Ускорение свободного падения на Земле и на Луне
Все тела притягиваются друг к другу — это закон всемирного тяготения. Силы, с которыми тела притягиваются вычисляются по формуле:
Здесь G — это гравитационная постоянная, равная 6,67 × 10 -11 Н · м 2 /кг 2 . Она численно равна силе, с которой одно тело массой 1 кг притягивает другое тело с массой 1 кг, находящееся от него на расстоянии 1 м. Как мы видим, это очень маленькая сила. Поэтому мы замечаем притяжение только к очень массивным телам, космического масштаба.
Если размеры одного тела несоизмеримо меньше размеров другого тела и оно находится на поверхности второго тела или на высоте намного меньше радиуса второго тела, то за расстояние между телами принимается радиус второго тела. (Притяжение всегда идет к центру тела.)
В результате действия закона всемирного тяготения планеты и другие космические тела притягивают к себе другие тела. Эта сила притяжения называется силой тяжести. Под ее действием падающим телам сообщается ускорение свободного падения (g). Сила тяжести вычисляется по формуле:
Подставим вместо F в первую формулу значение F из второй. При этом пусть m1 — это масса падающего на Землю тела. Обозначим ее как m. А m2 — это масса Земли. Обозначим ее как M. Тогда получим:
Разделим обе части формулы на m (массу падающего тела):
Мы видим, что ускорение свободного падения зависит от массы и радиуса планеты. Чем больше ее масса, тем сильнее она притягивает тела и тем больше на ней ускорение свободного падения. Чем больше радиус планеты, тем дальше от ее центра находится притягиваемое тело и тем меньше будет ускорение свободного падения.
Таким образом, чтобы сравнить ускорение свободного падения на Земле и Луне, надо сравнить отношения их масс к квадратам их радиусов. Но чтобы найти само ускорение свободного падения, надо еще умножить на гравитационную постоянную.
Масса Земли приблизительно равна 6 × 10 24 кг, а ее радиус приблизительно равен 6400 км (6,4 × 10 6 м). Поэтому ускорение свободного падения на Земле приблизительно будет равно:
g = 6,67 × 10 -11 Н × м 2 /кг 2 × 6 × 1024 кг ÷ (6,4 × 106 м) 2 ≈ 0,977 × 10 1 ≈ 9,8 Н/кг (м/c 2 )
Масса Луны примерно равна 7,5 × 10 22 кг, а ее радиус примерно равен 1750 км. Поэтому ускорение свободного падения на Луне приблизительно будет равно:
g = 6,67 × 10 -11 Н × м 2 /кг 2 × 7,5 × 10 22 кг ÷ (1,75 × 10 6 м) 2 ≈ 16,335 10 -1 ≈ 1,6 Н/кг (м/с 2 )
Отношение ускорений свободного падения на Земле и Луне равно 9,8 : 1,6 ≈ 6 : 1. Значит, сила притяжения тела с массой m на Луне будет примерно в 6 раз меньше, чем на Земле.
Источник
Ускорение свободного падения
О чем эта статья:
Каникулы со смыслом в Skysmart для детей 4-17 лет
Сила тяготения
В 1682 году Исаак Ньютон открыл закон всемирного тяготения. Он звучит так: все тела притягиваются друг к другу, сила всемирного тяготения прямо пропорциональна произведению масс тел и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними.
Формула силы тяготения согласно этому закону выглядит так:
Закон всемирного тяготения
F — сила тяготения [Н]
M — масса первого тела (часто планеты) [кг]
m — масса второго тела [кг]
R — расстояние между телами [м]
G — гравитационная постоянная
G = 6,67 × 10 -11 м 3 ·кг -1 ·с -2
Когда мы встаем на весы, стрелка отклоняется. Это происходит потому, что масса Земли очень большая, и сила тяготения буквально придавливает нас к поверхности. На более легкой Луне человек весит меньше в шесть раз.
Закон всемирного тяготения используют, чтобы вычислить силы взаимодействия между телами любой формы, если размеры тел значительно меньше расстояния между ними.
Если мы возьмем два шара, то для них можно использовать этот закон вне зависимости от расстояния между ними. За расстояние R между телами в этом случае принимается расстояние между центрами шаров.
Приливы и отливы существуют благодаря закону всемирного тяготения. В этом видео я рассказываю, что общего у приливов и прыщей. 🤓
Ускорение свободного падения
Чтобы математически верно и красиво прийти к ускорению свободного падения, нам необходимо сначала ввести понятие силы тяжести.
Сила тяжести — сила, с которой Земля притягивает все тела.
Сила тяжести
F = mg
F — сила тяжести [Н]
m — масса тела [кг]
g — ускорение свободного падения [м/с 2 ]
На планете Земля g = 9,8 м/с 2 , но подробнее об этом чуть позже. 😉
На первый взгляд сила тяжести очень похожа на вес тела. Действительно, в состоянии покоя на поверхности Земли формулы силы тяжести и веса идентичны. Вес тела в состоянии покоя численно равен массе тела, умноженной на ускорение свободного падения, разница состоит лишь в точке приложения силы.
Сила тяжести — это сила, с которой Земля действует на тело, а вес — сила, с которой тело действует на опору. Это значит, что у них будут разные точки приложения: у силы тяжести к центру масс тела, а у веса — к опоре.
Также важно понимать, что сила тяжести зависит исключительно от массы и планеты, на которой тело находится. А вес зависит еще и от ускорения, с которым движется тело или опора.
Например, в лифте вес зависит от того, куда и с каким ускорением двигаются его пассажиры. А силе тяжести все равно, куда и что движется — она не зависит от внешних факторов.
На второй взгляд сила тяжести очень похожа на силу тяготения. В обоих случаях мы имеем дело с притяжением — значит, можем сказать, что это одно и то же. Практически.
Мы можем сказать, что это одно и то же, если речь идет о Земле и каком-то предмете, который к этой планете притягивается. Тогда мы можем даже приравнять эти силы и выразить формулу для ускорения свободного падения:
Приравниваем правые части:
Делим на массу левую и правую части:
Это и будет формула ускорения свободного падения. Ускорение свободного падения для каждой планеты уникально.
Формула ускорения свободного падения
g — ускорение свободного падения [м/с 2 ]
M — масса планеты [кг]
R — расстояние между телами [м]
G — гравитационная постоянная
G = 6,67 × 10 -11 м 3 ·кг -1 ·с -2
Ускорение свободного падения характеризует то, как быстро увеличивается скорость тела при свободном падении.
Свободное падение — это ускоренное движение тела в безвоздушном пространстве, при котором на тело действует только сила тяжести.
Ускорение свободного падения на разных планетах
Выше мы уже вывели формулу ускорения свободного падения. Давайте попробуем рассчитать ускорение свободного падения на планете Земля.
Для этого нам понадобятся следующие величины:
- Гравитационная постоянная
G = 6,67 × 10 -11 м 3 ·кг -1 ·с -2 - Масса Земли
M = 5,97 × 10 24 кг - Радиус Земли
R = 6371 км
Подставим значения в формулу:
Есть один нюанс: в значении ускорения свободного падения для Земли очень много знаков после запятой. В школе обычно дают то же значение, что мы указали выше: g = 9,81 м/с 2 . В экзаменах ОГЭ и ЕГЭ в справочных данных дают g = 10 м/с 2 .
И кому же верить?
Все просто: для кого решается задача, тот и главный. В экзаменах берем g = 10 м/с 2 , в школе при решении задач (если в условии задачи не написано что-то другое) берем g = 9,8 м/с 2 .
Ниже представлена таблица ускорений свободного падения и других характеристик для планет Солнечной системы, карликовых планет и Солнца.
Небесное тело
Ускорение свободного падения, м/с 2
Диаметр, км
Расстояние до Солнца, миллионы км
Масса, кг
Соотношение с массой Земли
Источник
1613. Найдите силу гравитационного притяжения Луны и Земли. Какие ускорения имеют Луна и Земля в результате действия этой силы?
1614. Искусственный спутник Земли массой 83,6 кг движется по круговой орбите вокруг нашей планеты. Расстояние от центра Земли до спутника равно 6600 км. Какова сила гравитационного притяжения между спутником и Землей. Какие ускорения имеют спутник и Земля благодаря этой силе?
1615. Как изменится сила гравитационного притяжения между двумя шариками, если расстояние между ними увеличить в 4 раза?
1616. Как изменится сила гравитационного притяжения между двумя шариками, находящимися на небольшом расстоянии друг от друга, если уменьшить массу каждого шарика в 3 раза?
1617. Космическая ракета удалилась от поверхности Земли на расстояние, равное радиусу Земли. Во сколько раз уменьшилась сила притяжения ракеты к Земле?
1618. Масса Земли в 81 раз больше массы Луны. Центры планет Земля и Луна находятся на расстоянии приблизительно 60 земных радиусов друг от друга. На каком расстоянии от центра Земли должен находиться предмет, чтобы сила притяжения к Земле была равна силе притяжения к Луне?
1619. Найдите ускорение свободного падения на планете Меркурий, если известно, что масса Меркурия меньше массы Земли в 18,18 раза, а радиус Земли в 2,63 раза больше радиуса Меркурия.
1620. Масса планеты Меркурий 3,29 • 1023 кг, а его радиус 2420 км. Найдите ускорение свободного падения на поверхности Меркурия.
1621. Зная радиус Земли и ускорение свободного падения на поверхности нашей планеты, вычислите массу Земли.
1622. Штангист на Земле может поднять груз массой 100 кг. Груз какой массы он мог бы поднять, находясь на полюсе Марса, если радиус Марса составляет 0,53 радиуса Земли, а масса Марса составляет 0,11 массы Земли?
1623. Каково ускорение свободного падения в космическом корабле, находящемся на высоте, равной трем радиусам Земли?
Источник
Пример 1. Чему равно ускорение Луны и каково отношение этого ускорения к ускорению свободного падения на поверхности Земли?
Чему равно ускорение Луны и каково отношение этого ускорения к ускорению свободного падения на поверхности Земли?
Решение: Используя формулу для центростремительного ускорения, находим, что ускорение Луны 
, где R -расстояние от Земли до Луны, равное 3,86 • 10 5 км. Период обращения Луны вокруг Земли T = 27,3 суток или 2,36 -10 6 с. Подставляя эти значения в выражение для а, имеем а = 2,73-10 -3 м/с 2 .
Вблизи поверхности Земли ускорение равно g = 9,8 м/с 2 .
Таким образом, отношение а/g = 1/3590 = (1/60) 2 .
Ньютон выполнил простые вычисления, близкие к описанным в примере 1, и обнаружил, что сила тяготения, действующая со стороны Земли на яблоко, удаленное к Луне, уменьшится в 3600 = (60) 2 раз, что соответствует отношению квадратов расстояний.
Отсюда Ньютон заключил, что сила тяготения между двумя телами должна убывать обратно пропорционально квадрату расстояния между ними.
Он предложил универсальный закон гравитационного притяжения между любыми двумя телами:
Для обозначения коэффициента пропорциональности используется прописная буква G. Таким образом,
Пример 2.
Предположив, что средняя плотность Земли равна ρ = 5 • 10 3 кг/м 3 , Ньютон нашел численное значение G. (Его догадка с точностью 10% совпала с истинным значением.) Получите выражение для G через ρ , rз и g.
Решение: Применим формулу (5-1)
к силе, действующей между Землей и яблоком.
Обозначим массу Земли Мз,
а массу яблока т.
Полагая r равным расстоянию rз между центром Земли и яблоком, имеем
В соответствии со вторым законом Ньютона эта сила должна равняться та, причем в нашем случае а = g. Таким образом,
Учитывая, что Mз равна произведению плотности на объем, т. е.
Подставляя сюда Rз = 6,37-10 6 м и ρ = 5 х 10 3 кг/м 3 , имеем
G = 7,35- 10 -11 Н -м 2 •кг -2 ,
что всего лишь на 10% превышает принятое значение
G = 6,67. 10 -11 Н -м 2 •кг -2
Сравнивая ускорение свободного падения на Луне с величиной этого ускорения на поверхности Земли, Ньютон предположил, что Земля ведет себя так, как если бы вся ее масса была сконцентрирована в центре. Ньютон догадался, что такое поведение справедливо в случае сил, изменяющихся обратно пропорционально квадрату расстояния. Однако ему удалось получить строгое доказательство лишь 20 лет спустя.
«Взвешивание –Земли»
Тяготение действует на огромных расстояниях.
Но закон Ньютона утверждает, что взаимно притягиваются все предметы.
А правда ли, что любые два предмета, притягивают друг друга?
Можем ли мы сами поставить такой опыт, а не гадать, глядя на небо, притягиваются ли планеты?
Такой прямой опыт сделал Кавендиш (1731 —1810) при помощи прибора, который показан на рис. 11. Идея состояла в том, чтобы подвесить на очень тонкой кварцевой нити стержень с двумя шарами и затем поднести к ним сбоку два больших свинцовых шара, как показано на рисунке. Притяжение шаров слегка перекрутит нить — слегка, потому что силы притяжения между обычными предметами очень слабы. Силу притяжения между двумя шарами можно измерить. Кавендиш назвал свой опыт «взвешиванием Земли».
Педантичный и осторожный преподаватель наших дней не позволит студентам так выразиться; нам пришлось бы сказать «измерение массы Земли». При помощи такого прибора Кавендишу удалось непосредственно измерить силу, расстояние и величину обеих масс и, таким образом, определить постоянную тяготения G.
Вы скажете: «Взвешивание Земли представляет собой почти такую же задачу. Мы знаем силу притяжения, знаем массу объекта, который притягивается, и знаем, насколько он удален, но мы не знаем ни массы Земли, ни постоянной тяготения, а только их произведение».
Измерив постоянную и зная, как Земля притягивает предметы, мы сможем вычислить ее массу.
Этот опыт впервые позволил косвенно определить, насколько тяжел, массивен шар, на котором мы живем. Результат его невольно вызывает удивление, и именно поэтому Кавендиш назвал свой опыт «взвешиванием Земли», а не «определением постоянной уравнения тяготения».
Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет
Источник