Предел роша для луны

Небесная механика. Что такое предел Роша?

Единственный спутник Земли, Луна, находится на расстоянии примерно 384 400 километров от поверхности нашей планеты. И каждый год удаляется от нее на 3,4 сантиметра. Но что бы случилось, если все происходило с точностью до наоборот? Насколько близко могла бы подойти Луна к Земле, при этом все еще оставаться ее спутником? Именно это расстояние, друзья мои, и известно как предел Роша…

Включим воображение

Конечно же, описанный выше сценарий в реальности невозможен. Поскольку нет такого процесса, в ходе которого Луна могла бы начать приближаться к нашей планете. На самом деле она так и будет продолжать постепенно отдаляться от Земли. Этот процесс будет продолжаться примерно 50 миллиардов лет.

Но в древние времена, когда Земля была молодой и горячей планетой, наш единственный спутник был намного ближе к нам.

Земля в молодости вращалась вокруг своей оси намного быстрее, и сутки на ней длились всего 6 часов. А Луна совершала один оборот по орбите всего за 17 земных суток. Но гравитация нашей планеты постепенно замедляла вращения Луны. В свою очередь, гравитация нашего спутника тоже замедляла вращение нашей планеты. И, поскольку угловой момент системы должен сохраняться, Луна начала удаляться от нас, чтобы компенсировать эти замедления.

Это сохранение углового момента очень важно. Потому что оно работает в обоих направлениях. Если взять любой спутник, которому требуется больше суток, чтобы сделать один оборот вокруг своей планеты, эффект будет таким же, как в случае с нашей Луной. Вращение планеты будет замедляться, и спутник будет он нее удаляться, чтобы компенсировать это. Однако, если спутник совершает один оборот быстрее, чем планета вращается вокруг своей оси, происходит обратный эффект. Вращение планеты ускоряется, и спутник перемещается к ней ближе, чтобы компенсировать это.

Эффект гравитации и предел Роша

Точное расстояние, на которое спутник может приблизиться к своей планете, зависит от массы, размера и плотности обоих объектов. Например предел Роша, в случае с Землей и Луной, составляет 9500 километров. Если рассматривать Луну как идеальную твердую сферу. То есть если наш спутник будет находиться на расстоянии 9500 километров (или меньше) от Земли, гравитация нашей планеты преобладает над его собственной. Луна расколется и превратится в кольцо из фрагментов лунной породы, которые продолжат вращаться вокруг Земли, пока не упадут на ее поверхность. Подобное правило касается всех звезд, планет, астероидов и других космических объектов…

Например, если бы стандартная комета подошла к Земле ближе, чем на 18 000 километров, ее непременно разорвало бы на части. Солнце способно сделать то же самое на гораздо большем расстоянии — 1,3 миллиона километров. И это не просто теория. Разрушение спутников их планетами — это то, что реально происходит в Солнечной системе. Самым известным примером, несомненно, является Фобос. Он вращается вокруг Марса быстрее, чем планета вращается вокруг своей оси. И рано или поздно Фобос будет разрушен гравитацией Красной планеты.

Есть и еще один пример. Он не так хорошо известен, как предыдущий. Однако, возможно, он более впечатляющий. Из-за размера задействованных объектов. Это Тритон, крупнейший спутник Нептуна. В далеком будущем, примерно через 3,6 миллиарда лет, он достигнет предела Роша у своей планеты — Нептуна. И после этого возможно два варианта. Первый: Тритон устремится в атмосферу планеты, где и распадется. Второй: он будет разорван на части и превратится в систему колец, очень похожую на кольца Сатурна.

Очень возможно, что они у него так и появились.

Источник

Предел Роша

Предел Роша [ ʀɔʃ- ] является критерием для оценки внутренней стабильности, т.е. сцепление с небесным телом , что орбиты другим. В гравитационные силы , которые удерживают небесное тело вместе внутри имеют по сравнению с приливными силами , которые тянут его на части. Граница Роша названа в честь Эдуарда Альберта Роша , который открыл ее в 1850 году.

Причина возникновения приливных сил заключается в том, что сила притяжения со стороны партнера больше на обращенной к нему стороне небесного тела, чем на противоположной. Это приводит к внутренним напряжениям или деформациям, которые могут привести к растворению небесного тела.

Термин « предел Роша» небесного тела используется в двух разных значениях:

• В качестве ограничения для его орбиты ( предел Роша ): если небесное тело движется за пределы этой орбиты, стабилизирующие внутренние гравитационные силы преобладают над приливными силами. Это значение используется в особенности при рассмотрении устойчивости Луны на орбите на планете .
• В качестве ограничения для его геометрической формы (англ. Lobe Roche ): если небесное тело находится внутри этой формы, оно стабильно. Это значение особенно используется, когда две звезды вращаются вокруг друг друга и деформируются в процессе.

Оглавление

Предел Роша как предел для орбиты

Предел Роша от небесного тела на орбите основного корпуса представляет собой расстояние , на котором тело будет разорвано из — за приливные силы , действующих на него.

Предполагается, что тело удерживается вместе только собственными силами гравитации и что его механическая прочность ничтожна. Для реальных твердых тел, чем больше тело, тем лучше выполняется это предположение. Следовательно, искусственные спутники могут легко вращаться в пределах границы Рош, в то время как большие объекты, такие как луны и планеты, не могут там существовать.

Если есть материал, который еще не собрался в единое тело на орбите вокруг основного тела, то этот материал будет распределяться по кольцу вокруг орбиты внутри границы Роша , а за пределами границы он образует комок.

Фактически, почти все известные планетные кольца находятся в пределах границ своих планет Роша. Следовательно, они могли образоваться непосредственно из протопланетного аккреционного диска , поскольку приливные силы препятствовали образованию лун из этого материала, или они могли быть фрагментами разрушенных лун, которые двигались извне через границу Роша. С другой стороны, все большие луны Солнечной системы расположены далеко за пределами Роша, но меньшие луны также могут оставаться в пределах Роша. Орбиты спутника Юпитера Метиды и Пана спутника Сатурна находятся в пределах Роша для так называемых жидких тел . Механическая прочность этих тел действует, с одной стороны, непосредственно против приливных сил, действующих на тело, а с другой стороны, сила также гарантирует, что эти тела остаются жесткими, т. Е. ЧАС. не меняют свою форму — эффект, который описан ниже и который дополнительно увеличивает приливные силы. Этот эффект особенно ярко описывается тем фактом, что объект, который был бы «помещен» на поверхность такой луны, не останется на ней, а будет отодвинут от поверхности приливными силами. Тело с меньшей механической прочностью, такое как комета, будет разрушено в этих областях, как было показано на примере кометы Шумейкера-Леви 9 , орбита которой преодолела предел Роша Юпитера в июле 1992 года, после чего ядро ​​кометы было разрушено многочисленные фрагменты распались. При очередном сближении с планетой в 1994 году эти фрагменты столкнулись с планетой.

Определение предела Роша

Предел Роша зависит от деформируемости спутника, приближающегося к основному телу. Поэтому для расчета этого предела рассматриваются два крайних случая. В первом случае предполагается, что тело остается абсолютно твердым до тех пор, пока оно не будет разорвано приливными силами. Противоположный случай — это так называемое «жидкое тело», т.е. ЧАС. спутник, который совсем не сопротивляется деформации и поэтому сначала деформируется, удлиняется, а затем разрывается по мере приближения к пределу Роша. Как и ожидалось, второй случай обеспечивает большее расстояние до планеты, чем предел Роша.

Твердые тела

В случае жесткого спутника предполагается, что внутренние силы сохраняют форму тела стабильной, но что тело по-прежнему удерживается вместе только своей собственной гравитацией. Дальнейшие идеализации — это пренебрежение возможными деформациями основного тела приливными силами или собственным вращением, а также собственным вращением спутника. Предел Роша в этом случае d <\ displaystyle d>

d знак равно Р. ⋅ 2 ρ М. ρ м 3 ≈ 1,259 92 ⋅ Р. ⋅ ρ М. ρ м 3 <\ displaystyle d = R \ cdot <\ sqrt [<3>] <\ frac <2 \, \ rho _ > <\ rho _ >>> \ приблизительно 1 <,>25992 \ cdot R \ cdot <\ sqrt [<3>] <\ frac <\ rho _ > <\ rho _ >>>>

в котором радиус и плотность является основным органом, а также описывает плотность спутника. Р. <\ displaystyle R> ρ М. <\ displaystyle \ rho _ > ρ м <\ displaystyle \ rho _ >

Из приведенной выше формулы можно заметить, что предел Роша твердого тела для спутников, плотность которых более чем в два раза превышает плотность основного тела, лежит внутри основного тела. Этот случай происходит, например, Б. во многих скалистых лунах газовых гигантов нашей Солнечной системы. Таким образом, такие спутники не разрываются приливными силами, даже когда основная часть приближается.

Чтобы вывести приведенную выше формулу, предположим, что на поверхности спутника есть небольшая масса в точке, наиболее близкой к основному телу. При таком подходе сам спутник считается сферическим, имеет радиус r и массу m . На небольшую массу u, лежащую на поверхности, теперь действуют две силы: ты <\ displaystyle u>

• гравитационная сила, с которой спутник притягивает массу u, лежащую на его поверхности :

Ф. грамм знак равно грамм м ты р 2 <\ displaystyle F_ = <\ frac >>>

• приливная сила , действующая на массу у , как она притягивается к основному корпусу , но не в центре тяжести спутника, который находится в свободном падении (орбиты) вокруг основного корпуса. В системе отсчета, вращающейся вместе со спутником, эту приливную силу также можно рассматривать как разницу между гравитационной силой, действующей на массу u со стороны основного тела, и центробежной силой. Результаты первого приближения для них

Ф. Т знак равно 2 грамм М. ты р d 3 <\ displaystyle F_ = <\ frac <2 \, GMur>>>>

Предел Роша достигается, когда небольшое пробное тело начинает зависать на поверхности спутника, т.е. то есть когда гравитационная сила и приливная сила принимают одинаковую величину. В этом случае соотношение получается из приведенных выше уравнений Ф. грамм <\ displaystyle F_ > Ф. Т <\ displaystyle F_ >

d знак равно р 2 М. / м 3 <\ displaystyle d = r \, <\ sqrt [<3>] <2 \, M / m>>>

который больше не содержит тестовой массы u . Если выразить массы двух небесных тел через их средние плотности и их радиусы и , то получится указанное выше соотношение, которое не зависит от массы и радиуса спутника. ρ М. <\ displaystyle \ rho _ > ρ м <\ displaystyle \ rho _ > Р. <\ displaystyle R> р <\ displaystyle r>

Жидкое тело

Модель жидкого спутника, вращающегося вокруг основного тела, образует противоположный предельный случай по сравнению с жестким спутником. Жидкость означает, что спутник совершенно не противодействует деформации, вызванной приливными силами. ( Поверхностное натяжение и другие факторы незначительны.) Приливные силы затем приводят к удлиненной деформации спутника в направлении соединительной линии между спутником и основным телом. Фактически, это именно тот эффект, который мы знаем на Земле как приливы , когда жидкие океаны на поверхности Земли деформируются в направлении линии, соединяющей Луну, и образуют две приливные горы. Поскольку сила приливной силы увеличивается с расширением тела в направлении соединительной линии, сильная деформация спутника вызывает еще большую приливную силу. Следовательно, предел Роша для радиуса орбиты жидкого спутника намного больше, чем мы рассчитали в жесткой модели, а именно:

d ≈ 2,423 ⋅ Р. ⋅ ρ М. ρ м 3 <\ displaystyle d \ приблизительно 2 <,>423 \ cdot R \ cdot <\ sqrt [<3>] <\ frac <\ rho _ > <\ rho _ >>>>

d. ЧАС. примерно вдвое больше жесткой модели. Рош рассчитал это предельное расстояние еще в 1850 году (см. Литературу), но установил числовой коэффициент в формуле 2,44, который был несколько завышенным. Предел Роша для реальных спутников лежит между двумя предельными моделями и зависит от размера и жесткости спутника.

Чтобы вывести приведенную выше формулу, требуется гораздо больше усилий, чем в случае твердого тела. Прежде всего, нам нужно уточнить понятие жидкого тела . Под этим понимается тело, состоящее из несжимаемой жидкости, имеющей заданную плотность ρ _m и заданный объем V, не зависящий от внешних и внутренних сил . Кроме того, мы предполагаем, что спутник движется в связанном вращении по круговой орбите, т.е. То есть его центр тяжести находится в системе отсчета, вращающейся с фиксированной угловой скоростью ω, с началом в центре тяжести всей системы. Угловая скорость определяется третьим законом Кеплера :

ω 2 знак равно грамм ( М. + м ) d 3 <\ Displaystyle \ omega ^ <2>= <\ гидроразрыва >>>

В этой системе отсчета ограниченное вращение спутника означает, что жидкость, из которой состоит спутник, не движется, поэтому проблему можно рассматривать как статическую. Следовательно, вязкость и трение жидкости не играют роли в этой модели, поскольку эти переменные будут включены в расчет только в том случае, если жидкость будет двигаться.

Следующие силы теперь действуют на жидкость спутника во вращающейся системе отсчета:

• гравитационная сила основного тела
• центробежная сила как кажущаяся сила во вращающейся системе отсчета
• гравитационная сила самого спутника

Поскольку все возникающие силы консервативны , все они могут быть представлены потенциалом. Поверхность спутника принимает форму эквипотенциальной поверхности полного потенциала, поскольку в противном случае на поверхности была бы горизонтальная составляющая силы, за которой следовали бы части жидкости. Теперь будет обсуждаться, какую форму должен принять спутник на заданном расстоянии от основного тела, чтобы соответствовать этому требованию.

Мы уже знаем, что гравитационная сила основного тела и центробежная сила уравновешивают друг друга в центре тяжести спутника, поскольку он движется по круговой траектории (свободно падающей). Таким образом, внешняя сила, действующая на частицы жидкости, зависит от расстояния до центра тяжести и является приливной силой, уже использованной в жесткой модели . Для малых тел расстояние жидких частиц от центра тяжести мало по сравнению с расстоянием d до основного тела, и приливная сила может быть линеаризована, давая формулу для F _T, приведенную выше . В жесткой модели только радиус спутника r считался расстоянием от центра тяжести, но если теперь вы рассматриваете любую точку на поверхности спутника, действующая там приливная сила зависит от расстояния Δd между точкой и центр тяжести в радиальном направлении (т. е. параллельно соединительной линии от спутника к основному корпусу). Поскольку приливная сила линейна по радиальному расстоянию Δd, ее потенциал по этой переменной квадратичен, а именно (для ): м ≪ М. <\ displaystyle m \ ll M>

В. Т знак равно — 3 грамм М. 2 d 3 Δ d 2 <\ displaystyle V_ = — <\ frac <3 \, GM><2 \, d ^ <3>>> \ Delta d ^ <2>\,>

Итак, теперь мы ищем форму спутника, чтобы его собственный гравитационный потенциал накладывался на этот приливный потенциал таким образом, чтобы общий потенциал на поверхности стал постоянным. Такую проблему обычно очень трудно решить, но из-за простой квадратичной зависимости приливного потенциала от расстояния от центра тяжести, к счастью, решение этой проблемы можно найти путем умных догадок .

Поскольку приливный потенциал изменяется только в одном направлении, а именно в направлении основного тела, очевидно, что спутник остается осесимметричным относительно этой соединительной линии, когда он деформируется, то есть образует тело вращения. Собственный потенциал такого тела вращения на поверхности может тогда зависеть только от радиального расстояния до центра тяжести, поскольку поверхность среза такого тела представляет собой круглый диск с фиксированным радиальным расстоянием, край которого, безусловно, имеет постоянный потенциал. Если сумма внутреннего потенциала и приливного потенциала должна быть одинаковой в каждой точке на поверхности, внутренний потенциал, как и приливный потенциал, должен иметь квадратичную зависимость от радиального расстояния. Оказывается, тогда в качестве формы нужно выбрать вытянутый (сигарообразный) эллипсоид вращения . При заданных плотности и объеме внутренний потенциал такого эллипсоида зависит от числового эксцентриситета эллипсоида ε:

В. С. знак равно В. С. 0 + грамм π ρ м ж ( ϵ ) Δ d 2 <\ Displaystyle V_ = V_ + G \ pi \ rho _ f (\ epsilon) \ Delta d ^ <2>>