Количество песчинок во вселенной

Глава III. Для чего и как Архимед считал песок?

В III в. до н. э. на острове Сицилия жил математик совершенно исключительной одарённости. И сейчас, более чем через две тысячи лет после его кончины, имя его известно любому школьнику. Это был Архимед (рис. 2). Замечательный геометр, механик, физик и военный инженер, он оставил среди своих многочисленных творений удивительное сочинение по арифметике. Называется оно «Псаммит или исчисление песку в пространстве, равном шару неподвижных звёзд».

Рис. 2

Архимед впервые убедительно показал, что чисел бесконечно много, что для любого количества предметов, как бы велико оно ни было, можно найти соответствующее число; можно для любого числа указать его место в ряду уже известных чисел, построить числа ещё большие и назвать все эти числа. Иными словами, он построил научную систему счисления.

Число и наука о нем

В качестве примера он рассмотрел песок, который часто считается символом бесконечного множества (говорят — «бесчисленны, как песок морской». ). Он показал, что числом можно выразить не только весь песок на Земле. Если бы вся вселенная состояла сплошь из песка, то и тогда нашлось бы число, с помощью которого можно выразить такое количество песчинок. Для решения этой задачи он строит нумерацию, которую мы и разберём внимательно. Но сначала посмотрим, как Архимед представлял себе мир, и решим его задачу с помощью нынешних приёмов вычисления.

Архимед считал мир очень большим, но всё же ограниченным: именно, он считал его шаром, на поверхности которого расположены неподвижные звёзды, а внутри находятся Земля, Солнце и планеты. Радиус этого шара он считал в мириаду, т. е. в десять тысяч раз большим, чем расстояние от Земли до Солнца, а последнее полагал равным мириаде мириад стадий, т. е. по-нашему 150*10 7 км*.

* ( Греческая стадия равнялась приблизительно 150 метрам. От слова «стадия» происходит «стадион» — первоначально — разделённая на стадии дорожка, на которой состязались бегуны. Слово «мириада» значит десять тысяч. Слов для обозначения чисел, больших чем 10 000, в греческом языке не было.)

Это — в десять раз больше среднего расстояния от Земли до Солнца, для которого современные измерения дают приблизительно 150*10 6 км. Таким образом, радиус вселенной Архимеда, в пересчёте на наши меры, равнялся 15*10 12 км. Это, примерно, в три раза меньше фактического расстояния до ближайшей к нам звезды. Значит, радиус архимедовой вселенной в сто миллионов раз меньше, чем радиус мира, доступного нашим современным телескопам.

Теперь нетрудно вычислить объём архимедовой «сферы неподвижных звёзд». Он равен

*) ( Мы считаем, для простоты расчётов, π = 3. Эта неточность не влияет на существо результата.)

Остаётся подсчитать, сколько в этот объём можно вместить песчинок. Архимед считал, что в объёме макового зерна может вместиться мириада (10 000) песчинок (иными словами, он рассматривал весьма тонкий песок — лёгкую пыль). Поперечник макового зерна он считал равным одной сороковой части дюйма * , т. е. по-нашему 1 /₂ мм.

* ( Греческий дюйм равнялся приблизительно 2 см.)

Считая, для простоты, что зерно имеет форму кубика, мы видим, что в одном кубическом миллиметре содержится 8 маковых зёрен или 80 000 песчинок; в кубическом метре — в 10 9 (в биллион) раз больше, т. е. 8*10 13 , а в кубическом километре — ещё в 10 9 больше, т. е. 8*10 13 *10 9 = 8*10 22 песчинок. Остаётся перемножить число кубических километров архимедовой вселенной (135*10 38 ) и число песчинок в одном кубическом километре (8*10 22 ). Это даст, примерно, 10 63 песчинок — число и по нашим современным масштабам громадное.

Мы без труда решили архимедову задачу. Но во времена Архимеда не было названий для чисел, больших десяти тысяч, не было десятичной системы счисления, не было знака показателя, не было разработанных правил действий. Заслуга Архимеда именно в том, что он выдумал, как называть большие числа и как производить с ними вычисления (при вычислениях он пользовался только свойствами арифметической и геометрической прогрессий, которые и в то время были известны). Это вычисление очень интересно, но говорить о нём в нашей небольшой книжке нет возможности * . Мы рассмотрим только архимедову систему счисления.

* ( Интересующиеся с удовольствием прочтут сами «Псаммит», который, начиная с 1824 г., неоднократно издавался в русском переводе. Последнее издание: «Исчисление песчинок», перевод Г. Н. Попова, М.- Л., 1932 г.)

Для первого десятка тысяч, т. е. до первой мириады, Архимед использует существовавшие тогда греческие числительные. Далее он называет числа до мириады мириад подобно тому, как мы называем числа до тысячи тысяч. Так число 85 643 911 Архимед назовёт: «восемь тысяч пятьсот шестьдесят четыре мириады три тысячи девятьсот одиннадцать». Все числа от единицы до мириады мириад он называет «числами первыми». Простую единицу он называет «единицей чисел первых», а мириаду мириад единиц чисел первых — «единицей чисел вторых». Итак, «единица чисел вторых» — это 10 8 . Теперь нетрудно назвать числа до мириады мириад «единиц чисел вторых», т. е. по-нашему до 10 16 . Это число Архимед называет «единицей чисел третьих» и т. д. Мы видим здесь позиционную систему счисления с основанием 10 8 , но разработаны только названия, а не написание чисел, в котором Архимед для решения своей задачи не нуждался. Единица каждого разряда у Архимеда в 10 8 раз больше единицы предшествующего разряда.

Таким образом можно дойти до единицы любых чисел вплоть до мириадо-мириадных. Единица n-х чисел будет равна, как легко сообразить, 10 8(n-1) (например, единица десятых чисел — 10 8(10-1) = 10 72 ; единица сто двадцать четвёртых чисел — 10 8(124-1) = 10 984 и т. д.). Счёт можно довести до мириады мириад чисел мириадо-мириадных, т. е. до 10 8 *10 8(100000000-1) = 10 8*10 8 . Этих чисел Архимеду вполне достаточно для решения его задачи. Мы видели, в самом деле, что решением служит 10 63 = 10 7 *10 8(8-1) , т. е. тысяча мириад единиц чисел восьмых.

Но Архимед на этом не останавливается. Как мы, кроме единиц различных разрядов, вводим единицы различных классов, так он вводит числа различных периодов. Все числа до 10 8*10 8 он называет числами первого периода. Мириаду мириад чисел мириадо-мириадных он называет «единицей первых чисел второго периода«. Затем вводятся вторые, третьи числа и т. д. до мириадо-мириадных чисел второго периода. Мириада мириад мириадо-мириадных чисел второго периода (10 2*8*10 8 ) образует единицу первых чисел 3-го периода. Единицей первых чисел четвёртого периода будет число 10 3*8*10 8 . Вообще единицей первых чисел n-го периода будет число 10 (n-1)*8*10 8 , единицей m-х чисел n-го периода-число 10 (n-1)*8*10 8 + m*8-m . Так Архимед доходит до мириады мириад мириадо-мириадных чисел мириадо-мириадного периода, т. е. до числа 10 8 *10 16 . На этом Архимед останавливается. Но продолжать его путь нетрудно. Вслед за периодами можно ввести какие-нибудь циклы или периоды второго порядка и т. д.

Архимедову систему счисления удобно представить в форме следующей таблицы:

Для того чтобы лучше разобраться в архимедовом счислении и оценить его достоинства, посмотрим, как с его помощью назвать числовые гиганты, о которых говорилось в главе I.

Начнём с «шахматного» числа (стр. 17), равного

Прежде всего разобьём его на «архимедовы разряды», т. е. на группы по 8 цифр

Здесь, очевидно, тысяча восемьсот сорок четыре единицы третьих чисел, шесть тысяч семьсот сорок четыре мириады семьсот тридцать семь единиц вторых чисел, девятьсот пятьдесят пять мириад тысяча шестьсот пятнадцать единиц первых чисел. Это название немногим длиннее нашего (восемнадцать триллионов. и т.д., см. стр. 17).

Для числа Курта Лассвица (10 15*10 6 ) мы найдём, что оно равно 10 8(1875001-1) , т. е. одной единице сто восемьдесят семь мириад пять тысяч первых чисел первого периода. Мы видим, что для наименования этого числового сверхгиганта не понадобился даже второй период. Даже для числа 9 9 9 хватило бы чисел первого периода. Но число 10 10 10 будет уже равняться единице чисел пять тысяч мириад первых (50000001-x) периода тринадцатого.

Вот какое удобное орудие счёта создал Архимед две тысячи двести лет тому назад!

Источник

Исчисление песчинок

Псаммит (др.-греч. Ψαμμίτης ) или Исчисление песчинок — работа древнегреческого ученого Архимеда, в которой он пытается определить верхнюю грань числа песчинок, которые занимает в своём объёме Вселенная. С этой целью он пробует вычислить размер Вселенной, основываясь на астрономических представлениях того времени, а также изобретает способ наименования очень больших чисел. Работа была написана в виде письма тирану Сиракуз Гелону.

Наименование больших чисел

Во времена Архимеда числовая система могла описывать числа вплоть до мириады (10000), а также, используя эти числа для перечисления мириад, можно расширить эту систему для наименования чисел вплоть до мириад мириад (10 8 ). Архимед назвал числа до 10 8 «первыми числами», а 10 8 назвал «единицей вторых чисел». Умножения этой единицы на числа до мириады мириад порождают «вторые числа» вплоть до 10 8 10 8 =10 16 . 10 16 стало «единицей третьих чисел», которая таким же образом порождала третьи числа. Продолжая аналогичные рассуждения, Архимед дошёл до мириадо-мириадных чисел, то есть до . После этого Архимед назвал все приведенные числа «числами первого периода», а последнее назвал «единицей второго периода». После этого он построил числа второго периода, умножая эту единицу на числа первого периода. Продолжая таким образом построения, Архимед пришёл к числам мириадо-мириадного периода. Самым большим числом, названным Архимедом, стало последнее число этого периода:

Приведенная Архимедом система стала в некотором смысле первой в истории позиционной системой счисления, имевшей при этом основание 10 8 . Стоит заметить, что в то время греки пользовались примитивной системой записи чисел, употребляя для обозначения чисел различные буквы алфавита. Также Архимед привел и доказал закон сложения показателей степени .

Вычисление размеров Вселенной

Чтобы определить число песчинок, помещающихся во Вселенной, Архимеду нужно было вычислить ее размеры. Для этого он использовал гелиоцентрическую модель мира Аристарха Самосского. Работа самого Аристарха была утеряна и Псаммит является одним из немногих произведений, ссылающихся на эту теорию. Архимед отмечает, что Аристарх не указал, насколько далеко звезды находятся от Земли. Сам Архимед сделал предположение, что Вселенная сферическая (заключенная в «сферу удаленных звезд»), и отношение диаметра вселенной к диаметру орбиты Земли вокруг Солнца равно отношению диаметра орбиты Земли вокруг Солнца к диаметру Земли. Для вычисления верхней границы размера Вселенной Архимед специально завышал свой оценки. Он предположил, что длина земной окружности не более 300 мириад стадий (около 500000 км), хотя он и указывает, что некоторые ученые получили результат в 30 мириад стадий. Также Архимед предположил, что Луна не больше Земли, а Солнце не более, чем в тридцать раз больше Луны, причем он указывает, что Евдокс и отец Архимеда Фидий приводили оценку в 9 и 12 раз соответственно (в действительности диаметр Солнца в 109 раз больше диаметра Земли и в 436 раз больше диаметра Луны).

Для измерения углового диаметра Солнца (то есть угла, который занимает Солнце на окружности небесной сферы) Архимед проводил эксперимент, выполнявшийся на рассвете, когда свет достаточно слаб, чтобы можно было смотреть прямо на Солнце. Для этого он прикреплял к концу линейки небольшой цилиндр и отдалял его так, чтобы он как раз закрывал собою Солнце. При расчетах Архимед учитывал размер зрачка и делал специальные измерения для того, чтобы найти его. В результате измерений было получено, что угловой диаметр Солнца больше 1/200 части прямого угла. Из этого измерения Архимед показывает, что диаметр Солнца больше стороны вписанного в небесную сферу тысячеугольника. При этом он впервые в истории рассматривает параллакс, замечая различие между наблюдениями Солнца из центра Земли и с ее поверхности на восходе.

Из полученных предпосылок Архимед подсчитал, что диаметр Вселенной не более 10 14 стадий (около двух световых лет). Также он предположил, что в объёме макового зернышка поемещается не более мириады песчинок, а диаметр макового зернышка не менее сороковой части дюйма. В итоге Архимед показал, что Вселенная может содержать в себе не более 10 63 песчинок. Для сравнения — современная оценка числа элементарных частиц в известной нам части Вселенной от 10 79 до 10 81 .

Литература

Wikimedia Foundation . 2010 .

Смотреть что такое «Исчисление песчинок» в других словарях:

Исчисление песчинок — назв. трактата Архимеда, в котором он путем сведения в т. н. мириады (позиционные системы с базисом 108) доказал, что ряд натуральных чисел может быть продолжен до бесконечности … Словарь античности

АРХИМЕД — (ок. 287 212 до н.э.), величайший древнегреческий математик и механик. АРХИМЕД Жизнь. Уроженец греческого города Сиракузы на острове Сицилия, Архимед был приближенным управлявшего городом царя Гиерона (и, вероятно, его родственником). Возможно,… … Энциклопедия Кольера

ЦИФРЫ И СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ — Интуитивное представление о числе, по видимому, так же старо, как и само человечество, хотя с достоверностью проследить все ранние этапы его развития в принципе невозможно. Прежде чем человек научился считать или придумал слова для обозначения… … Энциклопедия Кольера

Псаммит — У этого термина существуют и другие значения, см. Псаммит (значения). Псаммит (др. греч. Ψαμμίτης) или Исчисление песчинок работа древнегреческого ученого Архимеда, в которой он пытается определить верхнюю грань числа песчинок, которые… … Википедия

Аристарх Самосский — Ἀρίσταρχος ὁ Σάμιος Памятник Аристарху Самосскому в Аристотелевском университете, Салоники. Дата рождения: ок. 310 до н. э. Место рождения … Википедия

Астрономия Древней Греции — Астрономия Древней Греции астрономические познания и взгляды тех людей, которые писали на древнегреческом языке, независимо от географического региона: сама Эллада, эллинизированные монархии Востока, Рим или ранняя Византия. Охватывает… … Википедия

Аполлоний Пергский — У этого термина существуют и другие значения, см. Аполлоний. Аполлоний Пергский Дата рождения: 262 год до н. э.( 262) Место рождения: Перге, Памфилия Дата смерти … Википедия

Архимед — (около 287 212 до н. э.), древнегреческий учёный. Родом из Сиракуз (Сицилия). Разработал предвосхитившие интегральное исчисление методы нахождения площадей, поверхностей и объёмов различных фигур и тел. В основополагающих трудах по статике и… … Энциклопедический словарь

Псаммит (значения) — Псаммит: Псаммит или Исчисление песчинок работа древнегреческого ученого Архимеда, в которой он пытается определить верхнюю грань числа песчинок, которые занимает в своём объёме Вселенная. Псаммиты в геологии обломочные горные породы… … Википедия

АРХИМЕД — (ок. 287 212 до н. э.) древнегреческий ученый. Родом из Сиракуз (Сицилия). Разработал предвосхитившие интегральное исчисление методы нахождения площадей, поверхностей и объемов различных фигур и тел. В основополагающих трудах по статике и… … Большой Энциклопедический словарь

Источник