Определите период обращения вокруг солнца малой планеты аполлона

Сборник задач по астрономии (стр. 7 )

Рис. 4. Эллиптическая орбита

Радиус-вектор r планеты определяется уравнением эллипса

(34)

и меняется в пределах от перигельного расстояния

когда истинная аномалия θ=0°, до афелийного расстояния

Средним расстоянием планеты от Солнца является большая полуось ее орбиты

(37)

Расстояния между планетами и расстояния планет от Солнца обычно выражаются в астрономических единицах (а. е.), но иногда и в километрах из расчета, что 1 а. е. = 149,6·106 км.

Звездные, или сидерические, периоды обращения Т1 и Т2 двух планет связаны с их средними расстояниями а1 и а2 от Солнца третьим законом Кеплера

(38)

Если Τ дается в годах и а — в астрономических единицах, то, принимая для Земли T0 = 1 год и а0 = 1 а. е., получим для любой планеты

Средняя орбитальная, или круговая, скорость планеты

(40)

всегда выражается в км/с. Так как обычно а задается в астрономических единицах (1 а. е.= 149,6·106 км) и T— в годах (1 год=31,56·106 с), то

Заменив Τ из формулы (39), получим:

средняя продолжительность синодического периода обращения S планеты связана с сидерическим периодом Τ уравнением синодического движения:

для верхних планет

для нижних планет

где Т0 — сидерический период обращения Земли, равный 1 звездному году.

Средний синодический период обращения позволяет вычислить примерную дату t2 очередного наступления определенной конфигурации планеты по известной дате t1 такой же конфигурации, так как

Любые планетные конфигурации и даты их наступления могут быть вычислены по гелиоцентрической долготе l планет, отсчитываемой в плоскости эклиптики от точки весеннего равноденствия γ в прямом направлении, т. е. против вращения часовой стрелки. Пусть в некоторый день года t1 гелиоцентрическая долгота верхней планеты l1 а гелиоцентрическая долгота Земли l01 (рис. 5). Планета за средние сутки проходит по орбите дугу ω = 360°/T (среднее суточное движение планеты), а Земля — дугу ω0=360°/T0 (среднее суточное движение Земли), где Τ и Т0 выражены в средних сутках, причем Т > Т0 и ω α0 = 1 а. е., то планета верхняя и поэтому ее синодический период обращения S вычисляется по формуле (43) при T0=1 году:

S =T/(T-1) = 5,51/(5,51-1); S = 1,22 года.

Формула (41) дает круговую скорость

va=29,8/√a=29,8/√3,12; va= 16.9 км/с.

Пример 2. Определить гелиоцентрическую долготу Земли и планет 21 марта, если в этот день Меркурий находился в верхнем соединении с Солнцем, Венера — в наибольшей западной элонгации (Δλ = 47°) и Марс —в противостоянии.

Данные: Меркурий, Δλ=0°; Венера, Δλ = 47°; Марс, Δλ = 180°.

Рис. 6. Конфигурации планет

Решение. На чертеже (рис. 6) изображаем орбиты планет концентрическими окружностями с центром в Солнце, из которого проводим луч, показывающий направление на точку весеннего равноденствия γ. Так как 21 марта Солнце с Земли видно в точке весеннего равноденствия γ, то Земля (з) находится в диаметрально противоположной точке своей орбиты, и ее гелиоцентрическая долгота lо = 180°. Меркурий (М) изображаем в верхнем соединении (за Солнцем), и его гелиоцентрическая долгота lм = 0°. Венера (В) находится в наибольшей западной элонгации и поэтому проводим с Земли касательную к орбите Венеры вправо (к западу) ог Солнца. Гелиоцентрическая долгота Венеры

lв= 180°+ (90°—Δλ) =270°-47°=223°.

У Марса (Мс), находящегося в противостоянии, гелиоцентрическая долгота lМс=180°.

Пример 3. Верхнее соединение Меркурия произошло 18 апреля 1975 г. Когда примерно наступит ближайшая наибольшая западная элонгация планеты (Δλ=22°), если среднее суточное движение Меркурия ω=4°,09, а Земли ω0=0°,99?

Данные: Меркурий, t1=18.IV.1975 г., Δλ=22°, ω = 4°,09; Земля, ω0=0°,99.

Решение. Меркурий движется быстрее Земли (ω>ω0). Изобразим на чертеже (рис. 7) Землю и расположения Меркурия относительно нее в день t1 верхнего соединения (M1) и в день t2 очередной наибольшей западной элонгации (M2). За промежуток времени Δt = t2—t1 Меркурий пройдет дугу L=M1M2 со средним суточным движением Δω = ω—ω0 = 4°,09—0°,99 = 3°,10. Из чертежа видно, что

L = 180°+ (90°—Δλ) = 270°—22° = 248°.

Тогда, согласно формуле (47),

Рис. 7. Относительный путь Меркурия и очередная наибольшая западная элонгация Меркурия наступит вблизи t2 = 18.IV.1975 г. + 80 сут = 98.IV.1975 г. или t2 = 7 июля 1975 г.

Задача 115. Вычислить перигельное и афелийное расстояния планет Сатурна и Нептуна, если их средние расстояния от Солнца равны 9,54 а. е. и 30,07 а. е.,а эксцентриситеты орбит— 0,054 и 0,008.

Задача 116. Какая из двух планет — Нептун (а = 30,07 а. е., e = 0,008) или Плутон (а = 39,52 а. е., е=0,253) — подходит ближе к Солнцу? В скобках даны большая полуось и эксцентриситет орбиты планеты.

Задача 117. Найти значения истинной аномалии планеты, при которых ее радиус-вектор равен среднему гелиоцентрическому расстоянию.

Задача 118. Найти эксцентриситет орбиты и перигельное расстояние планеты Марса и астероида Адониса, если у Марса большая полуось орбиты равна 1,52 а. е. и наибольшее расстояние от Солнца 1,66 а. е., а у Адониса соответственно 1,97 а. е. и 3,50 а. е. Указать, какая из этих двух планет подходит ближе к Солнцу.

Задача 119. На каком среднем и наибольшем гелиоцентрическом расстоянии движутся малые планеты Икар и Симеиза, если у Икара перигельное расстояние и эксцентриситет орбиты равны 0,187 а. е. и 0,827, а у Симеизы — 3,219 а. е. и 0,181? У какой из этих планет радиус-вектор изменяется в больших пределах, абсолютно и относительно?

Задача 120. Вычислить периоды обращения вокруг Солнца планеты Венеры и астероида Европы, у которых средние гелиоцентрические расстояния соответственно равны 0,723 а. е. и 3,10 а. е.

Задача 121. Определить периоды обращения вокруг Солнца малой планеты Аполлона и кометы Икейи, если обе они проходят вблизи Солнца почти на одинаковых расстояниях, равных у Аполлона 0,645 а. е., а у кометы 0,633 а. е., но их орбиты имеют эксцентриситеты 0,566 и 0,9933 соответственно.

Задача 122. Первый спутник планеты Юпитера — Ио обращается вокруг нее за 42ч28м на среднем расстоянии в 421 800 км. С какими периодами обращаются вокруг Юпитера его спутники Европа и Ганимед, большие полуоси орбит которых равны 671,1 тыс. км и 1070 тыс. км?

Задача 123. Найти средние расстояние от Сатурна его спутников Мимаса и Реи, обращающихся вокруг планеты с периодами в 22ч37м и 4д,518. Самый крупный спутник планеты — Титан, обращается за 15д,945 по орбите с большой полуосью в 1221 тыс. км

Задача 124. Видимое с Земли суточное смещение Солнца по эклиптике в начале января достигает наибольшего значения 61′, а в начале июля — наименьшего значения 57′. Вычислить эксцентриситет земной орбиты и указать, какие ее точки Земля проходит в эти дни.

Задача 125. Астероид Фортуна сближается с Землей до расстояния в 1,056 а. е., а астероид Офелия — до 1,716 а. е. Их средние гелиоцентрические расстояния соответственно равны 2,442 а. е. и 3,129 а. е. Найти эксцентриситеты орбит этих астероидов, их перигельиое и афелийное расстояния. Орбиту Земли считать окружностью, а наклонениями орбит астероидов (1°,5 и 2°,5) пренебречь.

Источник