарх из Никеи провел вычисления с погрешностью в 1/1000!
Как был измерен диаметр Луны
Конечно же, 384 395 километров – среднее расстояние между Землей и Луной, так как Луна движется вокруг Земли не по точному кругу: иногда она ближе к нашей планете, а иногда дальше.
Минимальное расстояние между Луной и Землей (в перигее) равно 363 300 км, а максимальное (в апогее) —405 500 км.
Зная это расстояние, можно вычислить истинный диаметр Луны, исходя из ее видимых размеров. Он равен 3473,4 км, а окружность Луны, следовательно, составляет 10 900 км. Луна намного меньше Земли, но все же ее размеры весьма внушительны.
После того как было определено расстояние до Луны, с идеей о том, что небо находится почти над самыми нашими головами, было покончено навсегда. Оно отодвинулось на колоссальное расстояние, представлявшееся грекам немыслимым.
Даже ближайшее небесное тело оказалось почти в 400 000 км от Земли, а все другие, значит, находились от нее еще дальше и, возможно, намного дальше. Ни о какой “плоской Земле накрытой стеклянным куполом” больше не могли помыслить даже самые стойкие скептики.
Перигей и апогей Луны по отношению к Земле – самое близкое и самое дальнее расстояние между Луной и Землей
Источник
Уточнение расстояния до Луны
Гиппарх Никейский (190–120 гг. до н. э.) использовал для определения расстояний от Земли до Луны аналогичные подходы, но с другой точки зрения.
Рисунок 9 – Определение расстояния до Луны Гиппархом (схема из византийской рукописи).
Точные выкладки Гиппарха достоверно неизвестны, однако в византийских рукописях встречается краткое описание его метода (рисунок 9).
Этот рисунок показывает положение Солнца, Земли и Луны во время лунного затмения. Из подобия треугольников следует, что расстояние от Земли до Солнца AB во столько раз больше расстояния от Земли до Луны BC, во сколько раз разность радиусов Солнца и Земли (AE — BF) больше разности радиусов Земли и ее тени на расстоянии Луны (BF — CG).
Из наблюдений при помощи простейших угломерных инструментов следовало, что радиус Луны составляет 15′, а радиус тени приблизительно 40′, то есть радиус тени больше радиуса Луны почти в 2,7 раза. Приняв расстояние от Земли до Солнца за единицу, можно было установить, что радиус Луны почти в 3,5 раза меньше радиуса Земли.
Уже было известно, что под углом в 1′ наблюдается предмет, расстояние до которого превосходит его размеры в 3 483 раза. Следовательно, рассуждал Гиппарх, под углом в 15′ наблюдаемый предмет будет в 15 раз ближе. Исходя из этого было получено более точное значение расстояния от Земли до Луны, которое колеблется от 59 до 65 земных радиусов (370–410 тысяч км.), что уже достаточно близко к точному значению в 384.000 км.
Похожий метод был описан Клавдием Птолемеем(87–165 гг. н. э.) в его труде «Альмагест». Измерения Птолемея основаны на основаны на сравнении результатов двух частных лунных затмений, наблюдавшихся вавилонскими астрономами. В первом затмении наибольшая фаза составляла ¼ от диаметра Луны; при этом вычисленное по времени затмения угловое расстояние от центра Луны до узла лунной орбиты было равно ω1 = 9°20ʹ. Во втором затмении наибольшая фаза составляла ½ от диаметра Луны; при этом угловое расстояние от центра Луны до узла лунной орбиты было равно ω2 = 7°48ʹ (рисунок 10; одно затмение происходит вблизи восходящего узла лунной орбиты, а другое — вблизи нисходящего).
Рисунок 10 – Частичные лунные затмения в способе Птолемея.
Приближённо заменяя сферические прямоугольные треугольники плоскими, из подобия треугольников заключаем, что
Это отношение Птолемей приближает с избытком как 2 3 ⁄5, что дает итоговое расстояние до Луны в приблизительно 75 земных радиусов, хотя с такой же точностью его можно приблизить с недостатком как 2½, сохранив результат Гиппарха.
Основная погрешность этого измерения связана с определением наибольшей фазы затмения. Эта фаза определялась на глаз в «дактилях», составлявших 1⁄12 видимого диаметра Луны; большая точность здесь недостижима.
Заключение
На основе дошедших до нас рукописных источников, можно сделать вывод о том, что хотя в распоряжении ученых Древнего мира фактически не было угломерных инструментов, а их математический аппарат ограничивался простейшими тригонометрическими соотношениями и соотношениями подобия геометрических фигур, им удалось весьма точно оценить форму Земли и порядок величин размеров Земли и расстояний до Луны и Солнца, что позволило получить первые достоверные представления о строении Мира.
К сожалению, смутные года начала нашей эры привели к тому, что об этих измерениях было забыто более чем на 1000 лет, в результате чего только в IX веке нашей эры арабскому математику Абу Райхану Бируни (Аль-Бируни) удалось повторить измерения Эратосфена, получив сравнимый с ним по точности результат.
1. Щетников А.И. Измерение астрономических расстояний в Древней Греции // ΤΕΧΝΗ. Theoretical Foundations of Arts, Sciences and Technology in the Greco-Roman World
URL: http://www.astro-cabinet.ru/library/Schetnikov/ismerenie-rasstoyaniy-v-drevney-grecii.pdf (дата обращения: 02.04.2013).
2. История измерений формы и размеров Земли (электронный ресурс) // Геодезия в Раменском
URL: http://www.ramgeo.ru/history/info/earth_measuring (дата обращения: 02.04.2013)
3. История астрономии. Методические материалы для подготовки к кандидатскому экзамену по истории и философии науки // Институт истории естествознания и техники им. С.И. Вавилова
URL: http://www.ihst.ru/aspirans/astronomyia.htm (дата обращения: 02.04.2013)
4. Шарообразная Земля (электронный ресурс) // Вселенная: от плоской Земли до квазаров
Источник
Как измерили расстояние от Земли до Луны?
Расстояние от Земли до Луны пытались измерить еще древние греки.
До нас дошло только сочинение Аристарха Самосского «О величинах и расстояниях Солнца и Луны» (III в. до н. э.), где он впервые в истории науки попытался установить расстояния до этих небесных тел и их размеры.
К решению этого вопроса Аристарх подошел очень остроумно. Он исходил из предположения, что Луна имеет форму шара и светит отраженным от Солнца светом. В этом случае, в те моменты, когда Луна имеет вид полудиска, она образует прямоугольный треугольник с Землей и Солнцем:
Если в этот момент точно определить угол между направлениями с Земли на Луну и на Солнце (CAB), можно из простых геометрических соотношений найти, во сколько раз катет (расстояние от Земли до Луны AB) меньше гипотенузы (расстояния от Земли до Солнца AC). По Аристарху, CAB=87°; следовательно, соотношение этих сторон 1:19.
Аристарх ошибся приблизительно в 20 раз: в действительности расстояние до Луны меньше, чем до Солнца, почти в 400 раз. Загвоздка заключается в том, что точно определить момент, когда Луна оказывается в вершине прямого угла, лишь на основе наблюдений невозможно. Малейшая же неточность влечет за собой огромное отклонение от истинного значения.
Величайший астроном древности Гиппарх Никейский в середине II века до н. э. с большой уверенностью определил расстояние до Луны и ее размеры, приняв за единицу радиус земного шара.
В своих вычислениях Гиппарх исходил из правильного понимания причины лунных затмений: Луна попадает в земную тень, имеющую форму конуса с вершиной, находящейся где-то в стороне Луны.
Посмотрите на рисунок. Он показывает положение Солнца, Земли и Луны во время лунного затмения. Из подобия треугольников следует, что расстояние от Земли до Солнца AB во столько раз больше расстояния от Земли до Луны BC, во сколько раз разность радиусов Солнца и Земли (AE — BF) больше разности радиусов Земли и ее тени на расстоянии Луны (BF — CG).
Из наблюдений при помощи простейших угломерных инструментов следовало, что радиус Луны составляет 15′, а радиус тени приблизительно 40′, то есть радиус тени больше радиуса Луны почти в 2,7 раза. Приняв расстояние от Земли до Солнца за единицу, можно было установить, что радиус Луны почти в 3,5 раза меньше радиуса Земли.
Уже было известно, что под углом в 1′ наблюдается предмет, расстояние до которого превосходит его размеры в 3 483 раза. Следовательно, рассуждал Гиппарх, под углом в 15′ наблюдаемый предмет будет в 15 раз ближе. Значит, Луна находится от нас на расстоянии, в 230 раз (3 483 : 15) превосходящем ее радиус. А если радиус Земли составляет приблизительно 3,5 радиуса Луны, то расстояние до Луны равно 230 : 3,5
60 радиусов Земли, или около 30 земных диаметров (это около 382 тыс. километров).
В наше время измерение расстояния от земли до Луны было выполнено с помощью метода лазерной локации. Суть этого метода заключается в следующем. На поверхности Луны устанавливается уголковый отражатель. С Земли с помощью лазера на зеркало отражателя направляется лазерный луч. При этом точно фиксируется время, когда сигнал был излучён. Отражённый от прибора на Луне свет в течение примерно одной секунды возвращается в телескоп. Определив точное время, за которое луч света проходит расстояние от Земли до Луны и обратно, можно установить расстояние от источника излучения до отражателя.
С помощью этого метода расстояние от земли до Луны определено с точностью до нескольких километров (максимальная точность измерения в настоящее время — 2-3 сантиметра!): в среднем оно составляет 384 403 км. «В среднем» не потому, что это расстояние взято из разных или приблизительных результатов измерений, а потому, что орбита Луны представляет собой не окружность, а эллипс. В апогее (наиболее удаленная от Земли точка орбиты) расстояние от центра Земли до Луны 406 670 км, в перигее (наиболее близкая точка орбиты) — 356 400 км.
Источник
О размерах и расстояниях (Гиппарх) — On Sizes and Distances (Hipparchus)
О размерах и расстояниях (Солнца и Луны) (Περὶ μεγεθῶν καὶ ἀποστημάτων [ἡλίου καὶ σελήνης], Peri megethon kai apostematon ) — текст древнегреческого астронома Гиппарха ( ок. 190 г. до н . Э. ) сделаны для радиусов Солнца и Луны, а также их расстояний от Земли . Он не сохранился , но некоторые его содержания сохранились в трудах Птолемея и его комментатора Паппа Александрийского . Некоторые современные историки пытались реконструировать методы Гиппарха, используя доступные тексты.
СОДЕРЖАНИЕ
Источники
Большая часть того, что известно о тексте Гиппарха, происходит из двух древних источников: Птолемея и Паппа. Эта работа также упоминается Теоном Смирнским и другими, но их рассказы оказались менее полезными при реконструкции процедур Гиппарха.
Птолемей
В Альмагесте V, 11 Птолемей пишет:
Гиппарх проводил такое исследование в основном с помощью Солнца. Поскольку из других свойств солнца и луны (изучение которых будет проведено ниже) следует, что если дано расстояние до одного из двух светил, то также дано расстояние до другого, он пытается, предполагая расстояние солнце, чтобы продемонстрировать расстояние до Луны. Во-первых, он предполагает, что солнце демонстрирует наименее заметный параллакс, чтобы определить расстояние до него. После этого он использует приведенное им солнечное затмение, сначала как будто солнце не показывает заметного параллакса, и именно по этой причине отношения расстояний до Луны казались ему разными для каждой из выдвинутых им гипотез. Но что касается Солнца, то не только величина его параллакса, но и то, показывает ли оно вообще какой-либо параллакс, вообще сомнительно.
Этот отрывок дает общее представление о том, что сделал Гиппарх, но не содержит подробностей. Птолемей явно не соглашался с методами, использованными Гиппархом, и поэтому не вдавался в подробности.
Папп Александрийский
Работы Гиппарха еще существовали, когда Папп написал свой комментарий к Альмагесту в 4 веке. Он дополняет некоторые детали, которые опускает Птолемей:
Итак, Гиппарх провел такое исследование в основном по солнцу, и это было неточно. Поскольку, поскольку Луна в сизигиях и на ближайшем наибольшем расстоянии кажется равной Солнцу, и поскольку дан размер диаметров Солнца и Луны (о чем будет сказано ниже), то из этого следует, что если расстояние в один между двумя светилами дано расстояние до другого, как в теореме 12, если дано расстояние до Луны и диаметры Солнца и Луны, то дано расстояние до Солнца. Гиппарх пытается, предполагая параллакс и расстояние до Солнца, продемонстрировать расстояние до Луны, но относительно Солнца не только величина его параллакса, но и то, показывает ли он вообще какой-либо параллакс, вообще сомнительно. Таким образом, Гиппарх сомневался в Солнце, не только в величине его параллакса, но и в том, показывает ли оно вообще какой-либо параллакс. В первой книге «О размерах и расстояниях» предполагается, что Земля имеет соотношение точки и центра к Солнцу. И посредством приведенного им затмения .
В книге 1 «О размерах и расстояниях» он делает следующее наблюдение: солнечное затмение, которое в областях вокруг Геллеспонта было точным затмением всего солнечного диска, так что никакая его часть не была видна, но в Александрии Египтом было затмено примерно четыре пятых ее площади. Посредством этого он показывает в Книге 1, что в единицах, из которых радиус Земли равен единице, наименьшее расстояние до Луны составляет 71, а наибольшее — 83. Следовательно, среднее значение равно 77 . Книга 2 «от размеров и расстояний» показывает из многих соображений , которые, в единицах которого радиус земли равен единице, наименьшее расстояние луны составляет 62, а среднее 67 1 / 3 , а расстояние от солнца 490. Ясно, что наибольшее расстояние до Луны 72 2 ⁄ 3 .
Этот отрывок предоставляет достаточно деталей, чтобы сделать реконструкцию возможной. В частности, разъясняется, что было две отдельные процедуры, и даются точные результаты каждой. Он дает подсказки, с помощью которых можно идентифицировать затмение, и говорит, что Гиппарх использовал формулу «как в теореме 12», теореме Птолемея, которая дошла до нас.
Современные реконструкции
Некоторые историки науки пытались реконструировать расчеты, включенные в « Размеры и расстояния» . Первая попытка была предпринята Фридрихом Хульчем в 1900 году, но позже она была отклонена Ноэлем Свердловым в 1969 году. Дж . Дж. Тумер расширил свои усилия в 1974 году.
Hultsch
Фридрих Хульш в статье 1900 года определил, что источник Паппа был неправильно скопирован и что фактическое расстояние до Солнца, рассчитанное Гиппархом, составляло 2490 земных радиусов (а не 490). Как и в английском, между этими двумя результатами в греческом языке разница только в один символ.
Его анализ был основан на тексте Теона Смирнского, в котором говорится, что Гиппарх обнаружил, что Солнце в 1880 раз больше Земли, а Земля в 27 раз больше Луны. Если предположить, что это относится к объемам, отсюда следует, что
s знак равно 1880 г. 3 ≈ 12 + 1 / 3 <\ displaystyle s = <\ sqrt [<3>] <1880>> \ приблизительно 12 + 1/3> 
ℓ знак равно 1 / 27 3 знак равно 1 / 3 <\ displaystyle \ ell = <\ sqrt [<3>] <1/27>> = 1/3>
Если предположить , что Солнце и Луна имеют одинаковый видимый размер на небе, и что Луна 67 1 / +3 радиусов Земли на расстоянии, то отсюда следует , что
S знак равно s ℓ L ≈ 12 + 1 / 3 1 / 3 ( 67 + 1 / 3 ) знак равно 2491 + 1 / 3 ≈ 2490 <\ displaystyle S = <\ frac <\ ell>> L \ приблизительно <\ frac <12 + 1/3><1/3>> (67 + 1/3) = 2491 + 1/3 \ приблизительно 2490>
Этот результат был общепринятым в течение следующих семидесяти лет, пока Ноэль Свердлов не провел новое расследование.
Книга 2 реконструкция (Свердлов)
Свердлоу определил, что Гиппарх связывает расстояния до Солнца и Луны, используя конструкцию, найденную у Птолемея . Было бы неудивительно, если бы этот расчет был первоначально разработан самим Гиппархом, поскольку он был основным источником для Альмагеста .
Используя этот расчет, Свердлов был в состоянии связать два результата Гиппарха (67 1 / 3 для Луны и 490 для Солнца). Для точного получения этого соотношения необходимо следовать очень точному набору приближений.
Использование простых тригонометрических тождеств дает
ℓ знак равно L загар θ ≈ L грех θ <\ displaystyle \ ell = L \ tan \ theta \ приблизительно L \ sin \ theta>
час знак равно загар φ загар θ ℓ ≈ φ θ ℓ ≈ φ θ L грех θ <\ displaystyle h = <\ frac <\ tan \ varphi><\ tan \ theta>> \ ell \ приблизительно <\ frac <\ varphi><\ theta>> \ ell \ приблизительно <\ frac <\ varphi><\ тета>> L \ sin \ theta>
Параллельными прямыми и взяв t = 1, получаем
ℓ + Икс знак равно т + ( т — час ) знак равно 2 т — час ⇒ Икс ≈ 2 — ( φ θ + 1 ) L грех θ <\ displaystyle \ ell + x = t + (th) = 2t-h \ Rightarrow x \ приблизительно 2- \ left (<\ frac <\ varphi><\ theta>> + 1 \ right) L \ sin \ theta>
По подобию треугольников
т Икс знак равно S S — L ⇒ S знак равно L 1 — Икс <\ displaystyle <\ frac
Объединение этих уравнений дает
S ≈ L ( φ θ + 1 ) L грех θ — 1 знак равно 1 / ( ( φ θ + 1 ) грех θ — 1 L ) <\ Displaystyle S \ приблизительно <\ гидроразрыва
Значения, которые Гиппарх принял для этих переменных, можно найти в Альмагесте IV Птолемея , 9. Он говорит, что Гиппарх обнаружил, что Луна измерила свой собственный круг примерно в 650 раз, а угловой диаметр тени Земли в 2,5 раза больше, чем у Луны. Папп говорит нам , что Гиппарх взял среднее расстояние до Луны , чтобы быть 67 1 / 3 . Это дает:
| Количество | Значение |
|---|---|
| 2 θ <\ displaystyle 2 \ theta> | 360 ∘ / 650 знак равно 0,554 ∘ <\ displaystyle 360 ^ <\ circ>/650=0.554 ^ <\ circ>> |
| φ <\ displaystyle \ varphi> | 2,5 θ знак равно 1,385 ∘ <\ Displaystyle 2,5 \ theta = 1,385 ^ <\ circ>> |
| L <\ displaystyle L> | 67 1 ⁄ 3 |
Согласно Свердлову, Гиппарх теперь оценил это выражение со следующими округлениями (значения в шестидесятеричной системе ):
ℓ ≈ L грех θ ≈ 0 ; 19 , 30 <\ Displaystyle \ ell \ приблизительно L \ грех \ тета \ приблизительно 0; 19,30>
час ≈ φ θ ℓ ≈ 0 ; 48 , 45 <\ Displaystyle ч \ приблизительно <\ гидроразрыва <\ varphi><\ theta>> \ ell \ приблизительно 0; 48,45>
Тогда, потому что
ℓ + час ≈ φ θ L грех θ + L грех θ знак равно ( φ θ + 1 ) L грех θ <\ displaystyle \ ell + h \ приблизительно <\ frac <\ varphi><\ theta>> L \ sin \ theta + L \ sin \ theta = \ left ( <\ frac <\ varphi><\ theta>> + 1 \ right) L \ sin \ theta>
S ≈ L / ( ℓ + час — 1 ) ≈ 67 ; 20 / 0 ; 8 , 15 ≈ 489,70 ≈ 490 <\ Displaystyle S \ приблизительно L / (\ ell + h-1) \ приблизительно 67; 20/0; 8,15 \ приблизительно 489,70 \ приблизительно 490>
Свердлоу использовал этот результат, чтобы доказать, что 490 было правильным прочтением текста Паппа, тем самым опровергая интерпретацию Хульша. Хотя этот результат во многом зависит от конкретных используемых аппроксимаций и округлений, он был общепринятым. Он оставляет открытым, однако, вопрос о том, где лунное расстояние 67 +1 / +3 взялось.
Вслед за Паппом и Птолемеем Свердлов предположил, что Гиппарх оценил 490 радиусов Земли как минимально возможное расстояние до Солнца. Это расстояние соответствует солнечному параллаксу 7 ‘, который, возможно, был максимумом, который, по его мнению, остался бы незамеченным (типичное разрешение человеческого глаза — 2’). Полученную выше формулу для расстояния до Солнца можно инвертировать, чтобы определить расстояние до Луны:
L ≈ S ( φ θ + 1 ) S грех θ — 1 знак равно 1 / ( ( φ θ + 1 ) грех θ — 1 S ) <\ Displaystyle L \ приблизительно <\ гидроразрыва <\ left (<\ frac <\ varphi><\ theta>> + 1 \ right) S \ sin \ theta -1>> = 1 \ left / \ left ( \ left ( <\ frac <\ varphi><\ theta>> + 1 \ right) \ sin \ theta — <\ frac <1>> \ right) \ right.>
Используя те же значения, что и выше, для каждого угла и используя 490 земных радиусов в качестве минимального солнечного расстояния, следует, что максимальное среднее расстояние до Луны составляет
L ≈ 1 / ( ( 2,5 + 1 ) грех 0,277 ∘ — 1 490 ) ≈ 67.203 ≈ 67 1 3 <\ Displaystyle L \ приблизительно 1 \ влево / \ влево ((2,5 + 1) \ грех 0,277 ^ <\ circ>— <\ гидроразрыва <1><490>> \ вправо) \ вправо. \ примерно 67,203 \ примерно 67 < \ tfrac <1><3>>>
Тумер расширил этот вопрос, заметив, что по мере неограниченного увеличения расстояния до Солнца формула приближается к минимальному среднему лунному расстоянию:
L ≈ 1 / ( ( 2,5 + 1 ) грех 0,277 ∘ ) ≈ 59,10 <\ Displaystyle L \ примерно 1 \ влево / \ влево ((2,5 + 1) \ грех 0,277 ^ <\ circ>\ вправо) \ вправо. \ примерно 59,10>
Это близко к значению, которое позже утверждал Птолемей.
Реконструкция книги 1 (Toomer)
В дополнение к объяснению минимального лунного расстояния, которого достиг Гиппарх, Тумер смог объяснить метод первой книги, в которой использовалось солнечное затмение . Папп утверждает, что это затмение было полным в районе Геллеспонта, но наблюдалось как 4/5 от общего затмения в Александрии.
Если Гиппарх предположил, что Солнце бесконечно удалено (т. Е. Что «Земля имеет соотношение точки и центра к Солнцу»), то разница в величине солнечного затмения должна быть полностью обусловлена параллаксом Луны. Используя данные наблюдений, он сможет определить этот параллакс и, следовательно, расстояние до Луны.
Гиппарх знал бы , и , по широтам из Александрии и Геллеспонтской области соответственно. Кроме того, он знал бы , на склонение Луны во время затмения, и , что связано с различием в совокупности затмения между двумя регионами. φ А <\ displaystyle \ varphi _ > φ ЧАС <\ displaystyle \ varphi _ δ <\ displaystyle \ delta> μ <\ displaystyle \ mu>
А ЧАС знак равно т Crd ∠ А О ЧАС знак равно т Crd ( φ ЧАС — φ А ) <\ displaystyle AH = t \ operatorname
Crd здесь относится к функции хорды , которая отображает угол в градусах на соответствующую длину хорды окружности единичного диаметра. Так как Луна очень далека, отсюда следует и это . Использование этого приближения дает ζ ′ ≈ ζ <\ displaystyle \ zeta '\ приблизительно \ zeta>
ζ знак равно φ ЧАС — δ <\ displaystyle \ zeta = \ varphi _ ∠ Z ЧАС А знак равно 180 ∘ — ∠ О ЧАС А <\ displaystyle \ angle ZHA = 180 ^ <\ circ>— \ angle OHA> ∠ О ЧАС А знак равно 180 ∘ — ∠ А О ЧАС 2 знак равно 180 ∘ — ( φ ЧАС — φ А ) 2 <\ displaystyle \ angle OHA = <\ frac <180 ^ <\ circ>— \ angle AOH> <2>> = <\ frac <180 ^ <\ circ>— (\ varphi _
∠ Z ЧАС А знак равно 90 ∘ + 1 2 ( φ ЧАС — φ А ) <\ displaystyle \ angle ZHA = 90 ^ <\ circ>+ <\ frac <1><2>> (\ varphi _ ∠ M ЧАС А знак равно θ знак равно ∠ Z ЧАС А — ζ ′ ≈ ∠ Z ЧАС А — ζ знак равно 90 ∘ — 1 2 ( φ ЧАС + φ А ) + δ <\ displaystyle \ angle MHA = \ theta = \ angle ZHA- \ zeta '\ приблизительно \ angle ZHA- \ zeta = 90 ^ <\ circ>— <\ frac <1><2>> (\ varphi _
С помощью и нам нужно только получить . Поскольку затмение было полным в точке H и 4/5 в точке A, отсюда следует, что это 1/5 видимого диаметра Солнца. Это количество было хорошо известно Гиппарху — он полагал, что оно составляет 1/650 полного круга. Расстояние от центра Земли до Луны тогда следует из . А ЧАС <\ displaystyle AH> θ <\ displaystyle \ theta> μ <\ displaystyle \ mu> D ′ <\ displaystyle D '> μ <\ displaystyle \ mu> D ≈ D ′ + т <\ Displaystyle D \ приблизительно D '+ t>
Тумер определил, как Гиппарх определил хорду для малых углов (см. Хорда (геометрия) ). Его значения для широты Геллеспонта (41 градус) и Александрии (31 градус) известны из работы Страбона по географии . Чтобы определить склонение, необходимо знать, какое затмение использовал Гиппарх.
Поскольку он знал значение, которое Гиппарх в конечном итоге дал расстоянию до Луны (71 радиус Земли) и приблизительной области затмения, Тумер смог определить, что Гиппарх использовал затмение 14 марта 190 г. до н.э. Это затмение очень хорошо соответствует всем математическим параметрам, а также имеет смысл с исторической точки зрения. Затмение было полным в Никее , месте рождения Гиппарха, поэтому он, возможно, слышал о нем рассказы. Об этом также говорится в « Ab Urbe Condita VIII.2» Страбона. Склонение Луны в это время было . Следовательно, используя тригонометрию хорд, дает δ знак равно — 3 ∘ <\ displaystyle \ delta = -3 ^ <\ circ>>
θ знак равно 54 ∘ + δ <\ displaystyle \ theta = 54 ^ <\ circ>+ \ delta> А ЧАС знак равно т Crd 10 ∘ ≈ т 600 3438 <\ displaystyle AH = t \ operatorname μ знак равно 360 ⋅ 60 5 ⋅ 650 <\ displaystyle \ mu = <\ frac <360 \ cdot 60><5 \ cdot 650>>> D ′ знак равно Crd 2 θ ⋅ А ЧАС Crd μ ⋅ 2 р знак равно Crd ( 108 ∘ + 2 δ ) ⋅ 600 ⋅ 5 ⋅ 650 21600 ⋅ 2 ⋅ 3438 т <\ displaystyle D '= <\ frac <\ operatorname
Теперь, используя таблицы аккордов Гиппарха,
Crd ( 108 ∘ + 2 ( — 3 ∘ ) ) знак равно Crd 102 ∘ ≈ 2 ⋅ 3438 грех 56 ∘ ≈ 5340 <\ displaystyle \ operatorname
D ′ знак равно 5340 ⋅ 600 ⋅ 5 ⋅ 650 21600 ⋅ 2 ⋅ 3438 т ≈ 70,1 т ⇒ D ≈ D ′ + т ≈ 71,1 т <\ displaystyle D '= <\ frac <5340 \ cdot 600 \ cdot 5 \ cdot 650><21600 \ cdot 2 \ cdot 3438>> t \ приблизительно 70,1 т \ Rightarrow D \ приблизительно D’ + t \ приблизительно 71,1 т>
Это хорошо согласуется со значением 71 радиуса Земли, которое сообщает Папп.
Этот анализ предполагал, что затмение произошло в середине дня, когда Солнце и Луна находились на меридиане. Но этого не произошло с затмением 190 г. до н.э., которое произошло ранним утром 28 февраля.
Заключение
Если предположить, что эти реконструкции точно отражают то, что писал Гиппарх в своей книге «О размерах и расстояниях» , то эта работа была замечательным достижением. Такой подход к установке ограничений на неизвестную физическую величину не был новым для Гиппарха (см. Аристарх Самосский . Архимед сделал то же самое с пи ), но в тех случаях границы отражали неспособность определить математическую константу с произвольной точностью, не неопределенность в физических наблюдениях.
Гиппарх, похоже, в конце концов разрешил противоречие между двумя своими результатами. Его целью при вычислении расстояния до Луны было получение точного значения лунного параллакса, чтобы он мог предсказывать затмения с большей точностью. Для этого ему пришлось выбрать конкретное значение расстояния / параллакса, а не диапазон значений.
Есть некоторые свидетельства того, что он это сделал. Объединение вычислений Книги 2 и рассказа Теона Смирнского дает расстояние до Луны 60,5 радиуса Земли. Проделав то же самое с учетом Клеомеда, мы получим расстояние в 61 радиус Земли. Они удивительно близки как к оценке Птолемея, так и к современной.
По словам Тумера,
Эта процедура, если я построил ее правильно, очень замечательна . Удивительна изощренность подхода к проблеме двумя совершенно разными методами, а также полная честность, с которой Гиппарх раскрывает свои противоречивые результаты . которые, тем не менее, являются такого же порядка величины и (впервые в истории астрономии) в правой области.
Источник