Орбитальные элементы — Orbital elements
Орбитальные элементы — это параметры, необходимые для однозначной идентификации конкретной орбиты . В небесной механике эти элементы рассматриваются в системах двух тел с использованием орбиты Кеплера . Существует множество различных способов математического описания одной и той же орбиты, но определенные схемы, каждая из которых состоит из набора из шести параметров, обычно используются в астрономии и орбитальной механике .
Реальная орбита и ее элементы меняются со временем из-за гравитационных возмущений других объектов и эффектов общей теории относительности . Орбита Кеплера — это идеализированная математическая аппроксимация орбиты в определенный момент времени.
СОДЕРЖАНИЕ
Кеплеровские элементы
Традиционные элементы орбиты — это шесть кеплеровских элементов после Иоганна Кеплера и его законов движения планет .
Если смотреть из инерциальной системы отсчета , два вращающихся тела имеют разные траектории. Каждая из этих траекторий имеет фокус в общем центре масс . Если смотреть из неинерциальной системы отсчета, центрированной на одном из тел, видна только траектория противоположного тела; Кеплеровы элементы описывают эти неинерциальные траектории. Орбита имеет два набора кеплеровских элементов в зависимости от того, какое тело используется в качестве точки отсчета. Базовое тело (обычно самое массивное) называется первичным , другое тело — вторичным . Первичный элемент не обязательно должен обладать большей массой, чем вторичный, и даже когда тела равны по массе, элементы орбиты зависят от выбора первичного.
Два элемента определяют форму и размер эллипса:
- Эксцентриситет ( e ) — форма эллипса, описывающая, насколько он удлинен по сравнению с кругом (не отмечен на диаграмме).
- Большая полуось ( а ) — сумма перицентрических и апоцентрических расстояний, деленная на два. Для классических орбит двух тел большая полуось — это расстояние между центрами тел, а не расстояние между телами от центра масс.
Два элемента определяют ориентацию орбитальной плоскости, в которую вложен эллипс:
- Наклон ( i ) — вертикальный наклон эллипса относительно плоскости отсчета, измеренный в восходящем узле (где орбита проходит вверх через плоскость отсчета, зеленый угол i на диаграмме). Угол наклона измеряется перпендикулярно линии пересечения плоскости орбиты и плоскости отсчета. Любые три точки на эллипсе будут определять плоскость орбиты эллипса. Плоскость и эллипс — это двухмерные объекты, определенные в трехмерном пространстве.
- Долгота восходящего узла ( Ом ) — горизонтально ориентирует восходящий узел эллипса (где орбита проходит вверх через базовую плоскость, символизируемый ☊ ) относительно опорного кадра в весеннем точке (символизируемом ♈︎). Он измеряется в плоскости отсчета и показан на диаграмме как зеленый угол Ω .
Остальные два элемента следующие:
- Аргумент перицентра ( ω ) определяет ориентацию эллипса в плоскости орбиты как угол, измеряемый от восходящего узла к перицентру (ближайшая точка, в которой объект-спутник подходит к основному объекту, вокруг которого он вращается, синий угол ω в диаграмму).
- Истинная аномалия ( ν , θ или f ) в эпоху ( t0 ) определяет положение орбитального тела вдоль эллипса в определенное время («эпоху»).
Средняя аномалия M является математически удобным фиктивным «углом» , который изменяется линейно со временем, но не соответствует реальному геометрическому углу. Его можно преобразовать в истинную аномалию ν , которая представляет собой реальный геометрический угол в плоскости эллипса между перицентром (наиболее близкое приближение к центральному телу) и положением орбитального объекта в любой момент времени. Таким образом, истинная аномалия показана на диаграмме красным углом ν , а средняя аномалия не показана.
Углы наклона, долгота восходящего узла и аргумент перицентра также могут быть описаны как углы Эйлера, определяющие ориентацию орбиты относительно опорной системы координат.
Обратите внимание, что неэллиптические траектории также существуют, но они не замкнуты и, следовательно, не являются орбитами. Если эксцентриситет больше единицы, траектория является гиперболой . Если эксцентриситет равен единице, а угловой момент равен нулю, траектория радиальная . Если эксцентриситет равен единице и есть угловой момент, траектория представляет собой параболу .
Обязательные параметры
Учитывая инерциальную систему отсчета и произвольную эпоху (заданный момент времени), необходимы ровно шесть параметров, чтобы однозначно определить произвольную и невозмущенную орбиту.
Это потому, что задача содержит шесть степеней свободы . Они соответствуют трем пространственным измерениям, которые определяют положение ( x , y , z в декартовой системе координат ), плюс скорость в каждом из этих измерений. Их можно описать как векторы орбитального состояния , но это часто неудобный способ представления орбиты, поэтому вместо них обычно используются кеплеровские элементы.
Иногда эпоху считают «седьмым» параметром орбиты, а не частью системы отсчета.
Если эпоха определяется как момент, когда один из элементов равен нулю, количество неопределенных элементов уменьшается до пяти. (Шестой параметр по-прежнему необходим для определения орбиты; он просто численно устанавливается на ноль по соглашению или «перемещается» в определение эпохи по отношению к реальным часам.)
Альтернативные параметризации
Кеплеровские элементы могут быть получены из векторов орбитального состояния (трехмерный вектор для положения и другой для скорости) путем ручных преобразований или с помощью компьютерного программного обеспечения.
Другие параметры орбиты могут быть вычислены на основе кеплеровских элементов, таких как период , апоапсис и перицентр . (При вращении вокруг Земли последние два члена называются апогеем и перигеем.) Обычно в наборах кеплеровских элементов указывается период вместо большой полуоси, поскольку каждый из них может быть вычислен на основе другого при условии стандартной гравитационной параметр , ГМ , дается для центрального тела.
Использование, например, «средней аномалии» вместо «средней аномалии в эпоху» означает, что время t должно быть указано как седьмой элемент орбиты. Иногда предполагается, что средняя аномалия равна нулю в эпоху (путем выбора соответствующего определения эпохи), оставляя только пять других орбитальных элементов, которые необходимо указать.
Для разных астрономических тел используются разные наборы элементов. Эксцентриситет e и либо большая полуось, a , либо расстояние до перицентра q , используются для определения формы и размера орбиты. Долгота восходящего узла, Ом , наклон, I , и аргумент перицентре, со , или долготой перицентре, П , задающие ориентацию орбиты в ее плоскости. Либо долгота в эпоху, L 0 , средняя аномалия в эпоху, M 0 , либо время прохождения перигелия, T 0 , используются для определения известной точки на орбите. Сделанный выбор зависит от того, используется ли весеннее равноденствие или узел в качестве основного ориентира. Большая полуось известна, если известны среднее движение и гравитационная масса .
Также довольно часто можно увидеть либо среднюю аномалию ( M ), либо среднюю долготу ( L ), выраженную напрямую, без промежуточных шагов M 0 или L 0 , как полиномиальную функцию по времени. Этот метод выражения объединит среднее движение ( n ) в полином как один из коэффициентов. Похоже, что L или M выражаются более сложным образом, но нам понадобится на один элемент орбиты меньше.
Среднее движение также может быть скрыто за цитатами орбитального периода P .
| Объект | Используемые элементы |
|---|---|
| Большая планета | е , а , я , Ω , ϖ , L 0 |
| Комета | e , q , i , Ω, ω , T 0 |
| Астероид | е , а , я , Ω, ω , M 0 |
| Двухстрочные элементы | е , я , Ω, ω , n , M 0 |
Преобразования угла Эйлера
Углы Ω , i , ω — это углы Эйлера (соответствующие α , β , γ в обозначениях, используемых в этой статье), характеризующие ориентацию системы координат.
x̂ , ŷ , ẑ из инерциальной системы координат Î , Ĵ , K̂
- Î , Ĵ находится в экваториальной плоскости центрального тела. Î находится в направлении весеннего равноденствия. Ĵ перпендикулярна Î и Î определяет опорную плоскость. K̂ перпендикулярен плоскости отсчета. Орбитальные элементы тел (планет, комет, астероидов . ) в Солнечной системе обычно используют эклиптику в качестве этой плоскости.
- x̂ , ŷ находятся в плоскости орбиты, а x̂ — в направлении к перицентру ( перицентру ). ẑ перпендикулярно плоскости орбиты. ŷ взаимно перпендикулярно x̂ и ẑ .
Тогда преобразование системы координат Î , Ĵ , K̂ в систему координат x̂ , ŷ , ẑ с углами Эйлера Ω , i , ω имеет вид:
Икс 1 знак равно потому что Ω ⋅ потому что ω — грех Ω ⋅ потому что я ⋅ грех ω ; Икс 2 знак равно грех Ω ⋅ потому что ω + потому что Ω ⋅ потому что я ⋅ грех ω ; Икс 3 знак равно грех я ⋅ грех ω ; у 1 знак равно — потому что Ω ⋅ грех ω — грех Ω ⋅ потому что я ⋅ потому что ω ; у 2 знак равно — грех Ω ⋅ грех ω + потому что Ω ⋅ потому что я ⋅ потому что ω ; у 3 знак равно грех я ⋅ потому что ω ; z 1 знак равно грех я ⋅ грех Ω ; z 2 знак равно — грех я ⋅ потому что Ω ; z 3 знак равно потому что я ; <\ Displaystyle <\ begin 
[ Икс 1 Икс 2 Икс 3 у 1 у 2 у 3 z 1 z 2 z 3 ] знак равно [ потому что ω грех ω 0 — грех ω потому что ω 0 0 0 1 ] [ 1 0 0 0 потому что я грех я 0 — грех я потому что я ] [ потому что Ω грех Ω 0 — грех Ω потому что Ω 0 0 0 1 ] ; <\ displaystyle \ left [<\ begin
Икс ^ знак равно Икс 1 я ^ + Икс 2 J ^ + Икс 3 K ^ ; у ^ знак равно у 1 я ^ + у 2 J ^ + у 3 K ^ ; z ^ знак равно z 1 я ^ + z 2 J ^ + z 3 K ^ . <\ displaystyle <\ begin
. \\\, \ end
Обратное преобразование, которое вычисляет 3 координаты в системе IJK с учетом 3 (или 2) координат в системе xyz, представлено обратной матрицей. Согласно правилам матричной алгебры , обратная матрица произведения трех матриц вращения получается путем инвертирования порядка трех матриц и переключения знаков трех углов Эйлера.
Преобразование из x̂ , ŷ , ẑ в углы Эйлера Ω , i , ω :
Ω знак равно аргумент ( — z 2 , z 1 ) я знак равно аргумент ( z 3 , z 1 2 + z 2 2 ) ω знак равно аргумент ( у 3 , Икс 3 ) <\ displaystyle <\ begin
где arg ( x , y ) обозначает полярный аргумент, который может быть вычислен с помощью стандартной функции atan2 (y, x), доступной во многих языках программирования.
Предсказание орбиты
В идеальных условиях идеально сферического центрального тела и нулевых возмущений все элементы орбиты, кроме средней аномалии, являются постоянными. Средняя аномалия изменяется линейно со временем, масштабируемая средним движением ,
п знак равно μ а 3 . <\ displaystyle n = <\ sqrt <\ frac <\ mu>>>>.>
Возмущения и элементная дисперсия
Невозмутимая, два тела , ньютоновская орбита всегда конические сечения , поэтому кеплеровы элементы определяют эллипс , параболу или гиперболу . Реальные орбиты имеют возмущения, поэтому данный набор кеплеровских элементов точно описывает орбиту только в эпоху. Эволюция элементов орбиты происходит из-за гравитационного притяжения тел, отличных от первичного, несферичности первичного тела, атмосферного сопротивления , релятивистских эффектов , радиационного давления , электромагнитных сил и т. Д.
Кеплеровские элементы часто можно использовать для получения полезных предсказаний, иногда близких к эпохе. В качестве альтернативы реальные траектории могут быть смоделированы как последовательность кеплеровских орбит, которые соприкасаются («целуют» или касаются) реальной траектории. Их также можно описать так называемыми планетарными уравнениями , дифференциальными уравнениями, которые имеют различные формы, разработанные Лагранжем , Гауссом , Делоне , Пуанкаре или Хиллом .
Двухстрочные элементы
Параметры кеплеровских элементов можно кодировать в виде текста в нескольких форматах. Наиболее распространенным из них является формат «двухстрочных элементов» (TLE) NASA / NORAD , изначально разработанный для использования с перфокартами на 80 столбцов, но все еще используемый, поскольку это наиболее распространенный формат, с которым легко справятся все. современные хранилища данных.
В зависимости от приложения и орбиты объекта данные, полученные из TLE старше 30 дней, могут стать ненадежными. Орбитальные позиции могут быть вычислены из Тлеса через ПМГ / SGP4 / SDP4 / SGP8 / SDP8 алгоритмов.
Пример двухстрочного элемента:
Переменные Делоне
Орбитальные элементы Делоне были введены Шарлем-Эженом Делоне во время его изучения движения Луны . Обычно называемые переменными Делоне , они представляют собой набор канонических переменных , которые представляют собой координаты действие-угол . Углы представляют собой простую сумму некоторых углов Кеплара:
:>средняя долгота
грамм знак равно ω + Ω : <\ displaystyle g = \ omega + \ Omega
:>долгота перицентра и
час знак равно Ω : <\ displaystyle h = \ Omega
:>долгота восходящего узла
наряду с их соответствующими сопряженными импульсами , L , G и H . Импульсы L , G и H являются переменными действия и представляют собой более сложные комбинации кеплеровских элементов a , e и i .
Переменные Делоне используются для упрощения пертурбативных вычислений в небесной механике, например, при исследовании колебаний Козая – Лидова в иерархических тройных системах. Преимущество переменных Делоне состоит в том, что они остаются четко определенными и неособыми (за исключением h , что можно допустить), когда e и / или i очень малы: когда орбита тестовой частицы очень близка к круговой ( ) или очень почти «плоский» ( ). е ≈ 0 <\ Displaystyle е \ приблизительно 0> я ≈ 0 <\ Displaystyle я \ приблизительно 0>
Источник