Разгадка Перельмана: как Пуанкаре придумал свою гипотезу
29 апреля 1854 года в семье профессора медицины родился величайший французский ученый, математик, физик, астроном и философ Анри Пуанкаре. Наиболее знаменитым достижением его карьеры считается сформулированная в 1904 году гипотеза, доказанная в начале XXI века россиянином Григорием Перельманом.
Пуанкаре причисляют к величайшим математикам всех времен. На пару с Давидом Гильбертом он считается последним ученым-универсалом, способным охватить все математические результаты своей эпохи. За годы карьеры Пуанкаре написал более 500 научных работ. Отец-основатель теории хаоса всегда следовал строгому режиму: он работал два часа утром и два часа вечером, позволяя своему подсознанию в оставшееся время разбираться со сложнейшими задачами концептуального характера.
Лучший юный математик
Пуанкаре с ранних лет демонстрировал уникальные способности, о каких не могли мечтать «простые смертные». При поступлении в лицей его зачислили сразу в девятый класс. Уроженцу Нанси исполнилось тогда лишь восемь лет, однако он буквально шокировал педагогов своими домашними знаниями на собеседовании. Каждый год Пуанкаре неизменно шел лучшим учеником в своей категории.
Венцом детского этапа развития стала победа на конкурсе по элементарной математике: Анри получил признание как лучший юный математик Франции.
В 19 лет он поступил в одно из самых престижных учебных заведений страны — Политехническую школу. Пуанкаре не был скромнягой и не стеснялся вступать в конфликты с преподавателями, чувствуя собственное превосходство. В одном из жарких споров дерзкий юноша разгромил профессора математики, доказав, что тот ошибочно сформулировал вопрос экзамена.
Несостоявшийся инженер
Мировая наука вполне могла и не дождаться прихода гения. После увлечения кристаллографией Пуанкаре решил стать горным инженером. Однажды, работая на шахте в Везуле, он едва не оказался в эпицентре трагедии. Взорвался рудничный газ, унесший жизни 16 шахтеров. Сам Пуанкаре чудом не пострадал. ЧП произвело на него столь серьезное впечатление, что от выбранной уже, казалось, профессии он отказался – и окончательно погрузился в более спокойную математику. Уже в молодости он прославился как специалист высочайшего класса на всю Европу. Пуанкаре доверили вести лекции на факультете наук Парижского университета.
Брат президента
В том же 1881 году, 20 апреля, Пуанкаре сочетался узами брака с Луизой Полен д’Андеси. Впоследствии у них родились сын и три дочери. Если в науке ученый был неподражаем, то в личной жизни мало чем отличался от обычного человека. С раннего детства за ним прочно закрепилась репутация разини. Зато он обладал особо сильным слуховым восприятием, а также необычной способностью цветового восприятия звуков. Эти качества развились у Анри по причине перенесенной в детском возрасте дифтерии, осложнившейся временным параличом ног и мягкого неба. Друзья Пуанкаре отмечали его скромность, остроумие, терпимость, чистосердечность и доброжелательность. Внешне он мог производить впечатление человека замкнутого и малообщительного, но в действительности такое поведение было следствием его застенчивости и постоянной сосредоточенности.
В 1886 году Пуанкаре стал профессором Сорбонны, получил кафедру математической физики и теории вероятностей. Годом позже был избран в Академию наук.
Среди его родственников были и другие одаренные люди. Так, кузен Анри, физик Люсьен Пуанкаре дослужился до генерального инспектора народного просвещения Франции и ректора Парижского университета. А другой двоюродный брат, Раймон, трижды занимал пост премьер-министра, а в 1913-1920 годах являлся президентом Франции. Его срок выпал на тяжелейший для страны период Первой мировой войны.
Гипотеза Пуанкаре
В 1904 году Пуанкаре сформулировал одну из величайших математических головоломок — гипотезу о том, что всякое односвязное компактное трехмерное многообразие без края гомеоморфно трехмерной сфере. Для демонстрации простоты своей трехмерной фигуры он использовал двумерную петлю.
Пространство, согласно Пуанкаре, является «односвязным», если каждую петлю на нем можно стянуть в точку.
Математик задавался вопросом, остается ли это верным в многомерных пространствах. Действительно ли сфера — простейшая форма, или в таких пространствах есть другие односвязные фигуры.
Причем тут Перельман
Доказательство гипотезы не давалось лучшим умам планеты почти век. Лишь 98 лет спустя, в 2002-2003 годах, российский математик Григорий Перельман сумел найти верное решение. Триумфатор воспользовался методом, который он сам назвал «поток Риччи с хирургией». После подтверждения доказательства математическим сообществом в 2006-м гипотеза Пунакаре стала первой и до сих пор остается единственной решенной задачей тысячелетия. Для ученых достижение Перельмана явилось настоящим прорывом.
Гипотеза Пуанкаре может помочь им понять форму Вселенной по мере ее расширения после Большого взрыва.
Сам, Перельман, как известно, отказался от премии в $1 млн, что вызвало недоумение всего мира. Он последователен в своей позиции — категорически не принимает и другие награды, присужденные ему за успехи в научной работе.
Творческий метод
Вклад Пуанкаре в мировую науку не ограничивался одной, пусть и самой гениальной гипотезой. Его математическая деятельность носила междисциплинарный характер, благодаря чему за тридцать с небольшим лет своей напряженной творческой деятельности он оставил фундаментальные труды практически во всех областях математики. Опубликованные Парижской Академией наук работы Пуанкаре составили 11 томов. Это труды по созданной им топологии, автоморфным функциям, теории дифференциальных уравнений, многомерному комплексному анализу, интегральным уравнениям, неевклидовой геометрии, теории вероятностей, теории чисел, небесной механике, физике, философии математики и философии науки.
Во всех разнообразных областях своего творчества ученый получил важные и глубокие результаты.
Творческий метод Пуанкаре опирался на создание интуитивной модели поставленной проблемы: он всегда сначала полностью решал задачи в голове, а затем записывал решение. Пуанкаре обладал феноменальной памятью и мог слово в слово цитировать прочитанные книги и проведенные беседы. Память, интуиция и воображение Пуанкаре даже стали предметом отдельного психологического исследования. Кроме того, он никогда не работал над одной задачей долгое время, считая, что подсознание уже получило задачу и продолжает работу, даже когда он размышляет о других вещах. Свой творческий метод Пуанкаре подробно описал в докладе «Математическое творчество».
Источник
Какая польза от Гипотезы Пуанкаре — Григорий Перельман
Сейчас я вас познакомлю с гипотезы Пуанкаре, которую доказал Перельман. Все об этом говорят: говорят что это большое достижение, действительно большое достижение, но никто не объяснит, а что же собственно доказал и. Сейчас попытаюсь рассказать.
Всякое компактное, трёхмерное, односвязное многообразие без края, гомеоморфно трёхмерной сфере .
Надеюсь вы ничего не поняли. Всё остальное время, я потрачу на то чтобы объяснить о чем идет речь.
Многообразие. Речь идет о пространстве, о неких пространственных объектах, вот представьте себе какой-нибудь кусок резины без дырки, что-то сплошное — кусок глины, без отверстий: не бублик, а вот такой комок. Из этого комочка, не меняя ничего, вы можете из него сделать, например сферу-шар.
Односвязное , то есть любые две точки этого объема, вы можете соединить линией, причём эта линия, что характерно, вот провели вы какую-то линию, а потом стали сгибать ее, как хотите, кончики зафиксировали и стали сгибать и разгибать — не завязывая узлами , изгибаете аккуратненько, не меняя её топологии (это называется) и вы таким образом можете этой линией пройти по всем точкам этой области — это называется односвязная область. Вот если у вас тоже самое в бублике происходит; вот соединили вы линией 2 точки внутри бублика и вы изгибаете, сгибайте, а по по всему бублику она не пробежит — дырка там получается. Нужно вам две такие линии, чтобы все точки в этом бублики охватить, вашим процесс — это называется двух связная область . Было бы две дырки, была бы трех связная область и так далее . Еще хорошее изображение — это кастет с четырьмя отверстиями для пальцев — это четырёх связное, трёхмерное многообразие.
Дак вот, что я хочу сказать, там ещё одно слово есть бескрайнее , то есть без границы . Вот представьте себе землю — это компактное трёхмерное многообразие, но если вы будете интересоваться только тем, что внутри него, не касаясь точек на поверхности, то вот это будет без края .
Ну как вот помните в школе проходили, например: у нас был отрезок от нуля до единицы, включая ноль и включая единицу, и был такой интервал, который не включает нуля и единицу, то есть X больше 0, но меньше единицы.
Всякое может деформировать, но сами понимаете, что из шара-сферы трёхмерного многообразия, можно слепить любую фигуру без дырок. А вот из бублика, резинового или глиняного — не залечивая дырочку и не проделывая ещё.
А тут вот доказано, что он вроде как шар, но без края и вот оказывается из него можно сделать сферу, а сфера это тонкая поверхность, то есть такое двухмерное многообразие, в трехмерном пространстве . Вот это и доказал Перельман.
Вообще-то с точки зрения, так сказать, людей которые математику используют в качестве приложения, таких очень много: информатика, физики и инженеры — им это им никак не поможет в работе, они даже физикам теоретикам, наверное, не поможет. Но другое дело у математиков, у них свой язык.
Вот то чем мы пользуемся — это продукт жизнедеятельности ума математиков. А им для их жизни, это совершенно необходимо. Вот мы от коровы молоко получаемые и пьем его и нам не понять, зачем трава корове, молоко давай, мы в траве ничего не понимаем, мы не едим траву, только молоко и мясо. Так вот этим математикам, он вот такие глупости потребляет (в кавычках конечно), а выдает нам что-то полезно.
Источник
Теорема Пуанкаре – математическая формула «Вселенной». Григорий Перельман. Часть 1 (из серии «Настоящий Человек в науке»)
Анри Пуанкаре (1854-1912), один из величайших математиков, в 1904 г. сформулировал знаменитую идею о деформированной трёхмерной сфере и в виде маленькой заметки на полях, помещённой в конце 65 страничной статьи, посвящённой совершенно другому вопросу, нацарапал несколько строчек довольно странной гипотезы со словами: «Ну этот вопрос может слишком далеко нас завести»…
Маркус Дю Сотой из Оксфордского университета считает, что теорема Пуанкаре — «это центральная проблема математики и физики, попытка понять какой формы может быть Вселенная, к ней очень трудно подобраться».
Раз в неделю Григорий Перельман ездил в Принстон, чтобы принять участие в семинаре «Института углублённых исследований». На семинаре один из математиков Гарвардского университета отвечает на вопрос Перельмана: «Теория Уильяма Тёрстона (1946-2012 гг., математик, труды в области «Трехмерной геометрии и топологии»), получившая название гипотезы геометризации описывает все возможные трёхмерные поверхности и является шагом вперёд по сравнению с гипотезой Пуанкаре. Если Вы докажете предположение Уильяма Тёрстона, то и гипотеза Пуанкаре распахнёт перед Вами все свои двери и более того её решение изменит весь топологический ландшафт современной науки».
Шесть ведущих американских университетов в марте 2003 г. приглашают Перельмана прочесть цикл лекций, разъясняющих его работу. В апреле 2003 г. Перельман совершает научное турне. Его лекции становятся выдающимся научным событием. В Принстоне послушать его приезжают Джон Болл (председатель международного математического союза), Эндрю Уайлз (математик, работы в области арифметики эллиптических кривых, доказал теорему Ферма в 1994 г.), Джон Нэш (математик, работающий в области теории игр и дифференциальной геометрии).
Григорию Перельману удалось решить одну из семи задач тысячелетия и математически описать так называемою формулу Вселенной, доказать гипотезу Пуанкаре. Над этой гипотезой наиболее светлые умы бились более 100 лет, и за доказательство которой мировым математическим сообществом (математическим институтом имени Клэя) был обещан $1 млн. Её вручение прошло 8 июня 2010 г. Григорий Перельман не появился на ней, и у мирового математического сообщества «поотпадали челюсти».
В 2006 году за решение гипотезы Пуанкаре математику была присуждена высшая математическая награда — Филдсовская премия (медаль Филдса). Джон Болл лично посетил Санкт-Петербург с тем, чтобы уговорить принять премию. Её он принять отказался со словами: «Общество вряд ли способно всерьёз оценить мою работу».
«Филдсовская премия (и медаль) вручается один раз в 4 года на каждом международном математическом конгрессе молодым учёным (моложе 40 лет), внёсшим заметный вклад в развитие математики. Помимо медали награждённым вручается 15 тыс. канадских долларов ($13 000)»
В исходной формулировке гипотеза Пуанкаре звучит следующим образом: «Всякое односвязное компактное трёхмерное многообразие без края гомеоморфно трёхмерной сфере». В переводе на общедоступный язык, это означает, что любой трёхмерный объект, например, стакан можно преобразовать в шар путём одной только деформации, то есть его не нужно будет ни разрезать, ни склеивать. Иными словами, Пуанкаре предположил, что пространство не трёхмерно, а содержит значительно большее число измерений, а Перельман спустя 100 лет математически это доказал.
Выражение Григория Перельмана теоремы Пуанкаре о преобразовании материи в другое состояние, форму имеет сходство со знаниями, изложенными в книге Анастасии Новых «Сэнсэй IV»: «По факту, вся эта бесконечная для нас Вселенная занимает место в миллиарды раз меньше, чем кончик самой тонкой медицинской иглы» [3]. А также возможностью управления материальной Вселенной путём преобразований, вносимых Наблюдателем из контролирующих измерений выше шестого (с 7 по 72 включительно) (доклад «ИСКОННАЯ ФИЗИКА АЛЛАТРА» тема «Эзоосмическая решётка»). [1]
Григория Перельмана отличали аскетичность жизни, суровость предъявляемых как себе, так и к другим этических требований. Глядя на него складывается ощущение, что он только телесно проживает в общем со всеми остальными современниками пространстве, а Духовно в каком-то ином, где даже за $1 млн. не идут на самые «невинные» компромиссы с Совестью. И что это за пространство такое, и можно ли хоть краешком глаза посмотреть на него.
Исключительная важность гипотезы, выдвинутой около века назад математиком Пуанкаре, касается трёхмерных структур и является ключевым элементом современных исследований основ мироздания. Загадка эта, по мнению специалистов института Клэя, одна из семи принципиально важных для развития математики будущего.
Перельман, отвергая медали и премии спрашивает: «А зачем они мне? Они мне совершенно ни к чему. Каждому понятно, если доказательство правильное, то никакого другого признания уже не требуется. Пока во мне не развилась подозрительность, у меня был выбор, либо сказать вслух о дезинтеграции математического сообщества в целом, в связи с его низким моральным уровнем, либо ничего не сказать и позволить обращаться с собой, как с быдлом. Теперь же, когда я стал более чем подозрительным, я не могу оставаться быдлом и продолжать молчать, поэтому мне остаётся только уйти».
Для того чтобы заниматься современной математикой нужно иметь тотально чистый ум, без малейшей примеси, которая дезинтегрирует его, дезориентирует, подменяет ценности, и принять эту премию означает продемонстрировать слабость. Идеальный учёный занимается только наукой, не заботится больше ни о чём (власть и капитал), у него должен быть чистый ум, а для Перельмана нет большей важности, чем жить в соответствии с этим идеалом. Полезно ли для математики вся эта затея с миллионами, и нужен ли настоящему учёному такой стимул? И это желание капитала купить и подчинить себе всё в этом мире разве не оскорбительно? Или можно продать свою чистоту за миллион? Деньги, сколько бы там их ни было, эквивалентны истине Души? Ведь мы имеем дело с априорной оценкой проблем, к которым деньги просто не должны иметь отношения, разве не так?! Делать же из всего этого что-то вроде лото-миллион, или тотализатор, значит потакать дезинтеграции научного, да и человеческого сообщества в целом (см. доклад «ИСКОННАЯ ФИЗИКА АЛЛАТРА» [1] и в книге «АллатРа» [2] последние 50 страниц о пути построения созидательного общества). И денежные средства (энергия), которые бизнесмены готовы отдавать на науку, если и надо использовать, то корректно, что ли, не унижая Дух подлинного служения, как ни верти, неоценимого денежным эквивалентом: «Что такое миллион, по сравнению, с чистотой, или Величием тех сфер (об измерениях глобальной Вселенной и о Духовном мире см. книгу « АллатРа » [2] и доклад «ИСКОННАЯ ФИЗИКА АЛЛАТРА» [1]), в которые не способно проникнуть даже человеческое воображение (ум)?! Что такое миллион звёздного неба для времени?!».
Приведем толкование остальных терминов, фигурирующих в формулировке гипотезы [4]:
— Топология — (от греч. topos — место и logos — учение) — раздел математики, изучающий топологические свойства фигур, т.е. свойства, не изменяющиеся при любых деформациях, производимых без разрывов и склеиваний (точнее, при взаимно однозначных и непрерывных отображениях). Примерами топологических свойств фигур являются размерность, число кривых, ограничивающих данную область, и т.д. Так, окружность, эллипс, контур квадрата имеют одни и те же топологические свойства, т.к. эти линии могут быть деформированы одна в другую описанным выше образом; в то же время кольцо и круг обладают различными топологическими свойствами: круг ограничен одним контуром, а кольцо — двумя.
— Гомеоморфизм (греч. ομοιο — похожий, μορφη — форма) – взаимно однозначное соответствие между двумя топологическим пространствами, при котором оба взаимно обратных отображения, определяемые этим соответствием, непрерывны. Эти отображения называют гомеоморфными, или топологическими отображениями, а также гомеоморфизмами, а о пространствах говорят, что они принадлежат одному топологическому типу называются гомеоморфными, или топологически эквивалентными.
— Трёхмерное многообразие без края. Это такой геометрический объект, у которого каждая точка имеет окрестность в виде трёхмерного шара. Примерами 3-многообразий может служить, во-первых, всё трехмерное пространство, обозначаемое R3 , а также любые открытые множества точек в R3 , к примеру, внутренность полнотория (бублика). Если рассмотреть замкнутое полноторие, т.е. добавить и его граничные точки (поверхность тора), то мы получим уже многообразие с краем – у краевых точек нет окрестностей в виде шарика, но лишь в виде половинки шарика.
— Полното́рие (полното́рий) — геометрическое тело, гомеоморфное произведению двумерного диска и окружности D 2 * S 1 . Неформально, полноторие — бублик, тогда как тор — только его поверхность (пустотелая камера колеса).
— Односвязное. Оно означает, что любую непрерывную замкнутую кривую, расположенную целиком в пределах данного многообразия, можно плавно стянуть в точку, не покидая этого многообразия. Например, обычная двумерная сфера в R3 односвязна (кольцевую резинку, как угодно приложенную к поверхности яблока, можно плавной деформацией стянуть в одну точку, не отрывая резинки от яблока). С другой стороны, окружность и тор неодносвязны.
— Компактное. Многообразие компактно, если любой его гомеоморфный образ имеет ограниченные размеры. Например, открытый интервал на прямой (все точки отрезка, кроме его концов) некомпактен, так как его можно непрерывно растянуть до бесконечной прямой. А вот замкнутый отрезок (с концами) является компактным многообразием с краем: при любой непрерывной деформации концы переходят в какие-то определённые точки, и весь отрезок обязан переходить в ограниченную кривую, соединяющую эти точки.
Источник