Как космос связан с математикой

Исследовательская работа на тему: «Исследования: космос и математика»

Начиная с XX века, математические исследования космоса неразрывно связаны с физическими освоениями космического пространства.

12 апреля 2014 года исполнилось 53 года с момента первого полёта человека, нашего соотечественника Юрия Гагарина, в космос. Меня заинтересовала роль математики в космических исследованиях.

С одной стороны, практически все методы небесной механики, которые были разработаны на протяжении многих веков, преобразованы в инструменты для навигации ракет, искусственных спутников и космических зондов. С другой стороны, почти все эти космические аппараты были оборудованы научными приборами для сбора данных о Земле и других объектах нашей Солнечной системы, а также далёких звёздах и галактиках. Кроме того, спутники и зонды обеспечивают обратную связь. Помимо этих прямых эффектов, есть много других областей взаимодействия между космической программой и математикой

Скачать:

Вложение	Размер
issledovaniya_kosmos_i_matematika.doc	404 КБ

Предварительный просмотр:

Министерство образования и науки Республики Дагестан

МКОУ «Кизлярская гимназия №1 имени М. М. Ломоносова»

Научно – практическая конференция

учащихся «Я — исследователь»

Исследовательская работа на тему:

«Исследования: космос и математика»

Выполнил: Рабаданов Гаджимурад,

ученик 8 класса.

Руководитель: Чернова Е. М.

Глава 1. Навигация, траектории и орбиты.__________ 5

Глава 2. Связь и передача изображения.____________ 9

Практическая часть.____________________________ 10
Заключение.___________________________________13
Используемая литература._______________________ 14

С одной стороны, практически все методы небесной механики, которые были разработаны на протяжении многих веков, преобразованы в инструменты для навигации ракет, искусственных спутников и космических зондов. С другой стороны, почти все эти космические аппараты были оборудованы научными приборами для сбора данных о Земле и других объектах нашей Солнечной системы, а также далёких звёздах и галактиках. Кроме того, спутники и зонды обеспечивают обратную связь на гравитационное поле вокруг Земли и всей Солнечной системы.

Помимо этих прямых эффектов, есть много других областей взаимодействия между космической программой и математикой. Вот лишь некоторые из них:

GPS: глобальная система позиционирования
Сжатие данных методов для передачи сообщений
Оцифровка и кодирование изображений

Коды, исправляющие ошибки для точной передачи

«Рогатка» или «гравитационное повышение» для оптимальных траекторий
Эксплуатация точек Лагранжа для стратегического размещения спутников
Динамические системы энергоэффективных методов размещения орбит
Конечные элементы для моделирования структуры такие, как космический корабль и антенны.

Приведу примеры некоторых космических зондов и спутников, внесших

свой вклад в детальное изучение космологии и астрофизики:

Космический телескоп Habble
COBE и MAP спутники для изучения космического микроволнового фонового излучения
Миссия Генезис и SOHO спутник для излучения Солнца и солнечного излучения

Зонд ISEE3 / ICE пространства для изучения солнечных вспышек и космических гамма – лучей

LAGEOS – спутники для проверки предсказания Эйнштейна об «увлечении» вокруг вращающегося тела.

Вместо того чтобы пытаться охватить все или даже большинство из математических связей, я сосредоточусь на двух из них, которые, на мой взгляд, необходимы, актуальны и занимают центрально место в современном мире: во – первых, навигация и планирование траекторий, и во – вторых, связи и передачи изображений.

Глава 1. Навигация, траектории и орбиты

Когда была создана правительственная программа исследования космического пространства, примечательной особенностью было создание Центра управления полётами. Первоначально в Центре управления полётами математики, специализирующиеся на орбитальной механике, следили за траекториями и подавали информацию, необходимую для навигации. Их роль была особенно важна для операций, связанных со сближением двух транспортных средств, в деликатных случаях, таких, как посада на Луну и в чрезвычайных ситуациях, которые требуют от всех участников процесса применения математических навыков точных вычислений. Например, наиболее заметная чрезвычайная ситуация была с «Апполоном — 13». Задача состояла в том, чтобы вернуть живым экипаж. После отстыковки от командного модуля экипаж корабля и учёные Центра управления полётами были вынуждены использовать для посадки лунный модуль (никогда не предназначавшийся для этой цели), чтобы благополучно возвратиться обратно на Землю.

Каждый космонавт может рассказать нам о навигации в космическом корабле то, что она отличается от опыта пилотирования самолёта. Проведу сравнение: при пилотировании самолёта, если вы хотите догнать объект, идущий впереди быстрее вас, при увеличении скорости вы этого достигнете. Но в случае с космическим кораблём, если вы на определённой орбитальной скорости для встречи с чем-то впереди, то, «наступая на акселератор» (переводится как «применение впереди тяги»), вас поднимет на более высокую орбиту, где в первую очередь, вертикальное расстояние между вами и находящемся впереди орбитальным объектом будет увеличиваться, и, во- вторых, средняя угловая скорость будет уменьшаться по третьему закону Кеплера, и вы окажетесь всё дальше и дальше и отстанете ещё больше. (см. практическую часть, пункт №1)

Открытия, сделанные Исааком Ньютоном дали возможность исследователям перейти на более высокий уровень. Он не только сформулировал свои законы движения и гравитации, но также разработал исчисление, что позволило ему перевести эти законы на язык математических уравнений. Как применяется

В общем контексте, где масса может меняться со временем, так, как происходит с расширенным применение тяги на транспортном средстве с постепенным снижением веса в качестве топлива, используется сила,

определяемая первой производной от импульса. (см. практическую часть, пункт №3)

В случае гравитационного притяжения между двумя телами Ньютон был в состоянии дать полное решение. Это не является дифференциальным уравнением, выражением для неизвестной функции, производные которые появляются в уравнение, если иметь в виду «решение». Ньютон показал, что орбита каждого из тел лежит на коническом сечении (в неподвижной инерциальной системе отсчёта), и в рассматриваемом случае Кеплером, где орбита имеет форму эллипса, есть явное выражение для времени в зависимости от позиции.

Лагранж проделал большую работу над задачей, в ходе которой он разработал и ряд Фурье и функции Бесселя, названные позже в честь математиков, которые исследовали эти понятия более подробно. Лаплас и Гаусс внесли большой вклад в космические исследования, и сегодня учёные продолжают работать над применением разработанной ими теории.

Когда есть более двух тел, задача не может быть решена аналитически, вместо этого интеграция (позиция из ускорения) должна быть сделана численно: сейчас это возможно с использованием высокой скорости компьютеров. Таким образом, численный ряд интегрального исчисления является важнейшим фактором навигации космических аппаратов.

На некоторое время при движении космический аппарат получает толчок в

Солнечной системе. Его последующие орбиты определяются, с учётом гравитационных сил действующих на него из-за Солнца и планет. Математики вычисляют это, шаг за шагом по времени, видя, как силы определяют движение космического аппарата.

Как можно получить точную орбиту в компьютере? Орбиты космического аппарата измеряются по тому, как он прогрессирует на своем пути, и компьютерной моделью регулируется реальные измерения. Здесь используется другой тип исчисления: теория оценивания. В компьютер заносят «входные параметры» (стартовые позиции и скорости), и компьютерная модель вычисляет «Параметры вывода» (положения и скорости в последующие минуты времени).

Кроме того, в навигации, необходимо «уменьшить» измерения. Для этого нужно применить несколько формул. Например, в компьютер заносят позиции центров масс разных планет; радиолокационных эхо, меры пути от антенны к тому месту, на поверхностях планет, из которых сигнал приходит в норму на Землю. Это обработка включает в себя использование тригонометрии, геометрии и физики.

Наконец, анализ ошибок, или «ковариация» исчислений. Ковариационный анализ учитывает:

То, что какие измерения мы будем иметь на корабле;
Насколько точно мы сможем вычислить силы;
Насколько точно мы будем значить положение мишени.

Эти критерии используются затем для того, чтобы определить, насколько близко мы можем доставить корабль к цели. Опять же, низкая точность требует больше топлива, чтобы исправить траекторию космического аппарата приближающегося к своей конечной цели.

Один из математических инструментов, используемых для оптимизации некоторых особенностей траектории полёта, такие как расход топлива и время полёта, является Принцип Максимума Понтрягина введённый в 1962 году. 7

Теорема Понтрягина характеризует оптимальные значения определённых параметров, называемых контролерами, которые определяют траекторию.

В последние десятилетия были разработаны новые гениальные методы для достижения максимального эффекта от наименьшего количества топлива. Один из таких методов известен как «рогатка» или «тяжести при содействии траектории». Количество космических аппаратов, таких как «Кассини — Гюйгенс», только выиграли от тщательного рассчитанных траекторий, что позволяет многократно использовать эффект «рогатки».

Источник

Математика и космос

Открытия на кончике пера.

Математика всегда помогала развитию других наук и сама развивалась под их воздействием. В астрономии математика помогла сделать многие открытия. Новые алгоритмы, разработанные математиками, переходили на службу астрономам.

Ньютон вычислял форму земного шара и показал, что Земля имеет форму шара, расширенного у экватора и сплюснутого у полюсов. Ньютон установил «сплющенность» Земли, не выходя за дверь. Это открытие было сделано «на кончике пера» средствами математики.

Ньютон смог рассчитать орбиты спутников Юпитера и Сатурна и, используя эти данные, определить, с какой силой Земля притягивает Луну. Эти данные почти через 250 лет использовались при подготовке первых околоземных космических полётов. Ньютон определил (приблизительно, конечно) массу и плотность планет и самого Солнца. Он рассчитал, что плотность Солнца в четыре раза меньше плотности Земли и установил, что наиболее близкие к Солнцу планеты имеют наибольшую плотность. Ученый объяснил совместное действие Луны и Солнца на приливы и отливы морей и океанов Земли. Пользуясь расчетами Ньютона, Э. Галлей предсказал, выполнив расчеты, появление огромной кометы, которая наблюдалась на небе в 1759 году. Она была названа кометой Галлея.

На уроках географии, вы узнали, что Земля является одной из 9 планет солнечной системы. А вот о двух последних (Нептуне и Плутоне) никто ничего не знал. В 1783г. русский ученый Лексель, изучая движение планеты Уран, обратил внимание на расхождение между расчетным и наблюдаемым движением Урана. Он подумал: «Отчего не хочется Урану бежать пл той дорожке, которая для него рассчитана, ведь для остальных известных планет расчеты оказываются верными. Может быть на движение Урана влияет другая, неизвестная пока планета». Такие предположения делал ученый, но ему никто не поверил.

Прошло более 50 лет и загадка Урана по-прежнему волновала ученых. И вот английский астроном Адамс и французский астроном и математик Леверье решили проверить предположение русского ученого. Они рассчитали, каждый в отдельности, предполагаемое местонахождение этой все еще неизвестной планеты. Вычисления были очень сложны, заняли больше года, ведь выполнялись они вручную. О вычислениях на ЭВМ в те времена никто не слышал! Но труд ученых закончился блестящим успехом. Мир, рассчитанный на бумаге, был обнаружен и человеческим глазом.

23 сентября 1846 года немецкий астроном Иоганн Готтфрид Галле получил письмо от Леверье с просьбой провести поиск заурановой планеты по предвычисленным им координатам. В тот же вечер Галле с помощью телескопа отыскал новую планету, получившую позже название Нептун.

Увидеть Нептун в наше время могут не только астрономы. Тысячи удивительных фотографий, сделанных аппаратом «Вояджер-1», размещены в интерненте. «Вояджер» был запущен 5 сентября 1977 года. А в 1989 году Американское космическое агентство выложило в Сеть фотографии не только Нептуна, но и самой большой луны Нептуна (спутник Тритон фото, видео). Photo Gallery: Neptune. Материал на сайте ВикипедиЯ.

26 сентября 2008 года «Вояджер-1» был примерно в 16 миллиардах километров от Солнца и достиг границы ударной волны (регион между Солнечной Системой и межзвездным веществом, где влияние Солнца уступает влиянию других тел галактики). Основная его задача – передать сведения о «гелиопаузе» и об условиях, царящих в межзвездной среде. Теоретически двигатели «Вояджера-1», радиоизотопные термоэлектрические генераторы, будут получать энергию до 2025 года. Это не фантастика, а труд сотен физиков, конструкторов и, конечно, математиков! По поисковым словам «фотографии Вояджера» в поисковых системах вы найдете тысячи изумительных фотографий и совершите виртуальное путешествие по нашей Вселенной.

Плутон был открыт совсем недавно, 13 марта 1930 года. История утверждает, что Плутон, как и Нептун, был предварительно «вычислен» на основании возмущений, которые он оказывает на орбиту Урана, а уж потом открыт с помощью телескопа. Американский астроном по имени Персиваль Ловелл вычислил орбиту предполагаемой планеты, но обнаружить ее, несмотря на все попытки, никак не удавалось. Уже после смерти Ловелла астроном Клайд Томбо из Ловелловской обсерватории, изучая снимки звездного неба, выполненные в согласии с расчетами Ловелла, обнаружил небесное тело, впоследствии названное Плутоном. Плутон со своим спутником Харон

В наши дни с помощью математики предсказываются многие астрономические явления. Например, с помощью математики рассчитали, что в 1982 году состоится 4 солнечных затмения. Сегодня они все уже в каталоге затмений. А 16 октября 2126 г. в Москве произойдет полное солнечное затмение. Подождем. Какие сложные вычисления для этих предсказаний приходится провести ученым!

Математика и космос, ракета и компьютер

Запуски искусственных спутников Земли, полеты космических кораблей – все это требует громадных расчетов. Но сейчас на помощь человеку пришла техника ЭВМ, компьютеры.

Ракета и компьютер – два величайших достижения техники XX века, ставших его символами. Причем компьютеры и математические методы играют важнейшую роль в создании ракетно-космических систем и народнохозяйственном освоении космоса.

Сам выход человечества в космос с его масштабами и скоростями потребовал развития новых математических методов навигации и управления полетом космических аппаратов, качественно новых технологий с использованием ЭВМ. Ведь высокие скорости космических аппаратов сделали практически невозможным непосредственное управление ими человеком в реальном времени, так как за время реакции человека ракета пролетает расстояние в сотни метров. Кроме того, сложность навигации космических кораблей заключается в том, что предсказание положения их в пространстве требует проведения большого объема вычислений за минимальное время с привлечением современных математических средств. Управление запуском и полетом космического аппарата представляет собой сегодня сложную организационную и техническую проблему, когда коллективы людей, разбросанные по всему земному шару, согласованно контролируют значения десятков параметров в реальном времени.

Советские математики принимали активное участие и в создании практической космонавтики, в разработке теории и алгоритмов управления космическим полетом. Математические методы академиков. Н. Н. Боголюбова, М. В. Келдыша, Н. Н. Красовского, Л. Н. Понтрягина, А. Н. Тихонова вошли в классический арсенал средств современной теоретической космонавтики. Следует сказать, что развитие космонавтики в СССР осуществлялось на основе советской науки и техники. Все расчеты, необходимые для обеспечения полетов, проводятся на отечественных ЭВМ, созданных советскими учеными, конструкторами и рабочими. Таким образом, развитие советской космической техники является демонстрацией высокого научно-технического уровня нашей страны.

Возникновение авиации и космонавтики неразрывно связано с применением математики для анализа основных проблем полета, конструирования и расчета самолетов и ракет. Первый вопрос, остро обсуждавшийся на заре авиации в конце XIX – начале XX в., могут ли летать аппараты тяжелее воздуха, был теоретически решен великим русским ученым, теоретиком авиации Н. Е. Жуковским. Пользуясь аппаратом чистой математики (теорией функций комплексного переменного), Н. Е. Жуковский вывел математическую формулу для подъемной силы, действующей на единицу длины крыла F – ρvΓ, где ρ – плотность воздуха, v – скорость движения крыла, а Γ – так называемая циркуляция (некоторая величина, зависящая от формы профиля крыла). Со времен Н. Е. Жуковского в теоретической авиации применяется самый современный математический аппарат, причем задачи, возникшие при анализе практических проблем авиации, послужили основой для создания новых направлений математики.

Решение ряда ключевых проблем авиации связано с именами известных математиков и механиков нашей страны. Возьмем, например, проблему флаттера. Это явление было обнаружено в 30-х годах, когда стали строиться цельнометаллические самолеты со скоростью полета 50 – 80 м/с (200 – 300 км/ч). Оказалось, что при увеличении скорости в этом диапазоне при некотором критическом ее значении возникала сильная вибрация самолета, в результате которой самолет часто разрушался в полете. Явление вибрации при высоких скоростях назвали флаттером, и тайной этого страшного для пилотов явления занимались авиаконструкторы многих стран. Решить проблему флаттера удалось советскому математику и механику М. В. Келдышу, который математически показал, что флаттер имеет резонансную природу, т. е. аналогичен эффекту резонанса, наблюдаемому при колебаниях упругой пружины с прикрепленной массой m и коэффициентом упругости k.

Известно, что выведенная из равновесного состояния и предоставленная самой себе такая упругая система будет совершать гармонические колебания с частотой ω = (k/m)1/2. Если же к массе т прикладывается внешняя сила, гармонически меняющаяся со временем с частотой ω1, то при ω1 = ω наблюдается резкое увеличение амплитуды колебаний, называемое резонансом. Чтобы избежать резонанса при движении крыла в воздушном потоке, М. В. Келдыш предложил соответствующим образом перераспределить массы вдоль крыла и так расположить упругие элементы, чтобы избежать совпадения собственных частот колебаний крыла с частотами вынуждающих внешних сил. Первые же полеты самолетов, усовершенствованных по рекомендациям М. В. Келдыша, дали прекрасные результаты. Итак, математика снова выручила авиацию.

Отметим, что впоследствии М. В. Келдыш стал президентом Академии наук СССР и много сделал для математического обеспечения космических полетов в нашей стране, получив известность как Главный теоретик космонавтики.

При возникновении и развитии космонавтики математика сыграла еще более важную роль, чем при рождении и развитии авиации. Основоположник теоретической космонавтики К. Э. Циолковский в своих доказательствах возможности полета к другим планетам и в проектах космических поездов постоянно использовал математику, благодаря чему его космические проекты конструктивны и убедительны. Первой формулой космонавтики стала формула Циолковского, позволяющая рассчитывать конечную скорость ракеты v с начальной массой М, конечной массой m и скоростью истечения реактивной струи u : v = uln(М/m).

Однако, помимо теоретического обоснования и расчета конструкции ракеты-носителя, математика необходима практически в каждую секунду космического полета, и здесь мы обязаны великому французскому математику XVI в. Р. Декарту. В самом деле, когда мы слышим по радио или телевидению очередное сообщение о запуске искусственного спутника Земли или космического корабля, как правило оно часто заканчивается фразой: «Координационно-вычислительный центр ведет обработку поступающей информации». Почему так велика роль координационно-вычислительного центра и где здесь заслуга Р. Декарта?

Дело в том, что при выводе космического аппарата на траекторию полета и во время его свободного полета необходимо точно знать, где он находится в данное мгновение. А как определить положение космического аппарата, в каком виде хранить и анализировать эту информацию? И вот здесь не обойтись без открытия Р. Декарта. Он показал, что положение материальной точки в нашем физическом пространстве можно охарактеризовать тремя числами – декартовыми координатами точки. А именно нужно зафиксировать три воображаемые взаимно перпендикулярные прямые, и проекции точки на эти прямые дадут декартовы координаты точки. Во многих случаях при движении космического аппарата важна его ориентация в пространстве. Тогда, чтобы задать полностью положение тела, нужно знать еще три угла, задающие ориентацию относительно Земли. Таким образом, для определения положения тела в пространстве требуется знать шесть чисел. Возможность однозначного определения положения тела в пространстве с помощью конечного набора чисел позволяет все операции по управлению полетом и предсказанию положения космического аппарата в пространстве сводить к математическим действиям. Иначе говоря, математика становится основным инструментом управления полетом космических аппаратов.

Источник