Луна это спутник земли является высказыванием
Алгебра логики возникла в середине ХIХ века в трудах английского математика Джорджа Буля . Ее создание представляло собой попытку решать традиционные логические задачи алгебраическими методами.
Что же такое логическое высказывание?
Логическое высказывание это любoе повествовательное пpедлoжение, в oтнoшении кoтopoгo мoжно oднoзначнo сказать, истиннo oнo или лoжнo. |
Джордж Буль
Так, например, предложение » 6 четное число » следует считать высказыванием, так как оно истинное. Предложение » Рим столица Франции » тоже высказывание, так как оно ложное.
Разумеется, не всякое предложение является логическим высказыванием . Высказываниями не являются, например, предложения » ученик десятого класса » и » информатика интересный предмет «. Первое предложение ничего не утверждает об ученике, а второе использует слишком неопределённое понятие » интересный предмет «. Вопросительные и восклицательные предложения также не являются высказываниями, поскольку говорить об их истинности или ложности не имеет смысла.
Предложения типа » в городе A более миллиона жителей «, » у него голубые глаза » не являются высказываниями, так как для выяснения их истинности или ложности нужны дополнительные сведения: о каком конкретно городе или человеке идет речь. Такие предложения называются высказывательными формами .
Высказывательная форма это повествовательное предложение, которое прямо или косвенно содержит хотя бы одну переменную и становится высказыванием, когда все переменные замещаются своими значениями. |
Алгебра логики рассматривает любое высказывание только с одной точки зрения является ли оно истинным или ложным. Заметим, что зачастую трудно установить истинность высказывания . Так, например, высказывание » площадь поверхности Индийского океана равна 75 млн кв. км » в одной ситуации можно посчитать ложным, а в другой истинным. Ложным так как указанное значение неточное и вообще не является постоянным. Истинным если рассматривать его как некоторое приближение, приемлемое на практике.
Употребляемые в обычной речи слова и словосочетания «не», «и», «или», «если. , то», «тогда и только тогда» и другие позволяют из уже заданных высказываний строить новые высказывания. Такие слова и словосочетания называются логическими связками.
Bысказывания, образованные из других высказываний с помощью логических связок, называются составными. Высказывания, не являющиеся составными, называются элементарными.
Так, например, из элементарных высказываний » Петров врач «, » Петров шахматист » при помощи связки » и » можно получить составное высказывание » Петров врач и шахматист «, понимаемое как » Петров врач, хорошо играющий в шахматы «.
При помощи связки » или » из этих же высказываний можно получить составное высказывание » Петров врач или шахматист «, понимаемое в алгебре логики как » Петров или врач, или шахматист, или и врач и шахматист одновременно «.
Истинность или ложность получаемых таким образом составных высказываний зависит от истинности или ложности элементарных высказываний.
Чтобы обращаться к логическим высказываниям, им назначают имена. Пусть через А обозначено высказывание «Тимур поедет летом на море», а через В высказывание «Тимур летом отправится в горы». Тогда составное высказывание «Тимур летом побывает и на море, и в горах» можно кратко записать как А и В . Здесь «и» логическая связка, А, В логические переменные, которые мoгут принимать только два значения «истина» или «ложь», обозначаемые, соответственно, «1» и «0».
Каждая логическая связка рассматривается как операция над логическими высказываниями и имеет свое название и обозначение:
НЕ Операция, выражаемая словом «не», называется отрицанием и обозначается чертой над высказыванием (или знаком ). Высказывание
истинно, когда A ложно, и ложно, когда A истинно. Пример. » Луна спутник Земли » (А); » Луна не спутник Земли » (
).
И Операция, выражаемая связкой «и», называется конъюнкцией (лат. conjunctio соединение) или логическим умножением и обозначается точкой » . « (может также обозначаться знаками или &). Высказывание А . В истинно тогда и только тогда, когда оба высказывания А и В истинны. Например, высказывание «10 делится на 2 и 5 больше 3» истинно, а высказывания «10 делится на 2 и 5 не больше 3», «10 не делится на 2 и 5 больше 3», «10 не делится на 2 и 5 не больше 3» ложны.
ИЛИ Операция, выражаемая связкой «или» (в неисключающем смысле этого слова), называется дизъюнкцией (лат. disjunctio разделение) или логическим сложением и обозначается знаком v (или плюсом). Высказывание А v В ложно тогда и только тогда, когда оба высказывания А и В ложны. Например, высказывание «10 не делится на 2 или 5 не больше 3» ложно, а высказывания «10 делится на 2 или 5 больше 3», «10 делится на 2 или 5 не больше 3», «10 не делится на 2 или 5 больше 3» истинны.
ЕСЛИ-ТО Операция, выражаемая связками «если . то», «из . следует», «. влечет . «, называется импликацией (лат. implico тесно связаны) и обозначается знаком . Высказывание
ложно тогда и только тогда, когда А истинно, а В ложно.
Каким же образом импликация связывает два элементарных высказывания? Покажем это на примере высказываний: «данный четырёхугольник квадрат» ( А ) и «около данного четырёхугольника можно описать окружность» ( В ). Рассмотрим составное высказывание , понимаемое как «если данный четырёхугольник квадрат, то около него можно описать окружность». Есть три варианта, когда высказывание
истинно:
Ложен только один вариант, когда А истинно, а В ложно, то есть данный четырёхугольник является квадратом, но около него нельзя описать окружность.
В обычной речи связка «если . то» описывает причинно-следственную связь между высказываниями. Но в логических операциях смысл высказываний не учитывается. Рассматривается только их истинность или ложность. Поэтому не надо смущаться «бессмысленностью» импликаций, образованных высказываниями, совершенно не связанными по содержанию. Например, такими: «если президент США демократ, то в Африке водятся жирафы», «если арбуз ягода, то в бензоколонке есть бензин».
РАВНОСИЛЬНО Операция, выражаемая связками » тогда и только тогда «, » необходимо и достаточно «, «. равносильно . «, называется эквиваленцией или двойной импликацией и обозначается знаком или
. Высказывание истинно тогда и только тогда, когда значения А и В совпадают. Например, высказывания «24 делится на 6 тогда и только тогда, когда 24 делится на 3», «23 делится на 6 тогда и только тогда, когда 23 делится на 3» истинны, а высказывания «24 делится на 6 тогда и только тогда, когда 24 делится на 5», «21 делится на 6 тогда и только тогда, когда 21 делится на 3» ложны.
Высказывания А и В, образующие составное высказывание , могут быть совершенно не связаны по содержанию, например: «три больше двух» ( А ), «пингвины живут в Антарктиде» ( В ). Отрицаниями этих высказываний являются высказывания «три не больше двух» (
), «пингвины не живут в Антарктиде» (
). Образованные из высказываний А и В составные высказывания A
B и
истинны, а высказывания A
и
B ложны.
Итак, нами рассмотрены пять логических операций: отрицание, конъюнкция, дизъюнкция, импликация и эквиваленция.
Импликацию можно выразить через дизъюнкцию и отрицание: А Эквиваленцию можно выразить через отрицание , дизъюнкцию и конъюнкцию : А |
Таким образом, операций отрицания, дизъюнкции и конъюнкции достаточно, чтобы описывать и обрабатывать логические высказывания.
Порядок выполнения логических операций задается круглыми скобками. Но для уменьшения числа скобок договорились считать, что сначала выполняется операция отрицания («не»), затем конъюнкция («и»), после конъюнкции дизъюнкция («или») и в последнюю очередь импликация.
Источник
Примеры решения задач «Формы мышления»
Примеры решения задач «Формы мышления»
Какие из этих предложений являются высказываниями?
1. Москва – столица России
2. Студент математического факультета педагогического университета
3. Треугольник АВС подобен треугольнику А’В’С’
4. Луна есть спутник Марса
5. Кислород – газ
6. Каша – вкусное блюдо
7. Математика – интересный предмет
8. Железо тяжелее свинца
9. Треугольник называется равносторонним, если все его стороны равны
10. Сегодня плохая погода
11. Река Ангара впадает в озеро Байкал
12. Который час?
13. Красиво!
Ответ: 1, 4, 5, 8, 9, 11
Составьте сложное высказывание, используя простые:
А=«Сейчас идет дождь»
В=«Форточка открыта» с помощью логических связок
1. A и B
2. A или не B
3. если A, то B
4. не A и B
5. A тогда и только тогда, когда B
Ответ:
1.Сейчас идет дождь и открыта форточка.
2. Сейчас идет дождь или форточка закрыта.
3. Если сейчас идет дождь, то форточка открыта.
4. Сейчас нет дождя и форточка открыта.
5. Дождь идет тогда и только тогда, когда открыта форточка.
№3
Укажите, какие из высказываний истинны, какие – ложны, а какие относятся к числу тех, истинность которых трудно или невозможно установить:
1. Солнце есть спутник Земли
2. 2+3=4
3. Сегодня отличная погода
4. В романе Л.Н. Толстого «Война и мир» 3 432 536 слов
5. Санкт–Петербург расположен на Неве
6. Музыка Баха слишком сложна
7. Первая космическая скорость равна 7.8 км/сек
8. Железо – металл
9. Если один угол в треугольнике прямой, то треугольник будет тупоугольным
10. Если сумма квадратов двух сторон треугольника равна квадрату третьей, то он прямоугольный
Ответ:
Являются высказываниями: 1–л, 5–и, 8–и, 9–л, 10–и; 4, 7,.
Не являются высказываниями: 2; 3; 6.
Истинность трудно установить: 4;
Можно рассматривать и как истинное, и как ложное (в зависимости от требуемой точности представления): 7
№4
Запишите рядом с высказыванием его вид (общее, частное, единичное):
1.Некоторые мои друзья собирают марки.
2.Все лекарства неприятны на вкус.
3.Некоторые лекарства приятны на вкус.
4.Я — последняя буква в алфавите.
Ответ:
1,3 — частные высказывания;
2 — общее высказывание
4 — частное высказывание
Источник
Высшая математика Мат.
логика и теория множеств
Упражнение. Какие из перечисленных записей являются высказываниями? Какие из высказываний истинны, какие ложны? 1) 17; 2) 125+11=7140; 3) мотоцикл; 4) высокая гора; 5) вдоль дороги; 6) на берегу Черного моря расположен город Сочи; 7) 7>5; 8) 21−7=14; 9) (812−213):20=30; 10) 358-(160+240); 11) 200=250. Вкладчик в начале года часть имевшихся у него денег положил в один банк под 60% годовых… Читать ещё >
Высшая математика Мат. логика и теория множеств ( реферат , курсовая , диплом , контрольная )
Содержание
- Тема 1. Понятия о высказываниях
Упражнение. Какие из перечисленных записей являются высказываниями? Какие из высказываний истинны, какие ложны? 1) 17; 2) 125+11=7140; 3) мотоцикл; 4) высокая гора; 5) вдоль дороги; 6) на берегу Черного моря расположен город Сочи; 7) 7>5; 8) 21−7=14; 9) (812−213):20=30; 10) 358-(160+240); 11) 200=250.
Задачи для самостоятельного решения.
1. Укажите среди следующих предложений высказывания: «Луна спутник Земли»; «Все учащиеся нашей группы любят математику»; «Принеси мне, пожалуйста, книгу»; «Некоторые люди в нашем городе имеют голубые глаза»; «Окружностью называется множество всех точек плоскости, расстояние которых до данной точки этой плоскости имеет одинаковую величину»; «Вы были сегодня в театре?».
2.Установите, какие из предложений являются истинными, а какие ложными высказываниями: а) число 2 меньше числа 0; b) частное от деления числа 7 на 5 равно 0; с) сумма чисел 5 и 3 равна 10; d) существует такое действительно число, что; е) .
Придумайте по 3 истинных и ложных высказывания.
3. Из учебников математики выписать несколько текстовых задач и определить, разбив их на предложения, являются ли эти предложения высказываниями. Определить истинность этих высказываний. Установить, связаны ли высказывания союзами «и», «а», «но», «либо», «или», «если, то».
4. Среди высказываний укажите сложные; выделите в них простые, обозначив каждое из них буквой. Запишите с помощью букв каждое сложное высказывание: а) На уроке математики учащиеся отвечали на вопросы учителя и писали самостоятельную работу; b) Мы пойдем кататься на коньках или на лыжах; с) Если в данном четырехугольнике диагонали имеют равную длину, то этот четырехугольник — ромб; d) -17
Упражнение. Какие из перечисленных записей являются высказываниями? Какие из высказываний истинны, какие ложны? 1) 17; 2) 125+11=7140; 3) мотоцикл; 4) высокая гора; 5) вдоль дороги; 6) на берегу Черного моря расположен город Сочи; 7) 7>5; 8) 21−7=14; 9) (812−213):20=30; 10) 358-(160+240); 11) 200=250.
1) 17 не является высказыванием, т.к. это не повествовательное предложение, более того это слово.
2) Является высказыванием, т.к. относительно этого повествовательного предложения можно говорить, что оно ложно. Это высказывание ложное.
4) Не является высказыванием. Это словосочетание.
6) Это высказывание, причем истинное, т.к. относительно этого повествовательного предложения можно говорить, что оно истинно.
10) Не является высказыванием, а представляет собой числовое выражение, в котором ничего не утверждается.
Оставшиеся примеры рассмотреть самостоятельно.
3) мотоцикл не является высказыванием, т.к. это просто слово;
5) вдоль дороги не является высказыванием, т.к. это словосочетание;
7) 7>5 это высказывание, причем истинное, т.к. число семь действительно больше пяти;
8) 21−7=14 равенство, которое является высказыванием, причем истинное, т.к. данное равенство верно;
9) (812−213):20=30 равенство, которое является высказыванием, причем ложным, т.к. равенство не верно;
11) 200=250 равенство, которое является ложным высказыванием, т.к. не верно.
Задачи для самостоятельного решения.
1. Укажите среди следующих предложений высказывания: «Луна спутник Земли»; «Все учащиеся нашей группы любят математику»; «Принеси мне, пожалуйста, книгу»; «Некоторые люди в нашем городе имеют голубые глаза»; «Окружностью называется множество всех точек плоскости, расстояние которых до данной точки этой плоскости имеет одинаковую величину»; «Вы были сегодня в театре?».
«Луна спутник Земли» — высказывание, т.к. это повествовательное предложение относительно которого можно сказать, что оно истинно;
«Все учащиеся нашей группы любят математику» — высказывание, т.к. это повествовательное предложение относительно которого можно сказать, что истинно оно или ложно;
«Принеси мне, пожалуйста, книгу» — не является высказыванием, т.к. является побудительным предложением;
«Некоторые люди в нашем городе имеют голубые глаза» — высказывание, т.к. это повествовательное предложение относительно которого можно сказать, что истинно оно или ложно;
«Окружностью называется множество всех точек плоскости, расстояние которых до данной точки этой плоскости имеет одинаковую величину» — истинное высказывание;
«Вы были сегодня в театре?» — не является высказыванием, т.к. данное предложение вопросительное и нельзя сказать истинно оно или ложно.
2. Установите, какие из предложений являются истинными, а какие ложными высказываниями: а) число 2 меньше числа 0; b) частное от деления числа 7 на 5 равно 0; с) сумма чисел 5 и 3 равна 10; d) существует такое действительно число, что; е) [17, «https://referat.bookap.info»].
Придумайте по 3 истинных и ложных высказывания.
а) число 2 меньше числа 0 истинное высказывание, т.к. действительно ;
b) частное от деления числа 7 на 5 равно 0 ложное высказывание, т.к. частное от деления: ;
с) сумма чисел 5 и 3 равна 10 ложное высказывание, т.к. 5+3=8;
d) существует такое действительно число, что — истинное высказывание, т.к. уравнение на множестве действительных чисел имеет решение ();
е) — истинное высказывание, т.к. данное равенство верно.
2) квадрат это прямоугольник, у которого две смежные стороны равны;
3) 456 делится на 3;
1) треугольник это многоугольник, у которого все стороны равны;
2) разность чисел 10 и 2 меньше 5;
3) уравнение не имеет корней.
3. Из учебников математики выписать несколько текстовых задач и определить, разбив их на предложения, являются ли эти предложения высказываниями. Определить истинность этих высказываний. Установить, связаны ли высказывания союзами «и», «а», «но», «либо», «или», «если, то».
1. Лыжник проходил каждый следующий виток круговой трассы на одно и то же время дольше, чем предыдущий. На второй и четвертый витки он затратил в сумме 3 мин. 20 с. За какое время лыжник прошел первые пять витков?
«Лыжник проходил каждый следующий виток круговой трассы на одно и то же время дольше, чем предыдущий» — высказывание простое истинное.
«На второй и четвертый витки он затратил в сумме 3 мин. 20 с.» — высказывание простое истинное.
«За какое время лыжник прошел первые пять витков?» — не является высказыванием, т.к. является вопросительным предложением.
2. Если запланированный биржей объем торгов на август увеличить втрое, то суммарный объем торгов в июле и в августе возрастет вдвое. Во сколько раз надо увеличить план на июль, оставив неизменным план на август, чтобы суммарный объем торгов возрос втрое?
«Если запланированный биржей объем торгов на август увеличить втрое, то суммарный объем торгов в июле и в августе возрастет вдвое» — высказывание сложное может быть как истинным, так и ложным.
«Во сколько раз надо увеличить план на июль, оставив неизменным план на август, чтобы суммарный объем торгов возрос втрое?» — не является высказыванием.
3. Вкладчик в начале года часть имевшихся у него денег положил в один банк под 60% годовых, а остальные деньги в другой банк под 40% годовых. Через два года суммарное количество денег на обоих счетах удвоилось. Какую часть денег вкладчик положил в первый банк?
«Вкладчик в начале года часть имевшихся у него денег положил в один банк под 60% годовых, а остальные деньги в другой банк под 40% годовых» — высказывание сложное истинное.
«Через два года суммарное количество денег на обоих счетах удвоилось» — высказывание простое истинное.
«Какую часть денег вкладчик положил в первый банк?» — не является высказыванием.
Источник