Модель однородной изотропной вселенной фридмана

Вселенная Фридмана

Геометрия однородной изотропной Вселенной — это геометрия однородного и изотропного трёхмерного многообразия. Метрикой таких многообразий является метрика Фридмана-Робетсона-Уокера (FWT) [5] :

χ — так называемое сопустствующие расстояние или конформное, не зависящее от времени, t — время в единицах скорости света.

Существуют всего три типа трёхмерных многообразий: трёхмерная сфера, трёхмерная гиперсфера и трёхмерная плоскость.

• Метрика на трёхмерной плоскости даётся простым выражением:

• Чтоб задать метрику трёхмерной сферы необходимо ввести 4-мерное евклидово пространство:

и добавить уравнение сферы:

• Гиперсферическая метрика уже определяется в 4-мерном пространстве Минковского:

И точно так же, как для сферы, нужно добавить уравнение гиперболоида:

FWT метрика не что иное, как сведение всех вариантов воедино и приложение к пространству-времени.

Или в тензорной записи:

, где компоненты метрического тензора равны: ,

где пробегают значения 1…3, , а — временная координата.

Основные уравнения [ править | править код ]

Если же выражение для метрики подставить в уравнения ОТО для идеальной жидкости, то получим следующую систему уравнений:

Запишем полевые уравнения Эйнштейна в следующей форме:

,

где R_μν — тензор Риччи:

,

a S_μν записывается в терминах энергии импульса:

Т.к. в метрике Фридмана-Робертсона-Уокера все афинные связности с двумя или тремя временными индексами обнуляются, то

,

Подставим в ненулевые компоненты тензора Риччи выражения для символов Кристофеля:

,

где — чисто пространственный тензор Риччи:

Из всех тех же соотношений для выбранной метрики:

Тогда, в точке x=0 чисто пространственный тензор Риччи равен:

Но в точке x=0 метрика это просто δ_ij , т.е. в начале координат имеется следующее соотношение двух три-тензоров:

И в силу однородности метрики Фридмана-Робетсона-Уокера это соотношение справедливо при любом преобразовании координат, т.е. соотношение выполняется во всех точках пространства, тогда можно записать:

Компоненты тензора энергии-импульса в нашей метрике будут следующими:

,

После подстановки уравнения Эйнштена примут вид:

Для перехода к уравнениям с Λ-членом необходимо произвести подстановку:

И после элементарных преобразований приходим к итоговому виду.

Уравнение неразрывности следует из условия ковариантного сохранения тензора энергии-импульса:

Полагая здесь ν=0 :

Явно запишем ненулевые компоненты тензора энергии-импульса:

подставив эти значения и воспользовавшись выражениями для символов кристофеля в FWT-метрике придем к конечному виду уравнения.

• Уравнение энергии

• Уравнение движения

• Уравнение неразрывности

где Λ — космологическая постоянная, ρ — средняя плотность Вселенной, P — давление, с — скорость света.

Приведенная система уравнений допускает множество решений, в зависимости от выбранных параметров. На самом деле значение параметров фиксированы только на текущий момент и с течением времени эволюционируют, поэтому эволюцию расширения описывает совокупность решений. [5]

Объяснение закона Хаббла [ править | править код ]

Допустим есть источник, расположенный в сопутствующей системе на расстоянии r₁ от наблюдателя. Приемная аппаратура наблюдателя регистрирует фазу приходящей волны. Рассмотрим два интервала между точками с одной и той же фазой [5] :

С другой стороны для световой волны в принятой метрике выполняется равенство:

Проинтегрировав это уравнение получим:

Учитывая что в сопутствующих координатах r не зависит от времени, и малость длины волны относительно радиуса кривизны Вселенной, получим соотношение:

Если теперь его подставить в первоначальное соотношение:

Разложим a(t) в ряд Тейлора с центром в точке a(t₁) и учтем члены только первого порядка:

После приведения членов и домножения на c :

Соответственно, константа Хаббла:

Следствия [ править | править код ]

Определение кривизны пространства. Понятие критической плотности [ править | править код ]

Подставив в уравнение энергии выражение для постоянной Хаббла, приведем его к виду:

,

где
плотность вещества и темной энергии, отнесенная к критической, сама критическая плотность и вклад кривизны пространства соответственно. Если переписать уравнение следующим образом

,

то станет очевидно, что:

\rho _\end>>»/>

Эволюция плотности вещества. Уравнение состояния. [ править | править код ]

Подставив в уравнение неразрывности уравнение состояния в виде

(1)

Получим его решение:

Для разных случаев эта зависимость выглядит по-разному:

Случай холодного вещества (например пыль) p = 0

Случай горячего вещества (например излучение) p = ρ/3

Случай энергии вакуума p = -ρ

Благодаря этому, влиянием Ω_k на ранних этапах можно пренебречь, т.е. считать Вселенную плоской (т.к. k=0 . Одновременно, разная зависимость плотности компонентов от масштабного фактора позволяет выделить различные эпохи, когда расширение определяется только тем или иным компонентом, представленных в таблице.

Также стоить отметить, что если ввести некую квинтэссенция из плотностей темной энергии и плотность барионной и принять, что оно подчиняется выражению (1), то пограничным значением является

При превышении этого параметра расширение замедляется, при меньшем — ускоряется.

Динамика расширения [ править | править код ]

В случае, если космологическая постоянная равна нулю, то эволюция при заданном значении H₀ целиком и полностью зависит от начальной плотности вещества [5] :

Если , то расширение продолжается бесконечно долго, в пределе с асимптотически стремящейся к нулю скоростью. Если плотность больше критической, то расширение Вселенной тормозится и сменяется сжатием. Если меньше, то расширение идёт неограниченно долго с ненулевым пределом H.

Если Λ>0 и k≤0, то Вселенная монотонно расширяется, но в отличие от случая с Λ=0 при больших значениях R скорость расширения растёт [8] :

При k=1 выделенным значением является . В этом случае существует такое значение R, при котором и , то есть Вселенная статична.

При Λ>Λ_c скорость расширения убывает до какого-то момента, а потом начинает неограниченно возрастать. Если Λ незначительно превышает Λ_c, то на протяжении некоторого времени скорость расширения остаётся практически неизменной.

ΛCDM — это современная модель расширения, являющаяся моделью Фридмана, включающая в себя помимо барионной материи, темную материю и темную энергию

Возраст Вселенной [ править | править код ]

Теоретическое описание [ править | править код ]

Время с начала расширения, называемая также возрастом Вселенной [11] определяется следующим образом:

С учетом эволюции плотности запишем общую плотность в следующем виде:

Подставив это в уравнение энергии, получим искомое выражение

Наблюдательные подтверждения сводятся к подтверждению самой модели расширения с одной стороны и предсказываемой ею моменты начала различных эпох, а с другой, чтоб возраст самых старых объектов не превышал получающийся из модели расширения возраст всей Вселенной.

Данные наблюдений [ править | править код ]

Не существует прямых измерений возраста Вселенной, все они измеряются косвенно. Все методы можно разделить на две категории [12] :

Определение возраста на основе моделей эволюции у самых старых объектов: старых шаровых скоплений и белых карликов. В первом случае метод основан на факте, что звезды в шаровом скоплении все одного возраста, опираясь на теорию звёздной эволюции, строятся изохроны на диаграмме «цвет — звёздная величина», то есть кривые равного возраста для звёзд различной массы. Сопоставляя их с наблюдаемым распределением звёзд в скоплении, можно определить его возраст. Метод имеет ряд своих трудностей. Пытаясь их решить, разные команды, в разное время получали разные возраста для самых старых скоплений, от

8 млрд лет [13] , до

25 млрд лет [14] . Белые карлики имеют приблизительно одинаковую массу звёзд-предшественниц, а значит — и приблизительно одинаковую зависимость температуры от времени. Определив по спектру белого карлика его абсолютную звёздную величину на данный момент и зная зависимость время—светимость при остывании, можно определить возраст карлика [15] Однако данный подход связан как с большими техническими трудностями, — белые карлики крайне слабые объекты, — необходимо крайне чувствительные инструменты, чтоб их наблюдать. Первым и пока единственным телескопом, на котором возможно решение данной задачи является космический телескоп им. Хаббла. Возраст самого старого скопления по данным группы, работавшей с ним: млрд лет [15] , однако, результат оспаривается. Оппоненты указывают, что не были учтены дополнительные источники ошибок, их оценка млрд лет [16] .

Ядерный метод. В его основе лежит тот факт, что разные изотопы имеют разный период полураспада. Определяя текущие концентрации различных изотопов у первичного вещества можно определить возраст элементов в нее входящих. Так у звезды CS31082-001, принадлежащей звёздному населению типа II, были обнаружены линии и измерены концентрации в атмосфере тория и урана. Эти два элемента имеют различный период полураспада, поэтому со временем их соотношение меняется, и если как-то оценить первоначальное соотношение обильностей, то можно определить возраст звезды. Оценить можно двояким способом: из теории r-процессов, подтверждённой как лабораторными измерениями, так и наблюдениями Солнца; или можно пересечь кривую изменения концентраций за счёт распада и кривую изменения содержания тория и урана в атмосферах молодых звёзд за счёт химической эволюции Галактики. Оба метода дали схожие результаты: 15,5±3,2 [17] млрд лет получены первым способом, [18] млрд лет — вторым.

Виды расстояний. [ править | править код ]

Сравнение кривых для различных видов расстояний

Теоретическое описание [ править | править код ]

В космологии на больших расстояниях непосредственно измеряемых величин всего три — звездная величина, характеризующая блеск, угловой размер и красное смещение. Поэтому, для сравнения с наблюдениями вводятся две зависимости:

• Угловой размер от красного смещения, называемого угловым расстоянием:

D — собственный размер объекта перпендикулярно к лучу зрения, Δθ — видимый угловой размер. Рассмотрим метрику в сферических координатах:

Размер объекта много меньше расстояния до него, поэтому:

.

Вследствие малости углового размера dΩ можно принять равным Δθ . Перейдя в метрику текущего момента времени получим конечное выражение

Поток излучения от некоторого источника уменьшается из-за геометрического фактора (), вторым фактором является уменьшение длины фотона в раз и третий фактор — уменьшения частоты прихода отдельных фотонов из-за растяжения времени, также в раз. В итоге получаем для интегрального потока:

После чего путем простых преобразований получаем исходный вид

Также в научно-популярной литературе можно встретить еще три вида расстояний: расстояние между объектами на текущей момент, расстояние между объектами на момент испускания принятого нами света и расстояние, которое прошел свет.

Данные наблюдений [ править | править код ]

Для измерения фотометрического расстояния необходим источник известной светимости, так называемая стандартная свеча. Для космологических масштабов в качестве таковой берутся сверхновые типа Ia. Они возникают как следствие термоядерного взрыва белого карлика приблизившегося к пределу Чандрасекара.

Сфера Хаббла. Горизонт частиц. Горизонт событий [ править | править код ]

Также преимущественно в научно-популярной литературе используется термин «сфера Хаббла» — это сфера чей радиус равен расстоянию при котором скорость убегания равна скорости света. [19] [20]

См. также [ править | править код ]

Примечания [ править | править код ]

1. ↑ Friedmann, A: Über die Krümmung des Raumes (О кривизне пространства), Z. Phys. 10 (1922) 377—386.
2. ↑ Friedmann, A: Über die Möglichkeit einer Welt mit konstanter negativer Krümmung des Raumes (О возможности Вселенной с постоянной отрицательной кривизной пространства), Z. Phys. 21 (1924) 326—332.
3. ↑Фок В.А. (1963). «Работы А. А. Фридмана по теории тяготения Эйнштейна». УФНLXXX (3): 353–356. Retrieved on 2012-07-04.
4. ↑ О непопулярности моделей с космологической постоянной красноречиво говорит тот факт, что Вайнберг в своей книге «Космология и гравитация» (на русском языке издана в 1975 году) параграф о моделях с космологической постоянной относит в раздел вместе с наивными моделями и моделями стационарной Вселенной, отводя на описание 4 страницы из 675.
5. ↑ 5,05,15,25,3
   • А.В. Засов.,К.А. Постнов. Общая Астрофизика. — Фрязино: Век 2, 2006. — С. 421-432. — 496 с. — ISBN 5-85099-169-7. (см. ISBN )
   • Д.С. Горбунов, В.А. Рубаков. Введение в теорию ранней Вселенной: Теория горячего Большого взрыва.. — Москва: ЛКИ, 2008. — С. 45-80. — 552 с. — ISBN 978-5-382-00657-4. (см. ISBN )
   • Стивен Вайнберг. Космология. — Москва: УРСС, 2013. — С. 21-81. — 608 с. — ISBN 978-5-453-00040-1. (см. ISBN )
6. ↑Стивен Вайнберг. Космология. — Москва: УРСС, 2013. — С. 57-59. — 608 с. — ISBN 978-5-453-00040-1. (см. ISBN )
7. ↑Д.С. Горбунов, В.А. Рубаков. Введение в теорию ранней Вселенной: Теория горячего Большого взрыва.. — Москва: ЛКИ, 2008. — С. 63. — 552 с. — ISBN 978-5-382-00657-4. (см. ISBN )
8. ↑ 8,08,1Майкл Роуэн-Робинсон. Космология = Cosmology / Перевод с английского Н.А. Зубченко. Под научной редакцией П.К. Силаева. — М.-Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2008. — С. 96-102. — 256 с. — ISBN 976-5-93972-659-7. (см. ISBN )
9. ↑Jarosik, N., et.al. (WMAP Collaboration).Seven-Year Wilkinson Microwave Anisotropy Probe (WMAP) Observations: Sky Maps, Systematic Errors, and Basic Results (PDF). nasa.gov. Проверено 4 декабря 2010.Архивировано из первоисточника 16 августа 2012. (from NASA’s WMAP Documents page)
10. ↑ Planck Collaboration Planck 2013 results. XVI. Cosmological parameters.
11. ↑Астронет > Вселенная
12. ↑Donald D. Clayton.COSMOLOGY, COSMOCHRONOLOGY.
13. ↑ Gratton Raffaele G., Fusi Pecci Flavio, Carretta Eugenio и др Ages of Globular Clusters from HIPPARCOS Parallaxes of Local Subdwarfs. — 1997.
14. ↑ Peterson Charles J. Ages of globular clusters. — 1987.
15. ↑ 15,015,1 Harvey B. Richer et al. Hubble Space Telescope Observations of White Dwarfs in the Globular Cluster M4. — 1995.
16. ↑ Moehler S, Bono G. White Dwarfs in Globular Clusters. — 2008.
17. ↑ Schatz Hendrik, Toenjes Ralf, Pfeiffer Bernd Thorium and Uranium Chronometers Applied to CS 31082-001. — 2002.
18. ↑ N. Dauphas URANIUM-THORIUM COSMOCHRONOLOGY. — 2005.
19. ↑Сергей Попов.Сверхсветовое разбегание галактик и горизонты Вселенной: путаница в тонкостях.
20. ↑ TM Davis & CH Linewater Expanding Confusion: common misconceptions of cosmological horizons and the superluminal expansion of the universe. — 2003.

Ссылки [ править | править код ]

Выделить Вселенная Фридмана и найти в:

1. Вокруг светаФридмана адрес
2. АкадемикФридмана/ru/ru/ адрес
3. Астронетадрес
4. ЭлементыФридмана+&search адрес
5. Научная РоссияФридмана&mode=2&sort=2 адрес
6. КругосветФридмана&results_per_page=10 адрес
7. Научная Сеть
8. Традиция — адрес
9. Циклопедия — адрес
10. Викизнание — Фридмана адрес

1. Google
2. Bing
3. Yahoo
4. Яндекс
5. Mail.ru
6. Рамблер
7. Нигма.РФ
8. Спутник
9. Google Scholar
10. Апорт
11. Онлайн-переводчик
12. Архив Интернета
13. Научно-популярные фильмы на Яндексе
14. Документальные фильмы

1. Список ru-вики
2. Вики-сайты на русском языке
3. Список крупных русскоязычных википроектов
4. Каталог wiki-сайтов
5. Русскоязычные wiki-проекты
6. Викизнание:Каталог wiki-сайтов
7. Научно-популярные сайты в Интернете
8. Лучшие научные сайты на нашем портале
9. Лучшие научно-популярные сайты
10. Каталог научно-познавательных сайтов
11. НАУКА В РУНЕТЕ: каталог научных и научно-популярных сайтов