Понятие бесконечности в философии Н. Кузанского
На основе открытий и технического прогресса в эпоху Возрождения развивается своеобразная натурфилософия(философия природы).
Крупнейшими представителями натурфилософии являются Николай Кузанский, Джордано Бруно, Николай Коперник, Леонардо да Винчи, Галилео Галилей. Обобщая их взгляды, можно сформулировать основные положения,присущие их учениям.
1. Натурфилософия носила зачастую пантеистический характер, т. е., прямо не отрицая Бога, она отождествляла его с природой. 2. Познание Бога-Вселенной проходит через следующие этапы: чувственное восприятие; рассудок, разделяющий противоположности; разум, их составляющий; интуиция.
Чувственное и рациональное при этом сливаются, становятся единым в познании окружающей природы.
Николай Кузанский один из крупнейших европейских мыслителей XVвека. Он является одним из самых видных гуманистов эпохи Возрождения и считается родоначальником итальянской натурфилософии. Николай Кузанский(1401-1464 гг, родился в Германии, учился в Падуе).Выходец из семьи винодела и рыбака, он прошел все ступени священства, пройдя путь до папского кардинала и епископа.
Н. Кузанский высказывал глубоко диалектические идеи в его учении о Боге как бесконечности в пространстве – «абсолютном максимуме».
Николай Кузанский рассматривает бесконечность как некую фигурную конструкцию, которая подчинена принципу упорядочения. Если в системе натуральных чисел начать переходить от одного конечного числа к другому, то мы нигде не сможем остановиться. Ведь в ряду натуральных чисел каждое конечное число возможно только в том случае, если есть еще большее число, даже если оно больше только на единицу. Таким образом, переходя от одного числа к другому, мы понимаем, что есть бесконечное число которое мы не можем получить, присоединив единицу к тому или иному конечному числу, каким бы большим оно не было. И эту бесконечность мы не можем ни увеличить, ни уменьшить, ни умножить, ни разделить.
Бесконечность +1 все равно есть бесконечность, бесконечность — 1 тоже бесконечность, бесконечность умноженная на любое конечное число так и останется бесконечностью. И бесконечность разделенная на то или иное число в результате даст нам ту же бесконечность. Отсюда можно сделать вывод, что существует абсолютный максимум, который невозможно изменить никакими конечными операциями, но являясь неделимым, он есть также абсолютный минимум, таким образом, абсолютный максимум и абсолютный минимум есть одно и то же.” Абсолютный максимум пребывает в полной актуальности, будучи всем, чем он может быть, и по той же причине, по какой он не может быть больше, он не может быть и меньше: ведь он есть всё то, что может существовать. Но то, меньше чего не может быть ничего, есть минимум. Значит, раз максимум таков, как сказано, он очевидным образом совпадает с минимумом.
Бытие как абсолютное единство содержит в себе и максимум, и минимум, а они есть противоположности по своей сути, отсюда следует вывод, что это бесконечное бытие есть совпадение противоположностей, как совпадение полноты и простоты.” Бесконечность по Кузанскому есть максимальное бытие, абсолютное единство или интеграция всех различий и противоположностей.
Бог- абсолютное единство в смысле максимальной полноты бытия. “Бог, то есть сама абсолютная максимальность, есть свет» и «Бог есть так же максимальный свет, как минимальный свет». Ведь не будь абсолютная максимальность бесконечной, не будь она всеобщим пределом, ничем в мире не определяемым, она не была бы и актуальностью всего возможного”.
Пантеизм Дж. Бруно.
Джордано Бруно (1548-1600) — итальянский философ, во взглядах которого философская мысль эпохи Возрождения нашла свое полное выражение. Создатель религии космоса. Проповедовал свои идеи в университетах Англии, Германии, Франции, Швейцарии. Приговорен к смертной казни инквизицией за еретический религиозный мессианизм. Сожжен на костре в Риме.
Учение Бруно. — специфический поэтический пантеизм, основанный на новейших достижениях естественнонаучного знания (особенно гелиоцентрической системе Коперника) и фрагментах эпикуреизма, стоицизма и неоплатонизма. Он рассматривал окружающий нас мир как единый, в котором материя и форма слиты вместе. Вселенная, по Бруно, едина, бесконечна и неподвижна. В ней происходят постоянные изменения и движения, но в целом она не двигается, ибо наполняет все вокруг нас. Вселенная представляет собой совпадение Бога и природы, материи и формы, единства и множественности. Идея Единого пронизывает все основные положения философии Бруно. Единое для Бруно — это одновременно сущность бытия и форма его существования. Единое — это такая категория, которая, по Бруно, объясняет все в мире — и его изменчивость, и его постоянство. Все противоречия и противоположности объяснимы тем, что Вселенная едина. .Бесконечная вселенная в целом — это Бог. Он находится во всем и повсюду, не «вне» и не «над», но в качестве «наиприсутствующего».
Бруно подчеркивает, что во Вселенной духовная и телесная субстанции имеют одно бытие, один корень . Материя обладает свойством божественности. Этим Бруно отвергал идею творения и обусловленности природы Богом как внешнего источника ее существования. Таким образом, Бруно стоял на позициях радикального пантеизма. Материю Бруно рассматривал как состоящую из атомов, следуя в этом отношении за античными атомистами. Все в природе, согласно Бруно, состоит из неделимых частиц, атомов, которые определяют единство всех вещей. Атомистическое понимание природы Бруно формулирует в виде концепции минимума: в мире не существует ничего, кроме минимума, который определяет все в мире, весь максимум. В минимуме заключена вся сила, а потому он представляет собой максимум вещей. Минимум определяет максимум. Абсолютный минимум во Вселенной — это атом, в математике — точка, в сфере метафизики — монада. Минимум или монада образуют все то, что определяют максимум и целое. В монаде отражаются все свойства природы. Здесь Бруно стоит на позициях диалектического совпадения противоположностей. В своей диалектике Бруно идет вслед за Николаем Кузанским, но распространяет эту диалектику на всю природу. Согласно Бруно, вся Вселенная одушевлена, ей присуще внутреннее жизненное начало, которое он называет «мировой душой». Всеобщей одушевленностью Бруно объяснял причины движения в природе, которая обладает свойством самодвижения. Признавая всю природу одушевленной, Бруно тем самым занимал позиции гилозоизма, который в то время, в условиях господства схоластики и теологии, играл прогрессивную роль, так как признавал человека частью природы. Бруно разрабатывал вопросы космологии, опираясь на гелиоцентрическую теорию Коперника. Он утверждал, что Вселенная бесконечна, что вокруг нас существует только одна Вселенная и в ней присутствует бесчисленное количество миров. Численность отдельных вещей также бесконечна, хотя каждая вещь представляет конечную величину. Признание существования одной Вселенной исключает у Бруно наличие внешнего Бога, сотворившего мир. Бруно отвергает креационизм и полагает, следуя своему пантеизму, что природа есть Бог в вещах, материя — это божественное бытие в вещах. Бог заключен в вещах в качестве деятельного принципа. Природа и Бог -это одно и то же, они обладают одним и тем же единым началом: это один и тот же порядок, закон, который определяет ход вещей. Бруно отождествляет Бога с природой, понимаемой как совокупность закономерностей движения и развития, внутренне присущих, окружающему нас миру. Более того, Бруно отождествляет Бога-природу с материей. Природа есть материя. Таким образом, у Бруно, Бог — это другое название закономерного окружающего мира. С пантеизмом Бруно тесно связана концепция панпсихизма, а именно, что духовная субстанция определяет все многообразие проявления вещей.
Источник
Николай Кузанский о бесконечном
Одним из характерных представителей ренессансной философии был Николай Кузанский (1401-1464). Как и большинство философов его времени, он ориентировался на традицию неоплатонизма. Однако при этом он переосмыслил учение неоплатоников, начиная с центрального для них понятия единого. Он заявляет, что «единому ничто не противоположно», а отсюда делает характерный вывод: «единое есть все» — формула, звучащая пантеистически. Вот тут и появляется новый, возрожденческий подход к проблемам онтологии. Из утверждения, что единое не имеет противоположности, Кузанский делает вывод, что единое тождественно беспредельному, бесконечному.
В представлении Н. Кузанского Бог не является некоей персонифицированной личностью. Он есть Абсолют, Единое, которое находится вне всяких противопоставлений. Философ ищет понятие, которое могло бы описать единство противоположностей; так как понятия, для которых можно всегда найти им противоположные, конечны. Поэтому искомое понятие (для описания Бога) должно быть неконечным: «приступающий к Тебе должен возвыситься над всяким пределом и концом, над всем конечным» [7, c.45]. Бога он уподобляет пределу, в котором сходятся бесконечно большое и бесконечно малое.
Бесконечное — это то, больше чего ничего не может быть, Кузанский поэтому называет его «максимумом»; единое же — это «минимум». Николай Кузанский, таким образом, открыл принцип совпадения противоположностей — максимума и минимума. Актуальная бесконечность и есть совмещение противоположностей — единого и беспредельного.
«Когда исследование проводится в рамках вещей конечных, мы их можем сопоставить с чем-то знакомым для нас, и суждение о познаваемом вынести нетрудно. Но не так обстоят дела, когда исследование касается бесконечного. Бесконечность выходит за пределы всякой соразмерности, сходства и различия, ее нам не с чем сравнить, и поэтому она остается для нас неизвестной. Наш конечный разум, двигаясь путем уподоблений, не может постичь истину вещей. Ведь истина не бывает ни больше, ни меньше и не может быть измерена ничем, кроме как самой истиной.
Только благодаря непрерывному усилию познать Бога мы приходим к пониманию, что он непознаваем. Истина неуловима и непостижима в своей чистоте, но, несмотря на это, чем больше ученость в «незнании истины», тем ближе мы к ней подходим. Разум движется к истине, и этот процесс бесконечен, подобно тому, как вписанный в круг многоугольник при бесконечном увеличении числа сторон приближается к кругу, но кругом не становится. Так и разум никогда не сможет постичь истину до конца, хотя бесконечно будет приближаться к ней» [7, c.55-57].
«В математике все конечно, иначе там даже воображением представить было бы ничего нельзя. Если мы хотим воспользоваться конечным как примером для восхождения к максимуму просто, то надо, во-первых, рассмотреть конечные математические фигуры вместе с претерпеваемыми ими изменениями; потом перенести эти основания соответственно на такие же фигуры, доведенные до бесконечности; в-третьих, возвести эти основания бесконечных фигур еще выше, до простой бесконечности, абсолютно отрешенной уже от всякой фигуры. Только тогда наше незнание непостижимо осознает, как нам, блуждающим среди загадок, надлежит правильнее и истиннее думать о наивысшем.
Итак, я утверждаю, что если бы существовала бесконечная линия, она была бы прямой, она была бы треугольником, она была бы кругом, и она была бы шаром; равным образом, если бы существовал бесконечный шар, он был бы кругом, треугольником и линией; и то же самое надо говорить о бесконечном треугольнике и бесконечном круге.
Во-первых, что бесконечная линия будет прямой, очевидно: диаметр круга есть прямая линия, а окружность — кривая линия, большая диаметра; если эта кривая тем меньше в своей кривизне, чем большего круга окружностью она является, то окружность максимального круга, больше которого не может быть, минимально крива, а стало быть, максимально пряма. Минимум совпадает таким образом с максимумом. Даже на глаз видно, что максимальная линия с необходимостью максимально пряма и минимально крива. Так мы видим, что максимальная и бесконечная линия по необходимости совершенно прямая и кривизна ей не противоположна; мало того, кривизна в этой максимальной линии есть прямизна. Это первое, что требовалось доказать.
Во-вторых, как сказано, бесконечная линия есть максимальный треугольник, круг и шар. В самом деле, уже доказано, что максимальным и бесконечным может быть только одно. Ясно также, раз всякие две стороны любого треугольника в сумме не могут быть меньше третьей, что если у треугольника одна из сторон бесконечна, две другие будут не меньше. Потом, поскольку любая часть бесконечности бесконечна, у треугольника с одной бесконечной стороной другие тоже обязательно будут бесконечными. Но нескольких бесконечностей не бывает, и за пределами воображения ты трансцендентно понимаешь, что бесконечный треугольник не может состоять из нескольких линий, хоть этот максимальный, не составной и простейший треугольник есть истиннейший треугольник, обязательно имеющий три линии, и, значит, единственная бесконечная линия с необходимостью оказывается в нем тремя, а три — одной, простейшей. То же в отношении углов: в нем будет только один бесконечный угол, и этот угол — три угла, а три угла — один. Не будет этот максимальный треугольник и состоять из сторон и углов, но бесконечная линия и угол в нем — одно и то же, так что линия есть и угол, раз весь треугольник — линия.
Понять это тебе поможет еще восхождение от количественного треугольника к неколичественному. Всякий количественный треугольник, как известно, имеет три угла, равные двум прямым, и чем больше один угол, тем меньше другие. Хотя каждый угол треугольника может увеличиваться только до двух прямых исключительно, а не максимально, в соответствии с нашим первым принципом, однако допустим, что он увеличивается максимально до двух прямых включительно, оставаясь при этом треугольником. Toгда окажется, что у треугольника один угол, который есть три, и три образуют один. Точно так же ты сможешь убедиться, что треугольник есть линия.
Любые две стороны количественного тpeyгольника в сумме настолько длиннее третьей, насколько образуемый ими угол меньше двух прямых; например, поскольку угол ВАС много меньше двух прямых, линии ВА и АС в сумме много длиннее ВС. Значит, чем больше этот угол, например угол ВDС, тем меньше линии BD и DC превышают линию ВС и тем меньше поверхность. Если допустить, что этот угол приравняется двум прямым, весь треугольник разрешится в простую линию. Таким допущением, у количественных треугольников невозможным, пользуйся для восхождения к не-количественным, у которых, как видишь, невозможное для количественных становится совершенно необходимым. Отсюда тоже ясно, что бесконечная линия есть максимальный треугольник, как и требовалось доказать.
Теперь покажем яснее, что треугольник есть круг. Допустим, что треугольник АВС образован вращением линии АВ вокруг неподвижного А до совпадения В с, С. Нет никакого сомнения, что если бы линия АВ была бесконечной и В описало полный круг, вернувшись к началу, то получился бы максимальный круг, частью которого является ВС. Но поскольку ВС есть часть бесконечной дуги, ВС есть прямая линия; а так как всякая часть бесконечности бесконечна, то ВС не меньше всей дуги бесконечной окружности. Таким образом ВС будет не только частью, но и совершенно всей окружностью, и, значит, треугольник АВС с необходимостью есть максимальный круг. Причем окружность ВС как прямая линия не длиннее бесконечной АВ, раз больше бесконечности ничего не может быть; не будут ВС и АВ и двумя [отдельными] линиями, потому что не может быть двух бесконечностей. Стало быть, бесконечная линия, являясь треугольником, есть также круг, что и надо было установить.
Наконец, что бесконечная линия есть шар, обнаруживается так. Линия АВ есть окружность максимального круга и, больше того, сама круг, как уже доказано. Согласно вышеизложенному, она проведена в треугольнике от В до С. Но ВС — бесконечная линия, как тоже только что доказано; поэтому АВ возвращается в С, совершая полный оборот вокруг себя самой. Когда это происходит, из обращения круга вокруг себя с необходимостью возникает шар.
Итак, если выше доказано, что АВС есть круг, треугольник и линия, то теперь мы доказали, что АВС есть также шар. Это мы и ставили целью разыскания.
Поскольку, таким образом, в возможности конечной линии заключены все эти фигуры, а бесконечная линия есть действительным образом все то, возможность чего представляет конечная, то, следовательно, бесконечная линия есть и треугольник, и круг, и шар, что и следовало доказать.
Если рассмотреть два угла — один тупой, другой острый, то по мере увеличения одного из них другой будет уменьшаться.
Когда один будет максимальным, другой — минимальным, они оба сольются с прямой. Каким назвать такой угол?»Он есть абсолютно острый и абсолютно тупой и в то же время и не острый, и не тупой». Таким образом, этот угол соединяет в себе максимум с минимумом, он является причиной всех углов.
И вот, перенесем наше умозрение — а мы его вывели из того, что бесконечная кривизна есть бесконечная прямизна, — на простейшую и бесконечную сущность максимума. Она есть простейшая сущность всех сущностей; все сущности настоящих, прошлых и будущих вещей всегда и вечно пребывают актуально в этой сущности, так что все сущности — это как бы сама же всеобщая сущность; сущность всех вещей есть любая другая сущность таким образом, что она есть одновременно и все они, и ни одна в отдельности; и как бесконечная линия есть точнейшая мера всех линий, так максимальная сущность есть точнейшая мера всех сущностей. Ведь максимум, которому не противоположен минимум, с необходимостью есть точнейшая мера всего — не больше любой вещи, поскольку минимум, и не меньше ее, поскольку максимум, — а все измеримое оказывается между максимумом и минимумом, так что бесконечная сущность есть вернейшая и точнейшая мера всего.
И чтобы увидеть это еще яснее, подумай, что если бы одна бесконечная линия состояла из бесконечного числа отрезков в пядь, а другая — из бесконечного числа отрезков в две пяди, они все-таки с необходимостью были бы равны, поскольку бесконечность не может быть больше бесконечности. Соответственно как одна пядь в бесконечной линии не меньше, чем две пяди, так бесконечная линия не становится по прибавлении двух пядей больше, чем по прибавлении одной. Мало того: поскольку любая часть бесконечности — тоже бесконечность, одна пядь бесконечной линии так же превращается во всю бесконечную линию, как две пяди. Точно так же, раз всякая сущность в максимальной сущности есть сама эта максимальная сущность, максимум есть не что иное, как точнейшая мера всех сущностей. Причем не найти другой точной меры всякой сущности, кроме этой; ведь все прочие недостаточны и могут быть точнее, как ясно показано выше.
Конечная линия делима, а бесконечная неделима, потому что у бесконечности, где максимум совпадает с минимумом, нет частей. Но поскольку в величинах, как показано выше, нельзя прийти к минимуму, меньше которого ничего не может быть, конечная линия не делима на нелинии, таким образом, что основание конечной линии — бесконечная линия! Так и максимум просто — основание всех вещей. Как бесконечная линия, основание конечной линии, неделима и, следовательно, неизменна и постоянна, так и основание всех вещей, бог благословенный, вечно и неизменно.
Мы обнаруживаем у бесконечного шара три сходящиеся в центре максимальные линии длины, ширины и глубины. Но центр максимального шара равен диаметру и окружности, и, значит, центр у него равен этим трем линиям; вернее, центр и есть все эти линии, то есть длина, ширина и глубина. Таким же образом простейший и бесконечный максимум будет всякой длиной, шириной и глубиной, которые в нем суть единая и простейшая максимальная неделимость. Как центр он предшествует всякой ширине, длине и глубине, и он же их конец и середина, поскольку в бесконечном шаре центр, ширина и окружность тождественны. Как бесконечный шар всецело действителен 62 и совершенно прост, так максимум совершенным и простейшим образом актуален, и как шар есть действительность линии, треугольника и круга, так максимум — актуальность всего: всякое действительное существование от него получает всю свою актуальность и всякое существование существует действительным образом ровно настолько, насколько пребывает в его бесконечном акте. Поэтому максимум есть форма форм и форма бытия, или максимальное актуальное бытие.
Николай Кузанский различает два вида бесконечного: негативно бесконечное и привативно бесконечное. «Только абсолютный максимум негативно бесконечен, только он есть то, чем может быть во всей потенции. Наоборот, Вселенная, охватывая все, что не есть Бог, не может быть негативно бесконечной, хотя она не имеет предела и тем самым привативно бесконечна». Негативная бесконечность Бога — это бесконечность актуальная, то, что Николай Кузанский чаще всего называет абсолютным максимумом. Привативная же бесконечность скорее соответствует тому, что мы сегодня называем потенциальной бесконечностью. И в самом деле, Вселенная привативно бесконечна, так как, по словам Николая Кузанского, она «не имеет предела». Такого рода потенциально бесконечное — это то, что всегда может быть актуально больше, но это как раз признак конечности, ибо актуальная бесконечность не может становиться больше или меньше от прибавления к ней или отнятия от нее какой бы то ни было величины.
Конечная величина не может стать бесконечной путем постепенного возрастания. Вот такого рода конечностью, могущей возрастать без предела, но никогда не могущей превратиться в актуальную бесконечность, есть потенциальная бесконечность. Она может возрастать без предела, потому что не имеет предела создавшее ее бесконечное всемогущество Бога.
Николай Кузанский разработал теорию о бесконечном и доказал ее математически. Он выявил, что свойство бесконечного числа к беспредельному увеличению превращает геометрические фигуры в бесконечную линию. То есть в бесконечности многообразие геометрических фигур есть единое. Бесконечное — это то, больше чего ничего не может быть, Кузанский поэтому называет его «максимумом»; единое же — это «минимум». Актуальная бесконечность и есть совмещение противоположностей — единого и беспредельного. Конечная линия делима, а бесконечная неделима, потому что у бесконечности, где максимум совпадает с минимумом, нет частей.
Николай Кузанский возвращает нас к Зенону с его парадоксами бесконечности, с тем, однако, различием, что Зенон видел в парадоксах орудие разрушения ложного знания, а Кузанский — средство созидания знания истинного. Правда, само это знание имеет особый характер — оно есть «умудренное неведение».
Больцано «Парадоксы бесконечного»
В1851 году была посмертно опубликована книга чешского математика и философа Б. Больцано «Парадоксы бесконечного», в которой он сделал первую попытку исследовать свойства актуальной бесконечности.
Б. Больцано признавал существование бесконечной величины, изучал ее и пришел к выводу: «Само название показывает, что бесконечное противопоставляется всему конечному. То обстоятельство, что мы выводим название бесконечного из названия конечного указывает, что мы представляем себе понятие бесконечного происходящим из понятия конечного вследствие присоединения к нему новой составной части (такой частью является понятие о простом отрицании). Оба эти понятия относятся к многообразиям, к количествам (т.е. к многообразиям единиц), а потому и к величинам, этого нельзя отрицать уже по той причине, что именно в математике, т.е. в науке о величинах, мы и говорим чаще всего о бесконечном, рассматривая конечные и бесконечные множества и делая предметом нашего исследования и даже вычисления, наряду с конечными, не только бесконечно большие, но даже и бесконечно малые величины. Я буду называть бесконечным количеством количество большее, чем каждое конечное, т.е. количество такого рода, что каждое конечное многообразие представляет только часть его. Величина, которая больше, чем любое число тех которые приняты за единицу, называется бесконечно большой. А величина столь малая, что каждое кратное ее оказывается меньше единицы, называется бесконечно малой. Кроме этих двух родов бесконечного и кроме выводимых из них родов бесконечно больших и бесконечно малых величин высшего порядка, которые вытекают все из того же понятия, не существует для него ничего бесконечного.
Это, столь известное математикам, понятие о бесконечном не удовлетворяет однако некоторых философов, особенно философов новейшего времени, как Гегеля и его последователей. Они называют его презрительно плохим бесконечным и думают, что знают несравненно более высокое, истинное, качественное бесконечное, которое они находят только в Боге и вообще в абсолюте. Если они, как Гегель, Эрдман и другие, представляют себе математическую бесконечность только как величину, которая изменяется и не имеет границ в своем возрастании (что принимается некоторыми математиками за определение этого понятия), — то я охотно присоединяюсь к ним в отрицательном отношении к этому понятию о величине, которая только бесконечно возрастает, но никогда не достигает бесконечности. Действительная бесконечная величина, например, длина целой прямой, неограниченной с обеих сторон (т.е. величина протяжения, заключающего все точки, которые определяются только выражаемым в понятиях отношением к двум данным точкам), не должна быть переменной, чего и нет на самом деле в приведенном здесь примере.
Я не допускаю только того, чтобы философу известен был какой либо предмет, которому он был бы вправе приписать свою бесконечность, как качество, не обнаружив раньше в этом предмете, в каком-либо отношении, бесконечной величины или бесконечного количества. Если я могу доказать, что даже говоря о Боге, которого мы рассматриваем как всесовершенно единое, можно указать такие точки зрения, с которых мы видим в нем бесконечное количество, и что эти-то точки зрения и позволяют приписывать ему бесконечность, то вряд ли нужно доказывать дальше, что подобные соображения лежат также в основе всех остальных случаев, где правильно употребляется понятие о бесконечности. Я же говорю: мы называем Бога бесконечным, потому что мы должны признать, что он владеет силами более, чем одного рода, имеющими бесконечную величину.
Математик позволяет себе прибавлять к каждой величине, также и к бесконечно большой, еще другие величины, и не только конечные, но даже и бесконечные; он даже повторяет бесконечную величину бесконечное число раз и т.д. Если некоторые и спорят еще о том, законно ли это, то какой математик — если только он не отрицает все бесконечное — откажется признать, что длина прямой, ограниченной с одной стороны, но простирающейся в бесконечность с другой, бесконечна, и может быть, несмотря на это, увеличена прибавлениями с первой стороны.
«Если каждое число», можно сказать, «по самому понятию о числе, есть лишь простое конечное множество, то каким образом может быть бесконечным множество всех чисел?
Когда мы рассматриваем ряд натуральных чисел 1, 2, 3, 4, 5, 6, …
то мы замечаем, что множество чисел, которое содержит этот ряд, начиная с первого (единицы), до какого-нибудь другого, например, до числа 6, выражается всегда этим последним числом. Поэтому множество всех чисел должно быть именно так велико, как последнее из них и, следовательно, само должно быть числом, а не бесконечностью. Обманчивость этого вывода исчезает тотчас же, как только мы вспомним, что во множестве всех чисел в натуральном ряду нет последнего числа, что таким образом понятие о последнем (высшем) числе — понятие беспредметное, потому что содержит противоречие. Ибо, по закону образования этого ряда, данном в его определении, каждый член ряда имеет последующий. Одним этим замечанием разрешается уже этот парадокс.
Мы говорим о бесконечно больших и бесконечно малых величинах, если под бесконечно большой величиной подразумевается лишь такая величина, которая при раз положенной в основание единице является целым, по отношению к которому каждое конечное множество этих единиц составляет только часть; а под бесконечно малой величиной подразумевается такая, по отношению к которой сама единица является целым, частью которого будет каждое конечное множество этих величин. Множество всех чисел является неоспоримым примером бесконечно большой величины. Я говорю: величины, а не бесконечно большого числа, потому что, как мы уже заметили в предыдущем параграфе, никак нельзя назвать числом это бесконечно большое множество. Если же величину, бесконечно большую по сравнению с другой величиной, взятой за единицу, мы примем за единицу и станем ею измерять ту величину, которую мы прежде принимали за единицу, то эта последняя представится нам бесконечно малой.
И что не следует считать равными между собой все бесконечные многообразия в отношении их множественности? Напротив, некоторые из них больше, другие меньше, т.е. одно бесконечное многообразие может заключать в себе другое, как часть (или, наоборот, может само составлять часть другого). Для кого, например, не будет ясно, что длина прямой, простирающейся безгранично в направлении aR, бесконечна, но что прямая bR, из точки b идущая в том же направлении, больше, чем aR на отрезке ba? и, наконец, что прямая, идущая неограниченно в обоих направлениях aR и aS, должна быть названа большей на величину, которая сама бесконечна, и т.д.
Два бесконечных многообразия могут быть в таком отношении одно к другому, что, с одной стороны, возможно соединить каждую вещь одного многообразия с некоторой вещью другого в пару таким образом, что не останется в обоих многообразиях ни одной вещи, не соединенной в пару, и ни одна вещь не будет входить в две или несколько пар. С другой стороны, возможно при этом, что одно из этих многообразий заключает в себе другое просто как часть, так что множества, которые они представляют, если рассматривать составляющие их вещи как равные, т.е. как единицы, имеют между собой самые разнообразные отношения.
Я обращаюсь теперь к утверждению, что существует бесконечное не только среди вещей, не имеющих действительности, но также и в самой области действительного. Есть существо бесконечное не в одном только отношении, в своем ведении, в своей воле, в своем внешнем воздействии, т.е. могуществе. Это такое существо, которое бесконечно много знает (совокупность всех истин), бесконечно многого желает (сумму всего в себе возможного добра), и все, чего только хочет, силою внешнего воздействия осуществляет в действительности. Из этого последнего свойства Бога вытекает дальнейшее следствие, что, кроме него, существует существа созданные, которые мы назовем, в противоположность ему, существами конечными, в которых, однако, можно усмотреть нечто бесконечное. В самом деле, уже самое многообразие этих существ должно быть бесконечным; точно так же многообразие состояний, испытываемых каждым из этих существ в отдельности, хотя бы в самое короткое время, должно быть бесконечно (потому что каждый промежуток времени содержит в себе бесконечно много мгновений) и т.д. Итак, и в области действительного мы встречаем везде бесконечное.
Уже само понятие исчисления бесконечности, я признаю это, кажется заключающим в себе противоречие. Действительно, исчислить — значит попытаться определить с помощью чисел. Но как же возможно пытаться определить с помощью чисел бесконечное, то бесконечное, которое, по нашему собственному определению, должно представлять из себя нечто, состоящее из бесконечно многих частей, т.е. такое многообразие, которое больше всякого числа, и которое, поэтому, не может быть определено никаким числом? Это сомнение исчезнет однако, как только мы сообразим, что правильное исчисление бесконечного имеет целью не вычисление того, что в бесконечности неопределимо никаким числом (а именно, не вычисление бесконечного множества самого в себе): целью этого исчисления является определение отношения между одним бесконечным и другим, что выполнимо. Кто признает существование бесконечных множеств, а следовательно, и бесконечных величин вообще, тот не станет оспаривать существование бесконечных величин, очень различных по размерам. Эти немногие примеры показали уже в достаточной степени, что существует исчисление бесконечно большого; точно также существует и исчисление бесконечно малого.
Итак, если мы не желаем впадать в заблуждение в наших вычислениях бесконечного, то мы не должны никогда позволять себе считать, что две бесконечно большие величины, происшедшие от сложения членов двух бесконечных рядов, равны или что одна больше или меньше другой на том только основании, что каждый член одного ряда соответственно равен, больше или меньше некоторого члена другого ряда. Столь же мало мы имеем право считать одну сумму большей только потому, что она заключает все члены другой суммы и, кроме того, еще много, даже бесконечно много, других (положительных) членов, которых нет в другой сумме. Несмотря на все это, первая сумма может быть меньше, даже в бесконечное число раз меньше, чем вторая. Пример этого представит нам очень известная сумма квадратов всех натуральных чисел.
Каждое бесконечное многообразие, не только многообразие точек, образующих линию, может быть разложено на части, которые сами заключают бесконечные многообразия, даже на бесконечное число таких частей. Действительно, если 
означает бесконечное многообразие, то /2, /4, /8. также будут бесконечными многообразиями. Это заключается в понятии бесконечного.
При рассмотрении поверхностей, которые при постоянной длине можно уменьшить сколь угодно, уменьшая ширину, а также в случае тел, которые, при той же длине и ширине, могут быть сколь угодно уменьшены путем уменьшения их высоты, наблюдается конечное значение их площадей.
Хочется обратить внимание читателя на то, что множество точек, которое заключает в себе хотя бы самая короткая прямая az, должно быть рассматриваемо, как множество, которое в безконечно большое число раз больше бесконечного же множества, получаемого из первого следующим образом: начиная с одного из концов, с точки a, берем в надлежащем расстоянии вторую точку b, за нею, в меньшем расстоянии, третью точку c, и так продолжаем без конца, уменьшая эти расстояния по такому закону, чтобы бесконечное их множество в сумме было равно или меньше расстояния az. Прямой, простирающейся бесконечно в обе стороны, мы должны приписать бесконечную длину и множество точек, которое будет в бесконечное число раз больше, чем множество точек прямой, принятой за единицу и равной E.
Мы должны признать также, что все такие прямые имеют равную длину и равное множество точек, так как определяющие их части, с помощью которых могут быть определены для двух таких прямых две точки, через которые они проходят (если мы возьмем одинаковое расстояние между этими точками), будут не только подобны друг другу, но и (геометрически) равны.
Прямая, простирающаяся неограниченно в обе стороны, совсем не имеет середины, то есть не имеет такой точки, которая могла бы быть определена только с помощью выражаемого в понятиях отношения ее к этой линии. Плоской поверхности, которую заключают между собою две параллельные прямые, неограниченные с обеих сторон (т.е. совокупности всех тех точек, которые содержат перпендикуляры, опущенные из каждой точки одной из этих параллельных прямых на другую), мы должны приписать бесконечно большую площадь и множество точек, которое в бесконечное число раз больше множества точек в квадрате, равном E 2 и принятом за единицу площадей. Всем подобным полосам, ограниченным параллельными прямыми, если они имеют одинаковую ширину (длина перпендикуляра), мы должны приписать равную величину и равное множество точек.
Пространство, которое заключают между собою две параллельные безграничные плоскости (т.е. совокупность всех тех точек, которые находятся на всех перпендикулярах, опущенных из каждой точки одной плоскости на другую), этот (если его так можно назвать) безграничный телесный слой, мы должны считать, во всяком случае, бесконечно большим, какова бы ни была его ширина (т.е. длина такого перпендикуляра)» [2, c.15-149].
Таким образом философ и математик Больцано впервые разработал теорию бесконечных величин, дал бесконечной величине определение, указал на возможность ее исчисления, применил бесконечную величину в геометрии, разработал ее свойства и привел доказательства своих взглядов. Больцано называл бесконечую величину бесконечным множеством, так как он не мог представить ее в виде числа, ведь по его словам число само по себе есть конечное. Больцано различал актуальную и потенциальную бесконечность. Под актуальной бесконечностью он понимал «количество большее, чем каждое конечное, т.е. количество такого рода, что каждое конечное многообразие представляет только часть его». Он исследовал свойства актуальной бесконечности. Потенциальная бесконечность определяется из следующего высказывания Больцано » я присоединяюсь к тем, кто находится в в отрицательном отношении к этому понятию о величине, которая только бесконечно возрастает, но никогда не достигает бесконечности.» Он попытался ответить на многие вопросы, связанные с таинственным бесконечным. В его книге были предвосхищены многие понятия теории бесконечных множеств, однако они не получили еще той точности и ясности, которая была придана им через два десятилетия в работах Г. Кантора.
Источник