Школьные мифы. «В геометрии Лобачевского параллельные линии пересекаются»
Привет, любители математики!
Не забывайте ставить лайки и подписываться, если этого еще не сделали!
Насколько мне известно, геометрию Лобачевского не сильно жалуют, особенно в школьном курсе. Оно и не удивительно, если попытаться немножечко в нее погрузиться, можно вывернуть свои мозги наизнанку и они при этом так и не пересекутся с пониманием того, как там все устроено.
Если говорить о себе, то я прекрасно помню, как нам учитель математики рассказывала о параллельных прямых. Не то чтобы дословно и ясно, но хорошо запомнилось, что в конце урока, она добавила:
В школьном курсе, мы с Вами будем изучать только геометрию Евклида, но есть и другая геометрия, геометрия Лобачевского, и там, параллельным прямые пересекаются.
Как-то так это звучало, конечно, для юных умов — это непостижимо! Как так! Если прямые параллельны, то они параллельны. Но учитель парировала, что вроде как Вселенная огромна и представляет собой типа сферу, и некогда параллельные прямые, сделав полный оборот вокруг Вселенной, пересекутся. Это — вроде как и не проверишь, и не опровергнешь.
Оно было здорово и интересно, но не из геометрии Лобачевского . как оказалось лет 15 спустя. Лично для меня естественно. Если точнее, то ее просто не правильно интерпретировали.
Вообще, если говорить о истории, то математикам не давал покоя именно пятый постулат Евклидовой геометрии. В упрощенном варианте, который нам преподают, он гласит следующее:
Через одну и ту же точку нельзя провести двух параллельных прямых, параллельных данной
Источник
Когда пересекаются параллельные прямые?
От кого только не услышишь, что параллельные прямые якобы могут пересекаться в геометрии Лобачевского! Часто этим грешат, например, журналисты. Политики и политологи тоже иногда повторяют эту чушь. К сожалению, бывает, что к ним присоединяются даже учёные (правда, не математики).
Из одной научно-популярной книжки по химии:
А однажды про пересечение параллельных прямых в геометрии Римана я услышал в лекции известного российско-американского учёного астрофизика, что совсем уж не простительно.
К сожалению, и на Яндекс Дзене есть безграмотные статьи, в которых утверждается, что параллельные прямые могут пересекаться в неевклидовой геометрии.
Развеем это заблуждение.
Кто учился в школе, тот изучал евклидову геометрию и хорошо должен знать, что параллельными прямыми называются такие прямые, лежащие в одной плоскости, которые не пересекаются .
Всё. Точка. Параллельные прямые в евклидовой геометрии не могут пересекаться, иначе их нельзя будет назвать параллельными!
Кроме изучаемой в средней школе евклидовой геометрии — геометрии неискривлённого пространства (с нулевой кривизной или «плоского»), есть неевклидовы геометрии — искривлённого пространства: геометрия Лобачевского — пространства с отрицательной кривизной и геометрия Римана — пространства с положительной кривизной.
В этих геометриях параллельные прямые — это те же самые параллельные прямые, что и в геометрии Евклида, то есть не пересекаются по определению . Запомните это раз и навсегда!
Откуда же тогда пошло заблуждение, что в неевклидовых геометриях параллельные прямые пересекаются? Причину можно выразить словами: Слышал звон, да не знаю, где он.
Да. В геометрии Лобачевского и геометрии Римана «не всё в порядке» с параллельностью прямых, но отличие от геометрии Евклида состоит вовсе не в том, что параллельные прямые вдруг сошли с ума и стали пересекаться. Нет! Они как не пересекались, так и не пересекаются.
Дело в другом. Потерпите ещё немного, и я всё расскажу. А если дойдёте до конца, то узнаете ответ на вопрос, поставленный в заголовке: Где на самом деле параллельные прямые пересекаются?
В евклидовой геометрии есть аксиома параллельных (5-й постулат Евклида): Через точку вне прямой можно провести только одну прямую, параллельную данной.
В геометрии Лобачевского (её ещё называют гиперболической) вместо этого постулата другой: Через точку, не лежащую на прямой, можно провести по крайней мере две прямые, параллельные данной.
Но и тут параллельные прямые как не пересекались, так и не пересекаются.
В евклидовой геометрии, если две прямые параллельны третьей, то между собой они тоже параллельны. В геометрии Лобачевского это свойство не выполняется. На рисунке две прямые пересекаются в точке М, но они и не называются поэтому параллельными друг другу .
В геометрии Римана (её ещё называют сферической) вообще все прямые пересекаются, там нет параллельных прямых.
Например, в евклидовой геометрии два перпендикуляра к одной прямой между собой параллельны, а в римановой они обязательно пересекутся. Так, два меридиана на глобусе перпендикулярны экватору, но пересекаются на полюсах. Но это означает, повторяю, что в римановой геометрии просто нет параллельных прямых (а раз их нет, то и пересекаться они не могут :)).
Теперь переходим к ответу на поставленный вопрос.
Существует ещё один раздел геометрии, называемый проективной геометрией. В основу её положен метод центральной проекции.
ABCD — фигура («оригинал»), S- центр проекции, ω’- плоскость проекции, A’B’C’D’ — центральная проекция («изображение»).
Похоже на то, как на холсте рисуется картина.
В евклидовом пространстве центральное проектирование имеет трудность, заключающуюся в том, что бывают случаи, когда не каждой точке «оригинала» соответствует точка «изображения» и, обратно, не каждой точке изображения соответствует точка оригинала. Центр проекции S выбирается произвольно, и возможна, например, ситуация, когда луч проекции идёт параллельно плоскости проекции, поэтому не пересекает её и не создаёт соответствующее «изображение» точки.
Чтобы восстановить взаимно однозначное соответствие точек оригинала и образа, полагают, что у каждой прямой, кроме «собственных» или «обыкновенных» её точек (точек, из которых она состоит, и между которыми, как бы далеко друг от друга они ни отстояли, всегда конечное расстояние) есть одна несобственная точка — бесконечно удалённая. У всех параллельных прямых одна на всех общая несобственная точка, то есть можно сказать, что они пересекаются в несобственной, бесконечно удалённой точке .
Тем не менее это пересечение прямых совсем не похоже на обычное пересечение прямых, потому что ни в одной собственной точке параллельные прямые не пересекаются никогда. Их общая точка расположена в бесконечности и она несобственная. Если до обыкновенной точки пересечения не параллельных прямых можно дойти, двигаясь по прямой (для обычного пересечения прямых расстояние от любой точки прямой до точки пересечения конечно), то до несобственной точки пересечения параллельных прямых дойти нельзя (даже двигаясь со скоростью света миллиард миллиардов лет), потому что расстояние до неё от любой точки прямой равно бесконечности. Эта точка, если так можно сказать, выдумана — ради формального удобства, придания определённой симметрии, законченности и красоты теории проективных преобразований.
Понятно, что не математику трудно представить несобственные точки (а также несобственную прямую, расширенную плоскость, несобственную прямую и расширенное (проективное) пространство). Главное, что теперь, если в разговоре с вами кто-то скажет, что параллельные прямые пересекаются в геометрии Лобачевского, вы можете с видом знатока его поправить, сказав, что параллельные прямые пересекаются только в проективной геометрии, причём в несобственной точке .
Источник
Все параллельно. Как Лобачевский открывал свою геометрию
Год 1819-й, знаменитый французский математики Лаплас мечтает для контакта с инопланетянами установить посреди Сибири огромную светящуюся фигуру, символизирующую теорему Пифагора, а в Казанский университет прибывает новый попечитель — Михаил Магницкий. Он уличает профессоров и преподавателей в вольнодумстве и безбожии и предлагает Александру I торжественно снести здание, приютившее порок.
Император отказывается, университет перезапускают, и новым ректором становится Григорий Никольский — 35-летний, карьеристкого склада математик, любивший обращаться к студентам словами «государики» и повторявший им, что «гипотенуза в прямоугольном треугольнике есть символ сретения правды и мира, правосудия и любви через ходатая бога и человека…» Примерно тогда же в голове 28-летнего Лобачевского, всю жизнь проработавшего в Казанском университете, крутилась и вращалась одна смутная мысль: с пятым постулатом Евклида что-то не так. Но — все по порядку.
В начале были постулаты
Примерно в двух тысячах лет назад по прямой от Лобачевского жил великий древнегреческий математик Евклид, который собрал все имевшиеся до него знания о геометрии в одну большую книгу — «Начала». Начиналась эта книга с семи определений и пяти постулатов — недоказуемых, интуитивно принимаемых на веру утверждений, на фундаменте которых возводились все дальнейшие рассуждения и теоремы.
Первые четыре постулата были лаконичны и стройны:
- От всякой точки до всякой точки можно провести прямую.
- Ограниченную прямую можно непрерывно продолжать по прямой.
- Из всякого центра всяким радиусом может быть описан круг.
- Все прямые углы равны между собой.
В их истинности, наверное, никто не сомневался за всю историю мира, но пятый постулат звучал гораздо более запутанно и мало напоминал неоспоримую истину:
- Если прямая, пересекающая две прямые, образует внутренние односторонние углы, меньшие двух прямых, то, продолженные неограниченно, эти две прямые встретятся с той стороны, где углы меньше двух прямых.
Позже это утверждение в разных формулировках (самая распространенная из них гласит, что в плоскости через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести одну и только одну прямую, параллельную данной) пытались доказать десятки математиков, но все они втягивались в одну и ту же историю. Их доказательства как будто сами себя кусали за хвост — упирались в утверждения, доказать которые без самого пятого постулата было абсолютно невозможно. Они больше напоминали сюжеты картин Эшера, чем строгие математические построения.
Лобачевского пятый постулат смущал не столько своей неаккуратностью, сколько философской нагрузкой: он поселял материю в какое-то застывшее абсолютное пространство, в систему координат, независимую от самой материи и существующую отныне и вовеки для всей Вселенной. Лобачевскому это не нравилось: он считал, что геометрия и реальность переплетены между собой, и писал в своих дневниках: «В природе мы познаем, собственно, только движение, без которого чувственные впечатления невозможны. Итак, все прочие понятия, например Геометрические, произведены нашим умом искусственно, будучи взяты в свойствах движения; а потому пространство само собой, отдельно, для нас не существует. После чего в нашем уме не может быть никакого противоречия, когда мы допускаем, что некоторые силы в природе следуют одной, другие — своей особой Геометрии».
Твердый материалист, он не мог принимать исключительно на веру, что параллельные прямые не пересекаются где-нибудь в бесконечности космоса. Да, Лобачевский сам не раз проводил геодезические измерения на местности и видел, что сумма углов в треугольнике всегда равняется 180 (а это еще одна эквивалентная формулировка пятого начала Евклида), но не мог обещать, что так будет со всеми треугольниками в нашем бесконечном пространстве.
Работа на пересеченной местности
Часто в математике, да и вообще в науке, бывает очень сложно доказать, что что-нибудь неверно или не работает. Примерно так же было и с пятым постулатом Евклида: у людей не получалось доказать его верность, но опровергнуть его было еще сложнее, особенно учитывая, что вся махина теорем геометрии Евклида была стройна и непротиворечива.
Поэтому Лобачевский в своей битве с пятым постулатом обратился к доказательству от противного. Чтобы посмотреть, что будет после этого со всей системой геометрических теорем, он попробовал заменить пятый постулат на его зеркальное отражение («Через точку, не лежащую на данной прямой, проходят по крайней мере две прямые, лежащие с данной прямой в одной плоскости и не пересекающие ее».). Не появится ли в них внутренних противоречий, косвенно указывающих на то, что изначальная версия пятого постулата — такая неаккуратная и контринтуитивная — была все-таки неизбежно верна в нашем пространстве? Но такого не случилось — противоречий не нашлось.
Поэтому Лобачевский взял первые четыре постулата Евклида, добавил к ним новый пятый и на этом стал строить новую непротиворечивую геометрию, описывающую реальный мир, как он надеялся, точней и глубже, чем геометрия евклидова.
Лобачевский даже хотел проверить свою геометрию в космосе — посчитать сумму углов в треугольнике, составленном из звезд, и посмотреть, будет ли она равняться 180 градусам, но все его эксперименты терпели неуспех. В них вкрадывались неточности и колоссальные ошибки, а самого Лобачевского рвали на части: в родном университете он теперь преподавал не только математику, но еще и физику с астрономией; ректор Никольский, мечтавший охладить его пыл, заставил Лобачевского наводить порядок в университетской библиотеке, а попечитель Магницкий сделал математика членом строительной комиссии при университете (судя по всему, проворовавшийся на строительстве Магницкий надеялся скинуть всю вину на нерадивого, витающего в небесах математика, но этот план не удался).
На чистую науку оставались жалкие крупицы времени, но Лобачевский все углублял свою геометрию — формулировал новые теоремы, строил утверждения и наконец 7 февраля (по старому стилю) 1826 года представил перед ученой комиссией Казанского университета свой труд — «Сжатое изложение начал геометрии со строгим доказательством теоремы о параллельных».
Геометрия новая — проблемы старые
Задним числом жизнь великих идей кажется проще, чем она была в реальности. Да, вокруг косные люди, да, везде недоверие и нежелание расшатывать лодку, но даже с учетом этих отягчающих поправок траектория великой идеи в худшем случае кажется упругой сжатой спиралью, раскручивающейся через вязкую повседневность к свету истины. В реальности это скорей ломаная кривая блужданий — доклад Лобачевского от 7 февраля провалился.
Мы не знаем, какой формы был стол в помещении, где шел доклад, — прямоугольный, круглый или, может быть, овальный; мы не знаем, какие там были окна, стены, двери, но точно понимаем одно: мысли всех присутствовавших тогда шли совершенно перпендикулярными с неевклидовой геометрией путями. Незадолго до этого новый император Николай I сместил Магницкого с его должности, и все члены комиссии теперь думали, как это резкое движение извне поменяет их жизнь, и почти не обращали внимания на странноватого математика, рассказывавшего на французском о какой-то инопланетной геометрии.
Броуновское движение наночастиц в воде
Дальше рукопись была отдана на рецензию некоторым членам комиссии, но они в суматохе мрачных дней, видимо, просто позабыли о ней, и сам доклад так и не был одобрен к публикации. Тогда вся геометрия Лобачевского могла навсегда остаться внутри его головы, если бы не одна неожиданность: новым ректором университета вскоре был избран именно он.
Вряд ли у Лобачевского стало после этого меньше работы и больше сил, но постепенно он оформил свои идеи в законченный труд «О началах геометрии», который сначала напечатали в журнале «Казанский вестник», а потом представили на отзыв в Академию наук, где рецензия досталась одному из самых сильных русских математиков того времени — Михаилу Остроградскому.
«Автор, по-видимому, задался целью написать таким образом, чтобы его нельзя было понять. Он достиг этой цели; большая часть книги осталась столь же неизвестной для меня, как если бы я никогда не видел ее…» — вот его ответ. Новая геометрия остается непонятной. Блуждание продолжается.
Понимание Лобачевский находит несколькими годами позже. Он публикует свои труды в европейских журналах, где их замечает великий немец Гаусс, который сам не один год втайне ото всех занимался неевклидовой геометрией. Чтобы лучше понять казанского ученого, он оперативно учит русский и потом, впечатленный смелостью и ясностью мыслей Лобачевского, выдвигает того в члены-корреспонденты Геттингенского королевского научного общества.
Признание встречает своего гения, хотя на родине Остроградский и люди его окружения раз за разом отклоняют все работы по неевклидой геометрии вплоть до самой смерти Лобачевского в 1856 году.
Проходит 12—15 лет, и математики находят сразу несколько реальных моделей, в которых работает именно геометрия Лобачевского. В самой простой из них, проективной, за плоскость принимают внутренность круга, а за прямую — его хорду. В результате тот очевидный факт, что через одну точку P, лежащую внутри круга, можно провести сколько угодно хорд, не пересекающихся с одной фиксированной хордой а, автоматически становится в таких правилах игры иллюстрацией пятого начала геометрии Лобачевского.
В 1868 году выходит доклад Римана — другого первопроходца с другой неевклидовой геометрией, в которой через каждую точку в пространстве уже невозможно провести ни одной параллельной прямой, и математикам постепенно становится понятно, что геометрии Римана и Лобачевского — невероятно похожие шаги влево и вправо от привычной евклидовой геометрии. Первая работает на поверхностях с положительной кривизной — вроде шаров или геоидов (параллельные у экватора меридианы встречаются на полюсах), а вторая — на поверхностях с отрицательной кривизной — вроде гиперболоидов или седел.
И еще чуть позже, в начале XX века, новая геометрия наконец встретится с физикой. Эйнштейн сформулирует свою общую теорию относительности в терминах геометрии Римана, и мысли людей, привыкшие ходить по одним и тем же параллельным рельсам, откроют новые маршруты: пространство и время не абсолютны. Движение меняет геометрию. А тысячелетние аксиомы не всегда верны.
Источник