М. Громов Кольцо тайн: вселенная, математика, мысль
1 М. Громов Кольцо тайн: вселенная, математика, мысль Перевод с английского Н. В. Цилевич Москва Издательство МЦНМО 2017
2 УДК 51.0 ББК 22.1 Г87 Г87 Громов М. Кольцо тайн: вселенная, математика, мысль. Пер. с англ. яз. Н. В. Цилевич. М.: МЦНМО, с. ISBN Перед читателем книга, написанная одним из ведущих математиков наших дней, посвящённая самым различным проблемам математики, физики, биологии, лингвистики, философии и истории науки и даже педагогики. Книга в той или иной степени доступна самому широкому кругу читателей, которые интересуются научными вопросами. Читатель познакомится с современными научными концепциями, изложенными автором по-своему, а также с его новыми идеями в разных областях. Особый интерес представляют разбросанные по тексту увлекательные очерки об известных научных открытиях, авторский взгляд на которые подчас нетрадиционен. Но особую роль, объединяющую все части книги вместе, играют мысли автора о Математике, о её текущем состоянии и о её будущем, которое не так легко предсказать. ББК 22.1 ISBN Громов М., МЦНМО, 2017.
3 Об этой книге По аналогии с широко известным произведением эту книгу можно было бы назвать «Что такое жизнь и что такое мысль с точки зрения математика». Автор обсуждает не только роль самой математики как организующей субстанции всей науки, не только её многочисленные проблемы, трудности и приложения, но и проблемы собственно физики, биологии, наук о Жизни в целом: в каждой из них он является глубоким специалистом. Он высказывает иногда парадоксальные точки зрения на давние и новые исторические открытия и их перспективы. Жанр книги свободный рассказ знатока, перемежаемый массой неожиданных параллелей, аналогий, сравнений. Однако главной темой книги остаётся всеобъемлющая Математика, которой автор посвящает проникновенные, полные глубокого смысла слова: Существование Математики в том виде, как мы её знаем, представляется столь же невероятным, как возникновение Жизни на Земле. А. Вершик Божественный замысел Математики для нас непостижим, но если что-нибудь и может осветить тайны мира человеку, так это Математика. Математика заполняет своим огнём всё, что зовётся физическими науками: облака, скрывавшие от нас то, что теперь мы пишем как законы природы, рассеиваются в лучах такой физики. Но свет толькотолько проник в царство королевы Жизнь и ещё не коснулся покрывал принцессы Мысль eё лик вовеки скрывается во мраке. И пока мы не знаем, что есть Мысль, нам не понять, что такое Математика. В первой части книги рассеяны искры идей тех, кто увидел свет в темноте неизвестного, для нас это знаки на пути к пониманию Тайны Мысль. Во второй части мы прослеживаем несколько линий из математики, вдоль которых может проходить этот путь. Я благодарен Анатолию Вершику, предложившему идею данной публикации, и особенно Наталии Цилевич за её творческое превращение моего Russian English в русский текст и за советы по организации изложения. Также я хочу сказать спасибо Александру Шапиро за литературный перевод нескольких стихотворных цитат. Миша Громов, Париж, 2016 г.
4 Оглавление I. Цитаты и идеи 1. Прекрасное далёко Наука Числа Законы Истина Жизнь Эволюция Мозг Разум Тайны остаются II. Меморандум эрго 1. Мозг, эрго-мозг и разум Проект «Эрго» Формальность и универсальность смысл, фолдинг и понимание Универсальность, простота и эрго-разум Свобода, любопытство, интересные сигналы и обучение без цели Информация, предсказания и жук, ползущий по листу Камни и цели Эго, эрго, эмоции и эрго-настроения Здравый смысл, эрго-идеи и эрго-логика Эрго в нашем разуме Язык и языки Смысл смысла Игра, юмор и искусство Эрго в науке Неразумные люди и альтернативная история Математика и её границы Числа, симметрии и категории Логика и иллюзия строгости Бесконечное внутри, конечное снаружи Маленькое, большое, недоступное Вероятность: частицы, симметрии, языки
5 Оглавление Потоки сигналов из мира в мозг Характеристические свойства лингвистических сигналов Понимание структур и структура понимания Шестнадцать правил эрго-обучающегося Учимся понимать языки: от библиотек к словарям Библиотеки, строки, аннотации и цвета Преподавание и оценивание Атомы структур: единицы, подобия, кофункциональности, редукции Фрагментация, сегментация и выделение единиц Предсинтаксические морфизмы, синтаксические категории и энтропия ветвления Подобия и классификации, деревья и координатизации Кластеризация, бикластеризация и кокластеризация
7 Часть I Цитаты и идеи
9 Глава 1 Прекрасное далёко Round us, near us, in depth and height, Soft as darkness and keen as light. Сверху, снизу, вокруг и вслед, Мягкий мрак и глубокий свет 1. АЛДЖЕРНОН СУИНБЁРН, «ЛОХ-ТОРРИДОН» «Mathématiques, un dépaysement soudain» («Математика, неожиданное путешествие») так называлась выставка, организованная в Париже Фондом современного искусства Картье. Одним из её экспонатов стала «Библиотека тайн»: ТАЙНА ФИЗИЧЕСКИХ ЗАКОНОВ, ТАЙНА ЖИЗНИ, ТАЙНА РАЗУМА, ТАЙНА МАТЕМАТИКИ. Её представлял фильм Дэвида Линча, в котором с точки зрения художника осмыслялись идеи Времени, Пространства, Материи, Жизни, Разума, Знания, Математики, явленные цитатами из трудов великих учёных. Мишель Кассе и Эрве Шандес уговорили меня попытаться проделать то же самое с точки зрения наивного математика спроектировать эти идеи на незримый экран нашего разума, осветив их не отражением блеска богини искусств, но вечным сиянием математики. 1 Перевод А. Шапиро.
10 10 Цитаты и идеи Я знал, что ничего не получится, но всё же рискнул. Многое из того, что здесь написано, родилось в беседах с Джанкарло Луччини, а мой английский кое-где подправила Бронвин Махони. Книга представляет собой слегка видоизменённый вариант того, во что вылилась эта попытка.
11 Глава 2 Наука Не существует ничего, кроме атомов и пустоты; всё остальное лишь мнение. ДЕМОКРИТ АБДЕРСКИЙ (?), ДО Н. Э. Все люди от природы стремятся к знанию. Мышление это безмолвная беседа души с самой собой. Горячее желание знания есть единственный двигатель, привлекающий и поддерживающий исследователя в его усилиях, и это знание. постоянно ускользающее из его рук, составляет его единственное счастье и мучение. Мыслить значит страдать. Большой шаг вперёд был сделан в науке тогда, когда люди убедились, что для понимания природы вещей они должны начать не с вопроса о том, хороша ли вещь или плоха. но с вопроса о том, какого она рода. Наука это вера в невежество экспертов. Именно то, что нам кажется, что мы что-то знаем, мешает нам чему-то научиться. Здравый смысл это сумма предубеждений, приобретённых до восемнадцатилетнего [восьмилетнего?] возраста. Простое собрание фактов столь же мало является наукой, как куча камней домом. Факт сам по себе есть ничто: он имеет значение, лишь поскольку с ним связана идея или поскольку он служит доказательством чего-либо. Тот, кто не знает, чего ищет, не поймёт и того, что найдёт. Исследователь должен иметь безграничную веру и при этом всё же сомневаться. По мере того, как наука увеличивает наше могущество, она уменьшает нашу гордость собой. Тот, кто осмеливается считать себя судьёй в области истины и знания, будет повержен смехом богов. Боги любят шутить я подозреваю, что Вселенная не только страннее, чем мы себе представляем, но и страннее, чем мы можем себе представить. Самое непостижимое в этом мире то, что он постижим. В звучании струн заключена геометрия, а в расположении сфер музыка. Скрытая гармония сильнее явной. Размышления о прекрасном и новом поистине божественны.
12 12 Цитаты и идеи Самое прекрасное, что мы можем испытать, это ощущение тайны. Она источник всякого подлинного искусства и науки ветвей одного и того же дерева. Тот, кто никогда не испытывал этого чувства. подобен мертвецу, и глаза его закрыты. Когда дело доходит до атомов, может быть использован только язык поэзии. Поэзия ближе к жизненной правде, чем история. Знание ограничено. Воображение охватывает весь мир. Но при входе в лабораторию снимайте воображение, как пальто. Уходя, надевайте его вновь. Объективная реальность вещей останется вечно скрытой от нас; нам дано знать лишь отношения. Всё, что мы называем реальным, состоит из вещей, которые нельзя рассматривать как реальные. Настоящая объективная реальность есть внутренняя гармония мира. Время и пространство не навязаны нам природой мы сами навязываем их природе, потому что полагаем это удобным для себя. Различие между прошлым, настоящим и будущим не более чем иллюзия, хотя и весьма навязчивая. Человек это часть целого, которое мы называем Вселенной, часть. ограничивающая нас миром собственных желаний и привязанностью к узкому кругу близких нам людей. Наша задача освободиться из этой тюрьмы, расширив сферу своего участия до всякого живого существа, до целого мира во всём его великолепии. ПИФАГОР ЧАРЛЬЗ ДАРВИН НИЛЬС БОР ГЕРАКЛИТ КЛОД БЕРНАР АЛЬБЕРТ ЭЙНШТЕЙН ПЛАТОН ДЖЕЙМС КЛЕРК МАКСВЕЛЛ ДЖОН ХОЛДЕЙН АРИСТОТЕЛЬ АНРИ ПУАНКАРЕ РИЧАРД ФЕЙНМАН То, что думают эти люди, то, как они пишут, просвещает наш разум и возвышает дух, но своей собственной жизнью эти мысли почти не живут. Не растут, не преображаются, не пускают свежие зелёные побеги лишь сверкают, подобно застывшим в вечности кристаллам огненных цветов. Это не совсем то, что математики называют идеями, а нечто промежуточное между идеями и мнениями 1. С великими научными идеями всё иначе: они живут, они наполняют душу восторгом, они приглашают оспаривать и опровергать себя. 1 МНЕНИЕ об X это функция, скажем OP X = OP X (p), которая приписывает значение «ДА» (согласен) или «НЕТ» (не согласен) каждому человеку p, рвущемуся сообщить, что он думает об X, например о существовании (несуществовании) вакуума. Демокрита не заботили конкретные значения функции OP X (p) за исключением разве что случая, когда p это его лучший друг. Однако сей философ был бы рад обнаружить корреляцию между OP X (p) и расстоянием от жилища персоны p до Абдеры.
13 2. Наука 13 Вырвитесь из клетки обыденных представлений, дайте волю воображению, начните играть с подобными идеями, как щенок со своими игрушками, и вы окажетесь в мире прекрасного далёка, которое называется математикой.
15 Глава 3 Числа Все применения математики в науке основаны на соотношениях между законами, которым подчиняются физические величины, и законами математики. ДЖЕЙМС КЛЕРК МАКСВЕЛЛ, 1856 Г. Между числами, упоминаемыми мной в книге. есть числа, превышающие число песчинок, которые можно вместить не только в пространстве, равном объёму Земли. но и целого мира. АРХИМЕД, «ПСАММИТ, ИЛИ ИСЧИСЛЕНИЕ ПЕСЧИНОК», 250 Г. ДО Н. Э. Архимед. жизнь которого есть целая эпоха в жизни человечества и существование которого представляется одной из милостей природы. НИКОЛА КОНДОРСЕ Архимед оценил диаметр Вселенной примерно в два световых года, т. е км двести тысяч миллиардов километров, что, как нам теперь известно, составляет около половины расстояния до ближайших к нам звёзд, двойной системы Альфа Центавра A и B. Затем Архимед изобрёл экспоненциальную форму записи больших чисел и оценил количество песчинок или, скорее, маковых зёрнышек размером 0,2 мм, необходимых, чтобы эту Вселенную заполнить, числом, в современных обозначениях не превосходящим (Я взял эти числа из статьи в Википедии. На самом деле куб со стороной км имеет объём мм 3, что даёт кубиков со стороной 0,2 мм.) Если бы некий философ этим не впечатлился, заявив, что решения следует принимать на основе знания, а не чисел, Архимед, вероятно, ответил бы, что решения следует оставить могущественным правителям, числа же хранители нашего истинного знания. Большие числа окружают нас повсюду. Даже Сократ, Платон и Аристотель согласились бы, что ваши знания о себе неполны без представления о примерно ( миллиардах) бактерий, живущих у вас внутри, по несколько бактерий на каждую клетку вашего собственного тела.
16 Цитаты и идеи (Размер бактерии составляет примерно мкм одну тысячную миллиметра = одну миллионную метра, так что по объёму она в несколько тысяч раз меньше ваших собственных клеток. Если бы внутри каждой вашей клетки находилась бактерия, вы и не заметили бы этого к сему моменту уже благополучно скончавшись.) Одна-единственная бактерия, имея достаточно питательных веществ, способна делиться каждые минут, так что через часа она превратится в сгусток размером в 105 мкм = см, содержащий около 250 = (210 )5 = = (миллиона миллиардов) бактерий. Дальнейшее может подсчитать каждый школьник. День. Сгусток содержит = 1030 бактерий и в диаметре составляет 1010 мкм = км примерно кг бактерий на каждый квадратный метр поверхности Земли. День. Сгусток увеличивается в размере до 1020 мкм = 1011 км и достигает самых отдалённых участков Солнечной системы. Он поглощает Солнце ( 1,5 108 км от Земли) и все планеты, включая Плутон ( км), но не охватывает орбиту Седны в самой далёкой от нас точке ( 1, км). (Аристотель, настаивавший на том, что небо должно иметь форму сферы, рад был бы узнать, что бактерии по-прежнему находятся внутри сферического (гипотетического) облака Оорта облака комет, окружающих Солнце на расстоянии примерно одного светового года.) День. Сгусток содержит = бактерий и в диаметре составляет мкм = 1026 км 1013 световых лет, что в сотни раз превышает диаметр видимой Вселенной ( 1011 световых лет).
17 3. Числа 17 Бактерии существуют уже миллиарды дней, но имеют ли хоть какой-то смысл числа, подобные ? Ответ на этот вопрос и да, и нет. До этих чисел нельзя добраться, считая 1, 2, 3,, по крайней мере в нашем пространственно-временном континууме; нельзя и представить их набором каких-либо физических объектов. Однако нереально большие (и нереально маленькие) числа играют важную роль в нашем понимании ЗАКОНОВ ПРИРОДЫ, которые проявляются в наблюдаемых свойствах объектов Вселенной. Как природе, которая, по словам Эйнштейна, интегрирует эмпирически, удаётся удовлетворять этим законам? Есть ли в её распоряжении нечто значительно большее, нежели пространство/время (что-то вроде квантовых полей?), позволяющее интегрировать эмпирически? Или в неё встроена какая-то секретная логическая штуковина и она, подобно математикам, пользуется МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ИНДУКЦИЕЙ? Или же она обнаружила простой логический путь, в обход приводящий к этим законам, мы же не можем найти его, ибо обречены держаться мысленных путей, доступных нашему разуму? Эти вопросы, по-видимому, не имеют смысла; как всё-таки досадна наша неспособность сформулировать правильный вопрос! И всё же математик может найти утешение в попытке оценить число N can различных логических рассуждений (мысленных путей), состоящих, скажем, из L слов, которые в принципе в состоянии породить мозг разумного существа. Если бы кто-то объяснил нашему математику, что означают слова «может» и «в принципе», он, вероятно, оценил бы N can величиной L log L или того меньше, что весьма далеко от числа N all 2 L всех таких рассуждений и значительно уступает возможностям бактерий. Математик мог бы почувствовать себя уязвлённым, но вскоре осознал бы, что его собственные логика и язык скрывают числа, оставляющие далеко позади самых быстроразмножающихся бактерий. В самом деле, представим себе кота Шрёдингера. Его тело состоит из N молекул (воды и небольших молекулярных остатков/мономеров в макромолекулах). Предположим, что каждая молекула может находиться в одном из двух состояний. Тогда у кота имеется всего S = 2 N 10 0,3N состояний. Некоторые из них мы относим к состояниям живого кота, другие к состояниям кота мёртвого. Число назовем его, скажем, CAT возможных суждений/мнений о коте равно 2 S = > Как же выбрать верное суждение из этого колоссального универсума возможностей? Математики не понимают, как это происходит, но кот,
18 18 Цитаты и идеи покуда он жив и не озабочен математикой, как-то умудряется сделать правильный выбор и. остаётся в живых. Храбрецы отваживаются играть и с невообразимо б ольшими числами порождениями теоремы Гёделя о неполноте. Попадись вам такое число в рассуждениях о «реальном мире» и вашу логику уже ничто не спасёт. К счастью, в «реальном мире» вы их не встретите если сами не позовёте сих уродливых монстров по имени. Монстр STOP. Если у вашего компьютера M битов памяти, где, скажем, M = 10 10, то, отвечая на любой ваш «вопрос», он либо остановит работу, совершив меньше 2 M шагов, либо зациклится и будет работать вечно. (Вместо «шагов» можно использовать любые удобные «единицы времени»; число настолько велико, что всё равно, будут ли это наносекунды или миллиарды лет.) То, что мы называем здесь вопросом или программой, выполнить которую вы просите свой компьютер, это последовательность букв, представляющих собой названия клавиш, которые необходимо нажать на клавиатуре для запуска этой программы. Забудем о «реальном мире» и позволим компьютеру иметь бесконечную (неограниченную) память. Как и в конечном случае, компьютер может остановиться, совершив конечное число шагов, либо же работать бесконечно долго в зависимости от вашего вопроса (а также конфигурации своего аппаратного и программного обеспечения), правда, работать бесконечно долго в случае бесконечной памяти не обязательно означает зациклиться. Например, если вы попросите компьютер найти файл под названием cell_phan_nimber_bull_gytes, тот либо найдёт его и остановится, либо же, если такого файла не существует, будет работать вечно. (Ваш медленно работающий мозг, в отличие от быстро работающей поисковой системы OS Windows, обладает фундаментальной способностью дать на подобный вопрос почти мгновенный ответ «ТАКОГО ФАЙЛА НЕ СУЩЕСТВУЕТ». Простой, хотя и структурно нетривиальный пример того же рода реакция «ГОРЬКО», возникающая на вашем языке в ответ на всё, химически далёкое от потенциальных питательных веществ, с редкими ошибками, такими как реакция «СЛАДКО» на сахарин. Можно вместе с Робертом Гуком, Чарльзом Бэббиджем и Аланом Тьюрингом строить правдоподобные догадки об архитектуре человеческой памяти, которая обеспечивала бы эту фундаментальную способность. Экспериментальных средств для проверки нетривиальных гипотез в этой области не существует, однако имеется математически привлекательная теория такой памяти, предложенная Пентти Канервой под названием разреженная распределённая память.)
19 3. Числа 19 Выберем (умеренно большое) число L и рассмотрим все программы, состоящие из L букв, выполняя которые компьютер в конце концов остановится. Поскольку число этих программ конечно (меньше 100 L, если при написании программ используется меньше 100 букв), наибольшее (но всё же конечное!) время исполнения такой программы, измеряемое, скажем, в годах, также конечно; назовем его STOP(L). Несмотря на свою конечность, это число, даже для скромных значений L, скажем L = (запись программы, состоящей из букв, занимает около десятка страниц), практически неотличимо от бесконечности в некотором точном логическом смысле. Наша Вселенная ничтожно мала не только для того, чтобы вместить в себя что-либо подобного размера, но и для того, чтобы содержать запись явной формулы или явного словесного описания такого числа, даже если буквами в этой записи будут служить атомы. (Способ, которым мы только что описали число STOP, не считается: требование отличать время остановки программы от бесконечности без указания конкретного «экспериментального протокола», с помощью которого это предполагается делать, трудно назвать явным описанием.) По сравнению с монстром STOP число CAT кажется крошечным соответствующая экспоненциальная формула выражается несколькими десятками двоичных символов (и физически записывается с помощью нескольких тысяч атомов, управляемых посредством атомно-силового микроскопа). Если быть до конца честными, следует признать, что с нашим определением числа STOP(L) не совсем всё в порядке. Представьте, например, что память нашего компьютера всё-таки содержит строку cell_phan_nimber_bull_gytes, но так далеко, что добраться до неё нельзя меньше чем за T единиц времени. Поскольку T можно выбрать сколь угодно большим, из логики нашего определения с неизбежностью следует, что STOP(L) равно бесконечности, даже если ограничить длину L допустимых программ какой-нибудь совсем малой величиной, не превосходящей, скажем, одной тысячи букв. Следует как-то запретить такую возможность, потребовав, чтобы все «ячейки памяти» нашего компьютера, до которых нельзя добраться меньше чем, скажем, за единиц времени, были пустыми, т. е. в этих «удалённых ячейках» ничего не было записано. Более того, следует предполагать, что компьютер знает, когда он пересекает границу «непустого пространства», и не будет тратить время на поиски в пустом. С другой стороны, в процессе вычислений компьютеру разрешается записывать данные в эти «удалённые ячейки» и стирать их; в конце концов это может привести к тому, что объём занятых ячеек памяти станет огромным, а их чтение мучительно долгим.
20 20 Цитаты и идеи С этой оговоркой определение числа STOP(L) становится корректным оно действительно даёт некое конечное число, ПРИ УСЛОВИИ, что вы точно определили, что такое «удалённые ячейки» и что значит «добраться до той или иной ячейки памяти». Но можно ли, используя конечное число слов, явно описать бесконечную память и программу поиска в этой памяти? Общепринятое решение этой проблемы, сформулированное Тьюрингом, состоит в том, чтобы всем числам 1, 2, 3, 4,, 1000 сопоставить ячейки/блоки памяти, которые снабжены метками «пусто»/«непусто», и считать, что в каждой «непустой» ячейке записан символ 1 или 0. Тогда один шаг поиска в памяти определяется как переход от ячейки i к ячейке i + 1 или i 1, причём каждая посещённая ячейка помечается как «непустая». Если на вас действует магия слова «все» и вы верите, что оно на самом деле задаёт бесконечное количество чисел, вы получите «математически точное» определение числа 1 STOP(L). И всё же с числом STOP не совсем всё в порядке: это побочный продукт аппарата формальной логики, а не настоящее математическое число. Но около тридцати лет назад были открыты поистине ГИГАНТСКИЕ числа, как, например, время, необходимое Гераклу, чтобы расправиться с гидрой в некой математической модели этого прискорбного происшествия. Но все эти ГИГАНТСКИЕ КРАСАВЦЫ несравненно меньше уродливого монстра STOP. 1 В мире есть, вероятно, 5 10 математиков и логиков, которые полагают, что такие монстры, как STOP, демонстрируют фундаментальные изъяны в наших понятиях «чисел», «конечности» и «бесконечности».
22 286 II. Меморандум эрго 11. Evans N., Levinson S. C. The myth of language universals: Language diversity and its importance for cognitive science //Behavioral and Brain Sciences V. 32, 05. P ; adele/lin 106: UCB files/evans-levinson09 preprint.pdf. 12. First probabilists: Galileo, Cardano, Fermat, Pascal, Huygens; bricol.net/downloads/misc/histprob/02.first_probabilists.pdf. 13. Fisher S. E., Marcus G. F. The eloquent ape: genes, brains and the evolution of language // Nature Reviews Genetics V. 7. P Flynn E. H. (ed.) Cephalosporins and Penicillins: Chemistry and Biology. Academic Press, Hald A. A History of Probability and Statistics and Their Applications before Wiley, Heatley N. G. In Memoriam, H. W. Florey: an Episode // J. Gen. Microbiology V. 61. P Johnson R., Liddell S. Toward a phonetic representation of signs: sequentiality and contrast // Sign Language Studies V. 11, 2. P (В свободном доступе находится только первая страница этой статьи.) 18. Kresge N., Simoni R. D., Hill R. L. Selman Waksman: the father of antibiotics // J. Biol. Chem V P. e Lawvere F., Schanuel S. Conceptual Mathematics. Cambridge University Press, Macfarlan G. Alexander Fleming: The Man and the Myth. Harvard University Press, Macfarlan G. Howard Florey: The Making of a Great Scientist. Oxford University Press, Margineanu N. Logical and Mathematical Psychology: Dialectical Interpretation of Their Relations. Presa Universitara Clujeana, McFadyen D. Review of Liber De Ludo Aleae (Book on Games of Chance) by Gerolamo Cardano; McInerney D. M., Liem A. D. (eds.) Teaching and Learning: International Best Practice. Information Age Publishing, Moberg C. L., Cohn Z. A. Launching the antibiotic era: personal accounts of the discovery and use of the first antibiotics // Yale J. Biol. Med V. 64, 2. P Near Death Experience;
23 33. Кластеризация, бикластеризация и кокластеризация Oudeyer P.-Y., Kaplan F., Hafner V. V. Intrinsic motivation systems for autonomous mental development // IEEE Transactions on Evolutionary Computation V. 11, 1, (2007); Padgett J., Seaberg M. A. Struck by Genius: How a Brain Injury Made Me a Mathematical Marvel. Houghton Mifflin Harcourt, Piore A. When brain damage unlocks the genius within; Potter R. D. The race to get enough penicillin (1944); Schmidthuber J. Formal theory of creativity, fun, and intrinsic motivation ( ); juergen/ieeecreative.pdf. 32. Selman Waksman and Antibiotics, Commemorative booklet produced by the National Historic Chemical Landmarks program of the American Chemical Society in 2005; education/whatischemistry/landmarks/selmanwaksman.html. 33. Shafer G., Vovk V. The sources of Kolmogorov s Grundbegriffe // Statist. Sci V. 21, 1. P Sources in the History of Probability and Statistics; Townsend J. T. Mathematical psychology: prospects for the 21st century // J. Math. Psychol V. 52, 5. P Treffert D. A. The savant syndrome: an extraordinary condition. A synopsis: past, present, future // Philos. Trans. R. Soc. Lond. B Biol. Sci V. 364 (1522). P Treffert D. A. Extraordinary People: Understanding Savant Syndrome. iuniverse, Van Epps H. L. René Dubos: unearthing antibiotics // J. Exp. Med V. 203, 2. P Waksman S. A. My Life with the Microbes. Scientific Book Club, Who Saved the Most Lives in History Science Heroes News; content& view=article&id=258&itemid= Wolpert D. M., Diedrichsen J., Flanagan J. R. Principles of sensorimotor learning // Nature Reviews Neuroscience V. 12. P Zhu Q., Binghamb G. P. Human readiness to throw: the size weight illusion is not an illusion when picking the best objects to throw // Evolution and Human Behavior V. 32, 4. P
24 Громов Михаил КОЛЬЦО ТАЙН: ВСЕЛЕННАЯ, МАТЕМАТИКА, МЫСЛЬ Подписано в печать г. Формат / 16. Бумага офсетная. Печать офсетная. Печ. л. 18. Тираж 1000 экз. Заказ. Издательство Московского центра непрерывного математического образования , Москва, Большой Власьевский пер., д. 11. Тел. (499) Отпечатано в соответствии с предоставленными материалами в ЗАО «ИПК Парето-Принт», г. Тверь, Книги издательства МЦНМО можно приобрести в магазине «Математическая книга», Большой Власьевский пер., д. 11. Тел. (495)
Источник