Период обращения марса вокруг солнца задача

Разделив уравнение (2) на уравнение (1), получим:

Отсюда находим искомый радиус орбиты Марса:

$R_ = R_k^ <2/3>= 1,52 R_ = 2,28 \cdot 10^ <11>м$.

Равенство (3) отражает, так называемый, третий закон Кеплера. В более общем случае он связывает периоды обращения планет с большими полуосями а их эллиптических орбит:

В положении противостояния Земля, Марс и Солнце лежат на одной прямой (рис. 1). Если радиус-векторы Земли и Марса вращаются с разными угловыми скоростями $\omega_$ и $\omega_$, то очередное противостояние наступит через промежуток времени $\tau$, в течение которого разность углов поворота окажется равной $2 \pi$:

$\omega_ \tau — \omega_ \tau = 2 \pi$.

$\tau = \frack> \approx 780 суток$.

Чтобы найти угловое смещение $\phi$ линии противостояния за промежуток времени $tau$, следует принять во внимание, что за это время радиус-вектор Марса повернётся на угол, превышающий $2 \pi$ на искомую величину $\phi$:

$\phi= \omega_ \tau – 2 pi = 2 \pi \frac<2-k> \approx 49^< \circ>$

Для выполнения заданий пункта 3 рассмотрим траекторию Марса в виде эллипса, изображённого на рисунке 2. Лучи $M_<1>S$ и $M_<2>S$, ограничивающие угол $\phi$ — линии последовательных противостояний вблизи точки орбиты Марса, удалённой от Солнца приблизительно на расстояние $R$. Вероятно, угол $\phi$ зависит от того, в каком месте эллиптической орбиты окажутся лини последовательных противостояний. Тогда и время между этими противостояниями должно определяться их положениями на орбите. Для проверки этого предположения следует вычислить промежуток времени $\tau$ между противостояниями как функцию расстояния $R$ между Марсом и Солнцем.

За время $\tau$ Марс совершает один оборот и дополнительно проходит дугу $M_<1>M_<2>$, а Земля — два оборота и дугу $E_<1>E_<2>$. Поэтому

$\tau = T_ +t_ = 2T_ + t_$, (5)

где $t_$ — время движения Марса по дуге $M_<1>M_<2>$, а $t_$ — время движения Земли по дуге $E_<1>E_<1>$.

где $\phi$ — угловое перемещение линии противостояния. Время $t_$ найдём, воспользовавшись вторым законом Кеплера, который говорит о том, что секторная скорость движения планеты по эллиптической орбите в любой момент одинакова. Площадь сектора $SM_<1>M_<2>$, ограниченного углом $\phi$ и траекторией Марса, равна $\phi R^<2>/2$. Считая эллиптичность орбиты Марса малой, можно приближённо оценить её площадь как $\pi \left ( \frac + R_> <2>\right )^<2>$. Таким образом, для времени $t_$ движения Марса по дуге $M_<1>M_<2>$ находим следующее выражение

Из (6) и (7) получаем:

Подставим это соотношение в (5):

Отсюда найдём вначале

Величина $2T_ — T_ = 2T_ – kT_ = T_(2 — k) > 0$. Кроме того, поскольку $R$ изменяется в пределах от $R_$ до $R_$, то из (8) следует, что наименьшему $R = R_$ соответствует наибольшее значение $tau = \tau_$, а наибольшему $R = R_$ — наименьшее $\tau = \tau_$. Воспользуемся упомянутым выше третьим законом Кеплера для системы Марс-Земля

Подставляя найденное соотношение в (8), найдём

Отсюда, подставляя численные значения, получим:

представляет собой большую полуось эллиптической орбиты Марса, связанную с периодом $T_$ третьим законом Кеплера (4). Сравнение полученных результатов и реальных значений $R_ = 1,38R_ , R_ = 1,66R_ , a = 1,52R_$ показывает, что принятые в решении задачи приближения неплохо описывают исследуемое здесь явление не только качественно, но и количественно.

Решение данной задачи иллюстрирует типичную для физики ситуацию, когда нужно найти величины, не поддающиеся непосредственным измерениям. В рассматриваемом примере размер орбиты Марса «определяется часами».

Источник

Период вращения Марса вокруг Солнца

Основные параметры Марса, определяющие влияние на многие свойства этой планеты зародились во время возникновения Солнечной системы. К ним относятся масса, наклон оси вращения, период и форма орбиты. Успешное изучение этих характеристик лежит в основе проекта по колонизации Марса и поиску жизни на этой планете.

Орбита Марса. Причины вращения

Движение по орбите обусловлено влиянием солнечных сил притяжения. Чем массивнее объект, тем выше его гравитационное воздействие на другие объекты в пространстве. Солнце обладает наибольшей массой в Солнечной системе. Его масса составляет 1,98892х1030 килограммов. Благодаря этим характеристикам Солнце имеет гораздо большую силу притяжения, чем Земля и Марс вместе. В последнее время все чаще можно встретить утверждение, что Марс и остальные планеты вращаются вокруг центра масс солнечной системы. И это не является ошибкой, так как ученые установили, что центр масс нашей системы находится практически в центре Солнца.

Из-за воздействия силы притяжения звезды, Марс вытягивает на орбиту вокруг Солнца. Но почему тогда он вращается и не падает на Солнце? Чтобы найти ответ, рассмотрим пример. К длинной веревочке с одной стороны привязан шар, а другой её конец зафиксирован в руке. Если раскрутить этот шар, он будет вращаться вокруг руки, но при этом не сможет отдалиться дальше, чем позволит длина веревки. Марс движется по тому же принципу, сила притяжения Солнца не отпускает его и заставляет двигаться по орбите, а центробежная сила, которая появляется при круговом движении, стремится вытолкнуть планету за пределы траектории его движения. На этом хрупком равновесии между силами и основывается принцип движения Марса в пространстве.

Период Марса вокруг Солнца в два раза длиннее земного. Полный оборот вокруг Солнца он совершает за 687 земных суток. Или 1,88, если измерять в земных годах. Однако это измерение отражает изменение положения планеты относительно звёзд и называется сидерический период вращения.

Можно так же рассчитать период обращения вокруг Солнца относительно Земли — это называется синодический период вращения. Он представляет собой промежуток между соединениями планеты в конкретной точке неба, обычно эта точка — Солнце. Синодический период красной планеты равен – 2,135.

Движение Марса. Основные параметры

Характеристики движения Марса по орбите и вокруг своей оси имеют много общего с земными. Однако, осевое движение Марса более хаотично и нестабильно, чем движение Земли. Во время движения марсианская ось может хаотично и непредсказуемо наклоняться, это объясняется отсутствием у него такого же массивного спутника, как Луна, который силой притяжения регулировал и стабилизировал бы движение планеты. Его спутники, Фобос и Деймос, ничтожно малы, их влияние на скорость вращения незначительно и не принимается во внимание в расчетах.

Характеристики марсианской орбиты

Марс движется вокруг Солнца по круговой орбите, которая не является окружностью, а представляет собой сложную эллиптическую фигуру. Орбита Марса отдалена от солнца на полтора раза больше, чем земная. Она имеет эллиптическую форму, которая образовалась под влиянием на нее сил притяжения других планет Солнечной системы. Ученые установили, что 1,35 миллиона лет назад его орбита представляла собой почти ровную окружность. Эксцентриситет марсианской орбиты (характеристика, которая показывает, насколько орбита отклоняется от окружности) равен 0,0934. Его орбита вторая в системе по эксцентричности, на первом месте Меркурий. Для сравнения эксцентриситет орбиты Земли равен 0,017.

При нахождении планеты в ближайшей к Солнцу точке — перигелии, радиус орбиты составляет 206,7 миллиона километров, при нахождении на максимальном расстоянии от Солнца – афелии, радиус увеличивается до 249,2 миллиона километров. Из-за разницы расстояний меняется количество поступающей на планету солнечной энергии, она составляет 20-30%, поэтому на Марсе наблюдается широкий разброс температур.

Одна из основных характеристик – это орбитальная скорость. Средняя скорость вращения вокруг Солнца равна 24,13 км/с.

Марс удален от Солнца на большее расстояние, чем Земля, поэтому радиус марсианской орбиты так же отличается в большую сторону. Мы уже выяснили, что марсианская траектория движения представляет собой вытянутый эллипс, поэтому её радиус не является постоянной величиной, среднее расстояние до Солнца равно 228 миллиона километров.

Каждый 26 месяцев Земля догоняет Марс по орбите. Это происходит из-за разницы в скорости движения планет (земная — 30 километров в секунду) и меньшего диаметра орбиты. В это время расстояние между планетами минимально, потому удобнее всего планировать космические миссии по изучению планеты в этот период. Это снижает затраты топлива и времени на путешествие, 6-8 месяцев, по космическим меркам это не так уж много.

Осевое вращение

Марс не ограничивается движением только по орбите, он также совершает вращение вокруг своей оси. Скорость экваториального вращения равняется 868,22 км/ч, для сравнения, на Земле она равняется 1674,4 км/час. Сутки на красной планете длятся 24 часа, если вас интересуют средние солнечный день, или 24 часа, 56 минут и 4 секунды, если принимать в расчёт сидерический день. Получается, что красная планета вращается только на 40 минут медленнее Земли.

Вращение обеспечивает на планете не только смену дня и ночи, оно также меняет форму планеты под влиянием центробежной силы, сплющивая ее с полюсов на 0,3%. Изменение формы не так заметно из-за высокой плотности планеты.

Наклон марсианской оси вращения равен 25,19°, земной – 23,5°. Смена марсианских зимне-весенних сезонов происходит благодаря наклону оси вращения и эксцентриситету орбиты. Смена зимнего и летнего сезонов на Марсе происходит в противофазе, то есть, когда в одном полушарии наступает летний период, в другом неизменно начинаются зимние холода. Но из-за формы орбиты, длительность сезонов здесь может растягиваться, а, может, уменьшаться. Так в северном полушарии лето и весна длятся 371 сол. Они наступают, когда Марс находится на участке орбиты, максимально удаленном от Солнца. Потому марсианское лето на севере долгое, но прохладное, а на юге — короткое и тёплое. На Земле времена года распределяются равномернее, так как земная орбита близка к идеальной окружности по форме. Стоит заметить, что Марс вращается вокруг оси хаотичнее, чем планеты с более массивными спутниками, что может в любой момент повлиять на длительность зимне-весенних сезонов.

В 21 веке с помощью современного оборудования изучение движения планеты продвинулось далеко вперед, хотя первые свидетельства, подтверждающие изучение марсианского движения, были обнаружены еще в древнем Египте. Еще в древности учёные рассчитали траекторию движения планеты по ночному небу относительно Земли, и обнаружить ее ретроградное движение. Но красная планета не спешит раскрывать все свои секреты, до сих пор ученым не известны все параметры движения Марса в пространстве. А многие из имеющихся вычислений предстоит уточнить и дополнить.

Источник