Меню

Как была открыта планета нептун исследование космоса математические расчеты

Открытие Нептуна

Нептун был открыт в 1846 р. в результате математических вычислений, проведенных независимо друг от друга и практически одновременно Адамсом и Леверрье. История этого открытия изобилует неожиданными подробностями и осложнена неприязнью, существовавшей между некоторыми из главных действующих лиц. Чрезвычайно интересный отчет обо всем этом содержится в работе профессора Смарта (Smаr W. M.John Coach Adams and the Discovery of Neptune.— Royal Astron. Society, 1947). Хочу рассмотреть только один аспект этой истории.

Чтобы освежить в памяти читателя то, что время от времени говорилось по поводу этого открытия, я начну с нескольких типичных высказываний. В своей книге The Story of the Heavens (1886) P. Болл (Sir Robert Ball) писал: «. имя Леверрье поднялось на высоту, нигде и никогда не превзойденную. «, «. глубочайшие размышления на протяжении многих месяцев. «, «. долгий сложнейший труд, направляемый совершенным искусством математика. «. Автор не отказывает себе также в применении небольшой дозы романтической популяризации: «. если эллипс и не обладает законченной простотой окружности, то он, по крайней мере, привлекает богатством форм. являясь линией абсолютного изящества, вызывающей в нас самые возвышенные представления. » и т. д., но о Нептуне он говорит как профессионал. Одна замечательная современная книга по истории астрономии (1938 г.) содержит фразу: «. вероятно, самый смелый математический замысел столетия. поразительная попытка, равной которой не знает история. «.

Открытие вызвало вполне естественную реакцию. Небесная механика вообще и, в частности, теория возмущений, развились в прекрасно разработанные сложные дисциплины. Задача объяснения неправильностей в поведении Урана наличием неизвестной планеты принадлежит к числу «обратных» задач теории; такие задачи считались чрезвычайно трудными — настолько трудными, что никто не сомневался в их неразрешимости. Можно размышлять над тем, почему такое мнение возникло (одной из причин являлось смешение разных смыслов термина «неразрешимость» * Но и после того, как Адаме и Леверрье доказали ошибочность этого мнения (кстати, всякое математическое доказательство является в какой-то мере опровержением неправильного мнения), все же кое-что остается сказать в пользу оценки трудностей не после, а до их преодоления. Никто не может, конечно, считать славу Адамса и Леверрье недостаточно заслуженной (или, скажем, умалять ее ссылками на «везение», считая, что их открытие стало сенсацией в большей мере, чем это оправдывалось существом дела; между прочим, такое «счастье» никогда не выпадает на долю заурядных людей). Правда, следует сказать, что сенсация, связанная с этим открытием, продержалась дольше, чем можно было ожидать, но надо иметь в виду возникающую всегда инерцию: люди не могут часто пересматривать свои мнения, и даже самые интеллигентные из нас, однажды высказав что-либо, много раз повторяют это. Известная фраза: «только 3 человека понимают теорию относительности» повторялась и в те дни, когда Эддингтон уже жаловался своим коллегам на легкость теории относительности как отдельного экзаменационного предмета по сравнению с другими университетскими курсами.

* ( Связь этой задачи с «задачей трех тел» вводит многих в заблуждение и по сей день.)

В том, о чем я собираюсь говорить дальше, не следует усматривать поучения людям, заведомо более умным, чем я. Мои незначительные jeux d’prit никого не должны обидеть, и я не откажусь от них из опасения, что меня упрекнут в недостатке уважения к знаменитым ученым. Я не одинок в предположении, что возможен более простой подход к решению задачи. Во-первых, будем стремиться к тому, чтобы выкладки, необходимые для открытия новой планеты, были минимальными, в частности, будем стремиться к определению момента t противостояния * . Во-вторых, забудем высокие материи и трудоемкие вычисления теории возмущений и попробуем обойтись только «школьной математикой». (Признаюсь, что я движим чисто человеческой слабостью предвкушения пикантности успеха на таком простом пути.) Для начала скажу, что я обнаружил одно весьма странное обстоятельство, состоящее в кажущейся невозможности приступить к решению (и в связи с этим вначале допустил грубые ошибки). В конце концов, однако, выявился абсурдно простой подход; я могу легко представить себе, что мое решение будет названо мошенничеством, и ни в коей мере не отрицаю, что в этом есть некоторая доля истины. Единственным способом, которым я могу доказать свою правоту, является полное объяснение того, как я «предсказываю» t, исходя из наблюденных данных (так что каждый может проверить, что — сознательно или бессознательно — не делается никаких ошибочных заключений). Я буду, кроме того, вести изложение так, чтобы оно было доступно максимальному числу любителей, желающих вместе со мной принять участие в этом небольшом приключении.

* ( То есть момента, когда NUS становится прямой линией (я применяю сокращения: S, U, N).)

Планетной орбитой является эллипс, в одном из фокусов S которого расположено Солнце, причем радиус-вектор SP заметает в одинаковые отрезки времени одинаковые площади (2-й закон Кеплера). Если плоскость орбиты известна, то орбита определяется четырьмя элементами: а, е, α и ε. Первые три определяют геометрический эллипс: а является его большой полуосью, е- эксцентриситетом и а — долготой перигелия, т. е. при естественном выборе полярных координат r, θ (θ — долгота), θ = α, когда Р находится ближе всего к S (в конце большой оси). Если мы знаем а, то мы знаем и среднюю угловую скорость n с соответствующим периодом p = 2π /n, так как n пропорциональна а — 3 /2 (3-й закон Кеплера * ); далее, постоянная скорость заметания площадей отрезком SP равна abn/2 ** , а удвоенная скорость совпадает с угловым моментом *** (у. м.) также, конечно, постоянным, который выражается дифференциальной формулой r 2 θ. 4-й элемент, эпоха ε, необходим для установления начала отсчета t; его точное определение состоит в том, что равенство θ = α (перигелий) достигается в момент t, для которого nt + ε = α.

Читайте также:  С тихи про космос

* ( n не зависит от ε.)

** ( Площадь всего эллипса равна πab, и она заметается за время р.)

*** ( Строго говоря, у. м. имеет в качестве множителя массу планеты, но масса U не играет роли, и я ее всюду опускаю.)

Орбита U имеет период 84 года и эксцентриситет ε, примерно равный 1/20. После того как влияние всех тел, кроме 5 и возможного N, будет учтено, мы можем считать, что U, S и N являются единственными телами системы; мы можем также предположить (это общеизвестно), что все движения происходят в одной плоскости. Значения θ (для U) в разные моменты t (мы будем иногда писать θ(t), чтобы подчеркнуть, что θ берется «в момент t») могут рассматриваться как материал, доставляемый наблюдениями (хотя фактически наблюдения производятся, конечно, с Земли). Значения r для разных t не могут быть непосредственно измерены, и поэтому точность их определения значительно меньше.


Таблица I

Ситуация в 1845 г. была такова, что никакая точно эллиптическая орбита не подходила к наблюденным 0 за период с 1780 по 1840 г. * . Расхождения были очень малыми, они составляли большей частью менее 1′ дуги (не считая внезапного отклонения в 90″ — см. табл. I); m — отношение массы N к массе S (принимаемой за 1) — примерно равно 1/19000 (что дает правильный порядок, так как m радиан приблизительно равно 11″).

* ( Наблюдения после 1840 г. были недоступны и не использовались. Уран был открыт в 1781 г. Чтобы предупредить недоумение читателя по поводу небольшого несоответствия в датах, замечу, что экстраполяция на 1780 г. вполне надежна.)

При отсутствии N у. м. А постоянен (как отмечено выше, это не что иное, как 2-й закон Кеплера); фактически N увеличивает А в моменты, предшествующие t, и уменьшает его в последующие моменты. График А как функции t поэтому поднимается до максимума при t = t, и моей первой идеей было использовать это обстоятельство для нахождения t. Так и можно было бы поступить, если бы все наблюдения были абсолютно точными (и метод вследствие этого имел бы то теоретическое преимущество, что он не требовал бы знания эксцентриситетов). Но значение А в момент t зависит от значения r в этот момент, в результате чего определение А оказывается слишком неточным. Таким образом, этот метод отпадает, но он возрождается из пепла в другом виде. Нам понадобятся еще некоторые предварительные замечания.

Численные данные, с которыми работали Адаме и Леверрье, содержали не сами наблюденные значения θ, а разности между наблюденными значениями θ(t) и значениями θB(t) для эллиптической орбиты, вычисленными Буваром; расхождение δ(t) (δ для краткости) определяется равенством δ(t) = θ(t) — θB(t). [θB(t) зависит от элементов EB, а эти последние содержат ошибки. Эти ошибки входят в число неизвестных, определение которых составляет задачу теории возмущений; но наш метод, как мы увидим, не интересуется ими.] Табл. I содержит неисправленные значения δ (данные из работы Адамса * ) вместе с значениями, полученными из расчета гладкой интерполирующей кривой. Что делать с внезапным спуском после большого интервала сравнительно малых изменений — не совсем ясно; я провел свою кривую, и больше от нее не отступал (но даже ее исправление в конечном счете не оказало бы никакого влияния). Расхождения показывают порядок ошибок наблюдений (последние, естественно, улучшаются от года к году, не считая каких-то крупных неполадок в 1789 г.); эти расхождения абсолютные, а не относительные (так что вероятная абсолютная ошибка разности δ12 одна и та же, как при δ12 = 0,5″, так и при δ12 = 90″). Целесообразно работать с точностью до 0,1″ или до удерживаемых нами десятичных знаков, хотя последний знак сомнителен.

* ( Collected Works, v. I, с. 11. Для нас важны именно эти данные (а не исправленные, приведенные у Смарта), Значения фактически являются средними за 3 года.)

Значение для 1843 г, является экстраполяцией; оно и выведенные из него результаты снабжены значком (е).

Эффект, вызываемый N, имеет «порядок m», а в математических обозначениях он равен O(t), если АХ для данной величины X означает (вычисленное X) — (наблюденное X), то ΔХ есть О(m). Квадрат О(m) (бесконечно малая 2-го порядка) ничтожен, и каждый инстинктивно им пренебрегает (если часы отстают на 10 секунд в сутки, то никто не будет пытаться исправить отсчет времени сверх потерянных 10 секунд — это вполне аналогичный случай). Далее, эффект, вызываемый N, состоит из того, чем он был бы, если бы U, а также N, двигались по окружности, плюс поправки на эксцентриситеты орбит. Эксцентриситет U, равный е(= 1/20), необычно велик; разумно предположить, что эксцентриситет N не больше (фактически он менее 1/100). Эксцентриситеты искажают «круговое» значение эффекта на 5% (или, скажем, максимум на 10%). Так как сам эффект есть О(m), то «искажение» эффекта будет O(em) * : это — первый шаг моего рассуждения. В частности, если мы имеем величину, являющуюся каким-то Δ, или самим m, умноженным на некоторый множитель, то мы можем подставить первые приближения (т. е. приближения с е = 0) или произвести изменения порядка O(e) в самом множителе.

Читайте также:  Кто что знает про космос

Я хотел бы подчеркнуть, что не собираюсь пренебрегать даже высшими степенями е, если они не сопровождаются множителем ь (е 4 радиан примерно равен 1″). Искажение значения, найденного для t, является, однако, исключением. Но эффект эксцентриситетов е в искажении t вряд ли больше, чем то расхождение, которое они дают между временем противостояния и временем максимального сближения. Простой подсчет показывает, что это расхождение в худшем случае не превышает 0,8 года.

Предположим теперь, что Е1, Е2 — две (точные) эллиптические орбиты, дающие θ(t), отличающиеся на величины того типа, который мы рассматриваем, т. е. на O(m) * . Тогда разность θ1 — θ2представляется в виде

где а, b, с, d — константы, зависящие от двух систем элементов орбит E1 и Е2, а n (следуя нашей договоренности относительно множителей при m) мы можем считать любым общим приближением к средним угловым скоростям. Простое «школьное» доказательство равенства (1) я пока отложу.

* ( Орбиты могут иметь «солнца» масс, отличающихся на О (m).)

Далее, пусть, во-первых, E * — мгновенная орбита момент t, т. е. орбита, которую стал бы описывать U, если бы N исчез в момент t; заметим, что Е * , как и U, пока «неизвестны». Во-вторых, пусть υ — возмущение величины θ для U, производимое N, начиная с момента t * . Тогда, если θ (как всегда) является долготой U в некоторый момент t, θB — долготой на орбите E * , то мы имеем υ = θ — θ * и, следовательно,

* ( Мы допускаем, конечно, отрицательные значения t — t как для E * , так и для b.)

Но каждое из последних слагаемых имеет множитель m, и мы можем опустить встречающиеся О (em). В частности, мы можем при вычислении υ отбросить все е-члены. Это означает, что мы можем вычислять υ, как если бы орбиты U и N были круговыми, а в этом случае υ имеет равные по абсолютной величине и обратные по знаку значения в точках t, симметричных относительно t. Иначе говоря, если мы положим t = t + τ, то

является нечетной * функцией τ, т. е.

* ( Ω используется вместо буквы О (первая буква слова odd — нечетная), имеющей у нас специальное назначение. Заметим, что набранное в тексте курсивом утверждение справедливо «по симметрии»: обратим движение с момента t. (Это рассуждение учитывает также возмущение Солнцем, которое не столь мало, как может показаться))

Утверждения (1), (2) и (3) представляют собой основные (и притом очень, простые) звенья нашего рассуждения. Разность θ * — θB является частным случаем θ1 — θ2 и может быть вычислена по формуле (1). Положим в ней t = t + τ и используем (2) и (3); опуская члены O(еm), находим

Применяя формулы для косинуса и синуса суммы и приводя подобные члены, получим (с новыми константами, зависящими от t, которые, однако, нас не интересуют)

Выражение, стоящее в фигурной скобке, является нечетной функцией τ. Поэтому, если мы будем комбинировать противоположные по знаку и равные по абсолютной величине значения τ и построим δ * (τ) и ρ (τ) так, чтобы удовлетворялись соотношения

то будем иметь δ * (t) = B(1 — cos nτ) и ρ(τ) = B для всех τ. Таким образом, если мы используем правильное значение t, то отношение ρ (τ) должно оказаться постоянным: в этом и состоит наш метод определения t. Фактическое значение t с точностью до года оказывается равным 1822.


Таблица II

Таблица II, в которой шаг равен 1 году (а n в cos nτ равно 2π/84), показывает результаты проб различных t (число столетий в датах опущено). Последний знак в ρ(τ) ненадежен, но его надежность повышается с увеличением 2δ * (τ): я привожу в этой таблице результаты моих вычислений, и они говорят сами за себя. Значение τ = 6 включено, хотя относительная ошибка значения δ * для этого τ довольно велика * . Для t = 13 значение ρ возрастает до 34,8 при τ = 27; для t = 16 оно возрастает до 38,2 при τ = 24. Как только данные были собраны (имеются в виду значения для гладкой кривой), все вычисления заняли около часа работы с логарифмической линейкой. Дата 1822,4 представляется примерно «наилучшей» для t.

* ( И полученные значения для τ = 6 при t = 22 и t = 22,4 менее надежны, чем другие, вследствие резкого изменения в поведении В гладкой кривой.)

Нам требуются достаточно большие значения τ для того, чтобы значения δ * (τ) имели достаточное число значащих цифр, а также для того, чтобы располагать достаточно большим интервалом, в котором мы могли бы установить, что ρ(τ) постоянно. Нам также требуется место для маневрирования вокруг окончательного значения t. Таким образом, метод оказывается успешным благодаря тому «счастливому» обстоятельству, что 1822 г. достаточно удален от концов интервала наблюдений (1780-1840 гг.). Но ведь какое-то «везение» всегда необходимо.

Важно отметить, что метод совершенно нечувствителен к тому, насколько хорошо подсчитано ЕBнам не нужно знать элементов ЕB (которые мне и неизвестны), достаточно знать «расхождение» с некоторой (конечно, не слишком плохой) «неизвестной» орбитой. С другой стороны, метод заведомо ничего не говорит о массе или расстоянии N. Я хотел бы еще кое-что добавить к этому. Опустив е-члены, мы можем точно вычислить υ(τ)/m для любого данного значения λ = a /a1 (отношение больших полуосей орбит U и N) * . Идея, заключающаяся в том, чтобы испробовать различные λ, определяя по каждому К наиболее подходящее m и беря наилучшие пары λ, m, не проходит, так как существенным членом в выражении υ является b’ (nτ — sin nτ), а значение b’ в сильной степени зависит от коэффициентов а, b, с, d в θ * — θВ, которые в свою очередь зависят от неизвестных элементов ЕB (т. е. υ непригодно вследствие того, что θ * — θВ «неизвестно»). Если бы мы знали эти элементы (или, что эквивалентно, исходные значения 9), то мы могли бы сдвинуться с места. Эти данные можно, конечно, получить из архивов Парижской обсерватории, но я отказался от этой возможности, поскольку настоящая статья добавлялась к книге в самый последний момент, и я не чувствовал себя обязанным подходить к моей теме с сугубо профессиональных позиций. Кроме того, я не хотел, чтобы наш экскурс утратил свой характер легкой прогулки.

Читайте также:  Светодиодная лампа космос то горит то не горит

* ( Для этого используются два дифференциальных уравнения второго порядка. Формула содержит «квадратуры», но при выполнении фактических вычислений интегрирование требует не больше времени, чем простое умножение. Сравнительно легко составить таблицу с двумя входами для υ(τ, λ)/m.)

После того как t определено, следовало бы угадать расстояние а1 до N; период N тогда вычислялся бы по формуле 84 ( a1 /a) 3 /2 лет, и мы смогли бы предсказать положение N в 1846 г. В то время очевидной догадкой было (по эмпирическому закону Боде) a1 /a = 2; но, к несчастью, N является первым исключением из этого закона, так как истинное значение a1 /a = 1,58. Адаме и Леверрье действительно начали со значения 2 (Адаме во втором туре вычислений спустился до 1,942). С нашей точки зрения * слишком большое a1 ведет к непропорционально более плохим результатам, чем слишком малое а1, и поэтому разумно в качестве первой попытки взять 1,8. Это дает для 1846 г. результат с ошибкой в 10°, а при поисках обычно практикуются такие отклонения телескопа.

* ( Вычисления, основанные на теории возмущений, должны исходить из предположительного значения a1; мы же а1 выбираем Ё в конце.)

Леверрье ошибся меньше, чем на 1° (Адаме — на 2-3°); «телескоп был направлен, и планету увидели». Столь точное двойное предсказание действительно является весьма курьезным фактом. Все наблюдения с 1780 по 1840 г. были использованы в равной мере, и теория претендовала на полное описание поведения N в течение всего этого периода. С неверным аг они могли быть правы в 1840 г. только за счет ошибочности данных за 1780 г. Для принятого Адамсом значения а1 = 1,94а период N (зависящий от аг) оказался бы равным 227 годам; в предположении круговой орбиты и, следовательно, постоянной угловой скорости Адаме ошибся бы на 30° для 1780 г. Но неверное a1, принятое Адамсом, автоматически нейтрализовалось большим эксцентриситетом 1 /8 и отнесением перигелия к точке противостояния. Такая комбинация посылок привела к тому, что фактическое расстояние от S в критическом интервале оказалось близким к 1,7а, и результирующая ошибка для 1780 г. (самая большая из всех) составила всего 18° ; (более очевидной компенсацией была бы в 2,8 раз большая масса).

В более близкое к нам время небольшие ненормальности в поведении N и U были исследованы с точки зрения возможности существования транснептуновой планеты (ненормальности, относящиеся к U, оказались более податливыми), и в 1930 г. вблизи предсказанного места была открыта планета Плутон. Но это было чистейшей случайностью: Плутон имеет массу, вероятно, не большую, чем 1 /10 массы Земли, так что его влияние на N и U безнадежно покрывается ошибками наблюдений.

Мне остается лишь дать (школьное) доказательство соотношения (1). Положим е12 = Δе и т. д. Выше было отмечено, что все Δ суть O(m): это не совсем так, но я умышленно ввел читателя в заблуждение в его же собственных интересах * . Верно, что Δе, Δα, Δn и Δε суть O(m). Но «эффект» данного Δα исчезает при е = 0 и пропорционален е. В действительности не Δα, a eΔα сравнимо с остальными Δ и является O(m) ** .

* ( «Wen Gott betrugt, ist wohl betrogen».)

** ( Этот подвох делает «очевидный» подход, использующий хорошо известное разложение

несколько опасным; нам пришлось бы сохранить член с е 2 . В тексте мы эту трудность обходим.)

Начнем с двух хорошо известных формул. Первую мы заимствуем из аналитической геометрии: полярное уравнение эллиптической орбиты имеет вид

Вторую мы заимствуем из динамики: 2-й закон Кеплера записывается в виде

Применяя точки для обозначения дифференцирования по t, будем иметь

Первым приближением (с е = 0) является θ = nt + ε. Применяя (6) с индексами 1 и 2, будем оперировать с Δ, помня, что мы можем брать первое приближение для любого множителя при m.

При оценке Δθ можно, пренебрегая ошибкой O(еm), опустить множитель (1-е 2 ) — 3 /2 , в (6), так как: этот множитель сам равен 1 + O(е 2 ), а его Δ равно O(еΔе) = O(еm). Поэтому, с точностью до O(еm),

Первое слагаемое равно Δn + O(еm). Второе равно

и благодаря наличию множителя O(e) мы можем отбросить в θ в Δ(θ — α). Окончательно мы получим

где mА = Δn, mВ = -2nΔе, mС = -2n(еΔα). Подставляя первое приближение θ = nt + ε в правую часть, мы находим

а интегрируя, получаем

что и дает (1) после того, как мы применим формулы для синуса и косинуса суммы двух углов и приведем подобные члены * .

* ( Мы рассматривали Δn и Δα как независимые величины (последняя вообще не входит в окончательную формулу для Δθ; это означает, что мы допускаем разные массы для двух «солнц». Это обстоятельство играет роль в некоторых более тонких рассмотрениях, на которых я здесь не останавливаюсь.)

Источник