Космическая ракета движется вокруг солнца по орбите

Примеры решения задач по физике

Силы тяготения. Гравитационное поле

4.1. Центры масс двух одинаковых однородных шаров находятся на расстоянии r = 1 м друг от друга. Масса m каждого шара равна 1 кг. Определить силу F гравитационного взаимодействия шаров.

4.2. Как велика сила F взаимного притяжения двух космических кораблей массой m = 10т каждый, если они сблизятся до расстояния r = 100 м?

4.3 Определить силу F взаимного притяжения двух соприкасающихся железных шаров диаметром d = 20 см каждый.

4.4. На какой высоте h над поверхностью Земли напряженность gh гравитационного поля равна 1 Н/кг? Радиус R Земли считать известным.

4.5. Ракета, пущенная вертикально вверх, поднялась на высоту h=3200 км и начала падать. Какой путь s пройдет ракета за первую секунду своего падения?

4.6. Радиус R планеты Марс равен 3,4 Мм, ее масса М = 6,4·1023 кг. Определить напряженность g гравитационного поля на поверхности Марса. Полупроводниковые триоды (транзисторы) Односторонняя проводимость контактов двух полупроводников (или металла с полупроводником) используется для выпрямления и преобразования переменных токов. Если имеется один электронно-дырочный переход, то его действие аналогично действию двухэлектродной лампы—диода. Поэтому полупроводниковое устройство, содержащее один р-п-переход, называется полупроводниковым (кристаллическим) диодом.

4.7. Радиус Земли в n=3,66 раза больше радиуса Луны; средняя плотность Земли в k=1,66 раза больше средней плотности Луны. Определить ускорение свободного падения gЛ на поверхности Луны, если на поверхности Земли ускорение свободного падения g считать известным.

4.8. Радиус R малой планеты равен 250 км, средняя плотность ρ=3 г/см3. Определить ускорение свободного падения g на поверхности планеты.

Офисные светодиодные светильники армстронг тут .

4.9. Масса Земли в n=81,6 раза больше массы Луны. Расстояние l между центрами масс Земли и Луны равно 60,3R (R — радиус Земли). На каком расстоянии r (в единицах R) от центра Земли находится точка, в которой суммарная напряженность гравитационного поля Земли и Луны равна нулю?

4.10. Искусственный спутник обращается вокруг Земли по окружности на высоте h=3,6 Мм. Определить линейную скорость v спутника. Радиус R Земли и ускорение свободного падения g на поверхности Земли считать известными.

4.11. Период Т вращения искусственного спутника Земли равен

2 ч. Считая орбиту спутника круговой, найти, на какой высоте А над поверхностью Земли движется спутник.

4.12. Стационарный искусственный спутник движется по окружности в плоскости земного экватора, оставаясь все время над одним и тем же пунктом земной поверхности. Определить угловую скорость ω спутника и радиус R его орбиты.

4.13. Планета Нептун в k=30 раз дальше от Солнца, чем Земля. Определить период Т обращения (в годах) Нептуна вокруг Солнца.

4.14. Луна движется вокруг Земли со скоростью υ1=1,02 км/с. Среднее расстояние l Луны от Земли равно 60,3 R (R — радиус Земли). Определить по этим данным, с какой скоростью υ2 должен двигаться искусственный спутник, вращающийся вокруг Земли на незначительной высоте над ее поверхностью.

4.15. Зная среднюю скорость υ1 движения Земли вокруг Солнца (30 км/с), определить, с какой средней скоростью υ2 движется малая планета, радиус орбиты которой в n=4 раза больше радиуса орбиты Земли.

4.16. Советская космическая ракета, ставшая первой искусственной планетой, обращается вокруг Солнца по эллипсу. Наименьшее расстояние rmin ракеты от Солнца равно 0,97, наибольшее расстояние rmax равно 1,31 а. е. (среднего расстояния Земли от Солнца). Определить период Т вращения (в годах) искусственной планеты.

4.17. Космическая ракета движется вокруг Солнца по орбите, почти совпадающей с орбитой Земли. При включении тормозного устройства ракета быстро теряет скорость и начинает падать на Солнце (рис. 4.6). Определить время t, в течение которого будет падать ракета.

Указание. Принять, что, падая на Солнце, ракета движется по эллипсу, большая ось которого очень мало отличается от радиуса орбиты Земли, а эксцентриситет — от единицы. Период обращения по эллипсу не зависит от эксцентриситета.

4.18. Ракета, запущенная с Земли на Марс, летит, двигаясь вокруг Солнца по эллиптической орбите (рис. 4.7). Среднее расстояние r планеты Марс от Солнца равно 1,5 а. е. В течение какого времени t будет лететь ракета до встречи с Марсом?

4.19. Искусственный спутник движется вокруг Земли по эллипсу с эксцентриситетом ε=0,5. Во сколько раз линейная скорость спутника в перигее (ближайшая к центру Земли точка орбиты спутника) больше, чем в апогее (наиболее удаленная точка орбиты)?

4.31. Радиус R малой планеты равен 100 км, средняя плотность ρ вещества планеты равна 3 г/см3. Определить параболическую скорость υ2 у поверхности этой планеты.

4.32. Какова будет скорость v ракеты на высоте, равной радиусу Земли, если ракета пущена с Земли с начальной скоростью υ0= 10 км/с? Сопротивление воздуха не учитывать. Радиус R Земли и ускорение свободного падения g на ее поверхности считать известными.

4.33. Ракета пущена с Земли с начальной скоростью υо=15 км/с. К какому пределу будет стремиться скорость ракеты, если расстояние ракеты от Земли бесконечно увеличивается? Сопротивление воздуха и притяжение других небесных тел, кроме Земли, не учитывать.

4.34. Метеорит падает на Солнце с очень большого расстояния, которое практически можно считать бесконечно большим. Начальная скорость метеорита пренебрежимо мала. Какую скорость υ будет иметь метеорит в момент, когда его расстояние от Солнца равна среднему расстоянию Земли от Солнца?

Модуль упругости. Жесткость

4.43. К вертикальной проволоке длиной l=5 м и площадью поперечного сечения S=2 мм2 подвешен груз массой m=5,1 кг. В результате проволока удлинилась на x=0,6 мм. Найти модуль Юнга Е материала проволоки.

4.44. К стальному стержню длиной l=3 м и диаметром d=2 см подвешен груз массой m=2,5 × 103 кг. Определить напряжение σ в стержне, относительное ε и абсолютное х удлинения стержня.

4.45. Проволока длиной l=2 м и диаметром d=l мм натянута практически горизонтально. Когда к середине проволоки подвесили груз массой m=1 кг, проволока растянулась настолько, что точка подвеса опустилась на h=4 см. Определить модуль Юнга Е материала проволоки.

Работа упругой силы.

Задача №2. Тело А свободно падает с высоты h, тело В, находящееся на расстоянии L от предполагаемой точки падения тела А, бросают так, чтобы оно в полёте столкнулось с телом А. Под каким углом α к горизонту нужно бросить тело В и с какой скоростью, чтобы столкновение было возможным.

Начало координат совмещаем с точкой, в которой находится тело В (рис. 3).

Записываем уравнения движения тел.

Для тела А: ХА = L; (1.21)

УА = Н — gt2/ 2. (1.22)

Хв = ( V0 cos α) t; (1.23)

Ув = ( V0 sinα) t – gt2/2. (1.24)

При столкновении ХА = Хв; УА = Ув, приравняв правые части (1.21) и (1.23), а также (1.22) и (1.24) получим уравнения:

L = ( V0 cos α) t; (1.25)

Н — gt2/ 2 = ( V0 sinα) t – gt2/2 или Н = ( V0 sinα) t. (1.26)

Разделив (1.26) на (1.25), получим соотношение

H / L = sinα / cos α = tg α, откуда α = arc tg H/L. (1.27)

Выражение (1.27) показывает, что вектор V0 скорости тела В должен быть направлен точно в точку, где в начальный момент находится тело А. Только в этом случае возможно столкновение тел А и В.

Минимальная величина этой скорости должна быть такой, чтобы тело В за время падения тела А с высоты Н смогло пролететь по оси Х расстояние равное L, в этом случае столкновение тел произойдёт в точке падения тела А. Уравнения движения тел примут вид:

для тела А: 0 = Н – gt п2/ 2; (1.28)

для тела В: L = ( V0 cos α) tп. (1.29)

Здесь tп – время свободного падения тела А. Решив систему уравнений (1.28) и (1.29) относительно V0 , получим выражение

V0 = [g (H2 + L2) / 2H]1/2 (1.30)

При всех начальных скоростях тела В больших значения, определяемого соотношением (1.30), столкновение тел А и В происходит обязательно, и чем больше значение V0, тем координата У точки столкновения будет больше, конечно, если вектор начальной скорости направлен под углом к горизонту, определяемым соотношением (1.27).

Источник

§ 5. Основы космонавтики

Изучив этот параграф, мы:

• вспомним ученых, внесших значительный вклад в освоение космоса;
• узнаем, как можно изменять орбиту космических кораблей;
• убедимся, что космонавтика широко используется на Земле.

Зарождение космонавтики

Космонавтика изучает движение искусственных спутников Земли (ИСЗ), космических кораблей и межпланетных станций в космическом пространстве. Существует различие между природными телами и искусственными космическими аппаратами: последние при помощи реактивных двигателей могут изменять параметры своей орбиты.

Значительный вклад в создание научных основ космонавтики, пилотируемых космических кораблей и автоматических межпланетных станций (АМС) внесли советские ученые.

Рис. 5.1. К. Э. Циолковский (1857—1935)

К. Э. Циолковский (рис. 5.1) создал теорию реактивного движения. В 1902 г. он впервые доказал, что только при помощи реактивного двигателя можно достичь первой космической скорости.

Рис. 5.2. Ю. В. Кондратюк (1898—1942)

Ю. В. Кондратюк (А. Г. Шаргей; рис. 5.2) в 1918 г. рассчитал траекторию полета на Луну, которая впоследствии была применена в США при подготовке космических экспедиций «Аполлон». Выдающийся конструктор первых в мире космических кораблей и межпланетных станций С. П. Королев (1906—1966) родился и учился в Украине. Под его руководством 4 октября 1957 г. в Советском Союзе был запущен первый в мире ИСЗ, созданы АМС, которые первыми в истории космонавтики достигли Луны, Венеры и Марса. Наибольшим достижением космонавтики в то время был первый пилотируемый полет космического корабля «Восток», на котором 12 апреля 1961 г. летчик-космонавт Ю. А. Гагарин совершил кругосветное космическое путешествие.

Круговая скорость

Рассмотрим орбиту спутника, который обращается по круговой орбите на высоте Н над поверхностью Земли (рис. 5.3).

Рис. 5.3. Круговая скорость определяет движение тела вокруг Земли на постоянной высоте Н над ее поверхностью

Для того чтобы орбита была постоянной и не изменяла свои параметры, должны выполняться два условия.

1. Вектор скорости должен быть направлен по касательной к орбите.
2. Величина линейной скорости спутника должна равняться круговой скорости, которая определяется уравнением:

(5.1)

где — Мзем = 6×10 24 кг — масса Земли; G = 6,67×10 -11 (H • м 2 )/кг 2 — постоянная всемирного тяготения; Н — высота спутника над поверхностью Земли, Rзем = 6,37 • 10 9 м — радиус Земли. Из формулы (5.1) следует, что самое большое значение круговая скорость имеет при высоте Н = 0, то есть в том случае, когда спутник движется у самой поверхности Земли. Такая скорость в космонавтике называется первой космической:

(5.2)

В реальных условиях ни один спутник не может обращаться вокруг Земли по круговой орбите с первой космической скоростью, ибо плотная атмосфера очень тормозит движение тел, которые перемещаются с большой скоростью. Если бы даже скорость ракеты в атмосфере достигла величины первой космической, то большое сопротивление воздуха разогрело бы ее поверхность до температуры плавления. Поэтому ракеты во время старта с поверхности Земли сначала поднимаются вертикально вверх до высоты нескольких сотен километров, где сопротивление воздуха незначительно, и только тогда спутнику сообщается соответствующая скорость в горизонтальном направлении.

Для любознательных

Невесомость во время полета в космическом корабле наступает в момент, когда прекращают работу ракетные двигатели. Для того чтобы ощутить состояние невесомости, не обязательно лететь в космос. Любой прыжок в высоту, или длину, когда исчезает опора под ногами, дает нам кратковременное ощущение состояния невесомости.

Движение космических аппаратов по эллиптическим орбитам

Если величина скорости спутника будет отличаться от круговой или вектор скорости не будет параллелен плоскости горизонта, тогда космический аппарат (КА) будет обращаться вокруг Земли по эллиптической траектории. Согласно первому закону , в одном из фокусов эллипса должен находиться центр Земли, поэтому плоскость орбиты спутника должна пересекать плоскость экватора или совпадать с ней (рис. 5.4). В этом случае высота спутника над поверхностью Земли изменяется в пределах от перигея до апогея. ствующим точкам на орбитах планет — перигелия и афелия (см. § 4).

Рис. 5.4. Движение спутника по эллиптической траектории похоже на обращение планет в зоне тяготения Солнца. Изменение скорости определяется законом сохранения энергии: сумма кинетической и потенциальной энергии тела при движении по орбите остается постоянной

Если спутник движется по эллиптической траектории, то, согласно второму закону Кеплера, изменяется его скорость: наибольшую скорость спутник имеет в перигее, а наименьшую — в апогее.

Период обращения космического аппарата

Если космический аппарат движется по эллипсу вокруг Земли с переменной скоростью, его период обращения можно определить с помощью третьего закона Кеплера (см. § 4):

(5.3)

где Тс — период обращения спутника вокруг Земли; Т_м = 27,3 суток — сидерический период обращения Луны вокруг Земли; а_с — большая полуось орбиты спутника; =380000 км большая полуось орбиты Луны. Из уравнения (5.3) определим:

(5.4)

Рис. 5.5. Геостационарный спутник обращается на высоте 35600 км только по круговой орбите в плоскости экватора с периодом 24 ч (N — Северный полюс)

В космонавтике особую роль играют ИСЗ, которые «висят» над одной точкой Земли — это геостационарные спутники, использующиеся для космической связи (рис. 5.5).

Для любознательных

Для обеспечения глобальной связи достаточно вывести на геостационарную орбиту три спутника, которые должны «висеть» в вершинах правильного треугольника. Сейчас на таких орбитах находятся уже несколько десятков коммерческих спутников разных стран, обеспечивая ретрансляцию телевизионных программ, мобильную телефонную связь, компьютерную сеть Интернет.

Вторая и третья космические скорости

Эти скорости определяют условия соответственно для межпланетных и межзвездных перелетов. Если сравнить вторую космическую скорость V₂ с первой V₁ (5.2), то получим соотношение:

(5.5)

Космический корабль, стартующий с поверхности Земли со второй космической скоростью и движущийся по параболической траектории, мог бы полететь к звездам, потому что парабола является незамкнутой кривой и уходит в бесконечность. Но в реальных условиях такой корабль не покинет Солнечную систему, ибо любое тело, которое вышло за пределы земного тяготения, попадает в гравитационное поле Солнца. То есть космический корабль станет спутником Солнца и будет обращаться в Солнечной системе подобно планетам или астероидам.

Для полета за пределы Солнечной системы космическому кораблю нужно сообщить третью космическую скорость V₃=16,7 км/с. К сожалению, мощность современных реактивных двигателей еще недостаточна для полета к звездам при старте непосредственно с поверхности Земли. Но если КА пролетает через гравитационное поле другой планеты, он может получить дополнительную энергию, которая позволяет в наше время совершать межзвездные полеты. В США уже запустили несколько таких АМС («Пионер-10,11» и «Вояджер-1,2»), которые в гравитационном поле планет-гигантов увеличили свою скорость настолько, что в будущем вылетят за пределы Солнечной системы.

Для любознательных

Полет на Луну происходит в гравитационном поле Земли, поэтому КА летит по эллипсу, в фокусе которого находится центр Земли. Самая выгодная траектория полета с минимальным расходом топлива — это эллипс, являющийся касательным к орбите Луны.

Во время межпланетных полетов, например на Марс, КА летит по эллипсу, в фокусе которого находится Солнце. Самая выгодная траектория с наименьшей затратой энергии проходит по эллипсу, который является касательным к орбите Земли и Марса. Точки старта и прилета лежат на одной прямой по разные стороны от Солнца. Такой полет в одну сторону длится более 8 месяцев. Космонавтам, которые в недалеком будущем посетят Марс, надо учесть, что сразу же вернуться на Землю они не смогут: Земля по орбите движется быстрее, чем Марс, и через 8 месяцев его опередит. До возвращения космонавтам нужно находиться на Марсе еще 8 месяцев, пока Земля займет выгодное положение. То есть общая продолжительность экспедиции на Марс будет не менее двух лет.

Практическое применение космонавтики

В наше время космонавтика служит не только для изучения Вселенной, но и приносит большую практическую пользу людям на Земле. Искусственные космические аппараты изучают погоду, исследуют космос, помогают решать экологические проблемы, ведут поиски полезных ископаемых, обеспечивают радионавигацию (рис. 5.6, 5.7). Но наибольшие заслуги космонавтики в развитии космических средств связи, космического мобильного телефона, телевидения и Интернета.

Рис. 5.6. Международная космическая станция

Ученые проектируют строительство космических солнечных электростанций, которые будут передавать энергию на Землю. В недалеком будущем кто-нибудь из нынешних учеников полетит на Марс, будет осваивать Луну и астероиды. Нас ждут загадочные чужие миры и встреча с другими формами жизни, а возможно, и с внеземными цивилизациями.

Рис. 5.7. Космическая станция в виде гигантского кольца, идею которой предложил Циолковский. Вращение станции вокруг оси создаст искусственное притяжение

Рис. 5.8. Старт украинской ракеты «Зенит» с космодрома в Тихом океане

Выводы

Космонавтика как наука о полетах в межпланетное пространство бурно развивается и занимает особое место в методах изучения небесных тел и космической среды. Кроме того в наше время космонавтика успешно применяется в средствах связи (телефон, радио, телевидение, Интернет), в навигации, геологии, метеорологии и многих других областях деятельности человека.

Тесты

1. С первой космической скоростью может лететь космический корабль, обращающийся вокруг Земли по круговой орбите на такой высоте над поверхностью:
   А. О км.
   Б. 100 км.
   В. 200 км.
   Г. 1000 км.
   Д. 10000 км.
2. Ракета стартует с поверхности Земли со второй космической скоростью. Куда она долетит?
   А. До Луны.
   Б. До Солнца.
   В. Станет спутником Солнца.
   Г. Станет спутником Марса.
   Д. Полетит к звездам.
3. Космический корабль обращается вокруг Земли по эллиптической орбите. Как называется точка орбиты, в которой космонавты находятся ближе всего к Земле?
   А. Перигей.
   Б. Перигелий.
   В. Апогей.
   Г. Афелий.
   Д. Парсек.
4. Ракета с космическим кораблем стартует с космодрома. Когда космонавты почувствуют невесомость?
   А. На высоте 100 м.
   Б. На высоте 100 км.
   В. Когда выключится реактивный двигатель.
   Г. Когда ракета попадет в безвоздушное пространство.
5. Какие из этих физических законов не выполняются в невесомости?
   А. Закон Гука.
   Б. Закон Кулона.
   В. Закон всемирного тяготения.
   Г. Закон Бойля-Мариотта.
   Д. Закон Архимеда.
6. Почему ни один спутник не может обращаться вокруг Земли по круговой орбите с первой космической скоростью?
7. Чем отличается перигей от перигелия?
8. Почему при запуске космического корабля возникают перегрузки?
9. Выполняется ли в невесомости закон Архимеда?
10. Космический корабль обращается вокруг Земли по круговой орбите на высоте 200 км. Определите линейную скорость корабля.
11. Может ли космический корабль сделать за сутки 24 оборота вокруг Земли?

Диспуты на предложенные темы

1. Что вы можете предложить для будущих космических программ?

Задания для наблюдений

1. Вечером найдите на небе спутник или международную космическую станцию, которые освещаются Солнцем и с поверхности Земли выглядят, как яркие точки. Нарисуйте их путь среди созвездий в течение 10 минут. Чем отличается полет спутника от движения планет?

Ключевые понятия и термины:

Апогей, геостационарный спутник, вторая космическая скорость, круговая скорость, межпланетная космическая станция, перигей, первая космическая скорость, искусственный спутник Земли.

Источник