Проблема совершенной организации вселенной

Статья Дрейтлейна предлагает, что можно получить приемлемо малую величину для $\langle\rho\rangle$ при $\mu/\sqrt$ фиксированном константой Ферми слабых взаимодействий, если $\mu$ очень мало, порядка $10^<-27>$ Мэв. Работа Вельтмана дает экспериментальные аргументы против этой возможности. В электрослабой теории это давало бы $\langle\rho\rangle\approx -g(300Гэв)^4$, что даже для $g$ столь малого как $\alpha^2$ должно было дать $|\langle\rho\rangle|\approx 10^6Гэв$, больше, чем ограничение для $\rho_V$ на множитель $10^<53>$.

Конечно, у нас нет никакой причины, почему $V_0$ или $\lambda$ должны быть равны нулю, и вполне возможно, что $V_0$ или $\lambda$ сокращают член $-\mu^4/4g$ (и поправки высших порядков), но этот пример ярко показывает, как неестественно иметь достаточно малую космологическую постоянную. Также, в ранней вселенной эффективный потенциал, зависящий от температуры, имел положительный коэффициент при $\phi\phi$, так что минимум тогда был при $\phi=0$, где $V(\phi)=V_0$. Таким образом, чтобы сегодня получить нулевую космологическую постоянную, мы должны предположить огромную космологическую постоянную во времена до электрослабого фазового перехода. (Это не противоречит опыту, в действительности, фазовый переход имеет место при температуре $T$ порядка $\mu/\sqrt$, так что чернотельное излучение, присутствовавшее в те времена, имело плотность энергии порядка $\mu^4/g^2$, больше, чем энергия вакуума на фактор $1/g$ (Блудман и Рудерман, 1977).)

В еще более ранние времена были и другие переходы, что подразумевает еще б'ольшее раннее значение эффективной космологической постоянной. Сейчас это оценивается положительно, большая ранняя космологическая постоянная порождала бы космическую инфляцию, решая некоторые из старых проблем космологической теории. (Гус, 1981; Альбрехт и Стейнхардт, 1982; Линде, 1982). Мы хотим выяснить, почему космологическая константа мала сейчас, а не почему она мала всегда. Перед тем как закончить эту главу, я хочу отметить особый аспект проблемы космологической постоянной. Появление эффективной космологической постоянной делает невозможным нахождение каких-либо решений уравнений Эйнштейна, в которых $g_<\mu\nu>$ есть постоянная метрика Минковского $\eta_<\mu\nu>$. Таким образом, исходная симметрия общей ковариантности, которая всегда нарушается с появлением любой данной метрики $g_<\mu\nu>$, не может без тонкой подстройки быть нарушена так, чтобы сохранить подгруппу трансляций пространства-времени.

Эта ситуация необычна. Обычно, если теория инвариантна относительно некоторой группы $G$, мы не ожидаем необходимости делать тонкую подстройку параметров теории, чтобы найти вакуумные решения, которые сохраняли бы какую-либо подгруппу $H\in G$. Например, в электрослабой теории имеется конечная область параметров, где любое число скалярных дублетов получит вакуумные ожидания, сохраняющие подгруппу $U(1)$ $SU(2)\times U(1)$. Почему же это не работает для подгруппы трансляций группы общековариантных преобразований? Предположим, что мы ищем решение полевых уравнений, сохраняющее трансляционную инвариантность. При всех постоянных полях уравнения для материи и гравитации будут иметь вид $$ \frac<\partial <\mathcal L>><\partial\psi_i>=0 $$ $$ \frac<\partial <\mathcal L>><\partial g_<\mu\nu>>=0. $$ При $N$ полях $\psi$ имеется $N+6$ уравнений для $N+6$ неизвестных, так что можно ожидать решения без тонкой подстройки. Проблема в том, что когда выполняется первое из этих уравнений, зависимость $<\mathcal L>$ от $g_<\mu\nu>$ слишком проста, чтобы допускать решение второго уравнения. Имеется $GL(4)$ симметрия, которая выживает как общей ковариантности, даже когда мы ограничиваемся постоянными полями: при $GL(4)$ преобразовании $$ g_<\mu\nu>\rightarrow A^\rho_<\ \mu>A^\sigma_<\ \nu>g_ <\rho\sigma>$$ $$ \psi_i\rightarrow D_(A)\psi_j $$ лагранжиан преобразуется как плотность $$ <\mathcal L>\rightarrow <\rm Det>A<\mathcal L>. $$ Когда выполняется $ \frac<\partial <\mathcal L>><\partial\psi_i>=0 $ это значит, что $<\mathcal L>$ преобразуется как в формуле $ <\mathcal L>\rightarrow <\rm Det>A <\mathcal L>$ под действием одного $ g_<\mu\nu>\rightarrow A^\rho_<\ \mu>A^\sigma_<\ \nu>g_ <\rho\sigma>.$

Это имеет единственное решение $$ <\mathcal L>=c(<\rm Det>g)^<\frac<1><2>> $$ где $c$ не зависит от $g_<\mu\nu>$. С этим $<\mathcal L>$ для $ \frac<\partial <\mathcal L>><\partial g_<\mu\nu>>=0 $ решений нет, пока по какой-либо причине коэффициент $c$ не обратится в нуль в соотношении $ \frac<\partial <\mathcal L>><\partial\psi_i>=0 $. Теперь, когда проблема поставлена, обратимся к ее возможному решению. Следующие пять глав будут описывать пять направлений, в которых разрабатывается проблема космологической постоянной.

Суперсимметрия, супергравитация, суперструны

Вскоре после построения 4-мерных глобально суперсимметричных полевых теорий Зумино (1975) указал, что суперсимметрия в этих теориях, если она не нарушена, приводит к нулевой энергии вакуума. Его рассуждение было очень простым: генераторы суперсимметрии $Q_\sigma$ удовлетворяют антикоммутационному соотношению $$ \=(\sigma_\mu)_<\alpha\beta>P^\mu $$ где $\alpha$ и $\beta$ - 2-компонентные спиновые индексы, $\sigma_1,\sigma_2$ $\sigma_3$ -- матрицы Паули, $\sigma_0=1$ и $P^\mu$ -- оператор 4-вектора энергии-импульса. Если суперсимметрия не нарушена, тогда вакуумное состояние $|0>$ удовлетворяет $$ Q_\alpha|0\geq Q_\alpha|0\geq0 $$ и из этих соотношений мы выводим, что вакуум имеет нулевую энергию и импульс $$ \langle0|P^\mu|0\rangle=0 $$ Это также можно вывести рассматривая потенциал $V(\phi,\phi)$ для киральных скалярных полей $\phi$ глобально суперсимметричной теории $$ V(\phi,\phi)=\sum\limits_i|\frac<\partial W(\phi)><\partial\phi^i>|^2 $$ где $W(\phi)$ -- так называемый суперпотенциал. (Калибровочные степени свободы здесь игнорируются, но они не меняют аргументации.)

Условием ненарушенной суперсимметрии является то, что $W$ будет стационарным относительно $\phi$, что означает, что $V$ принимает свое минимальное значение $$ \langle\rho\rangle=V_=0 $$ Квантовые эффекты не меняют этого заключения, так как при симметрии между бозонами и фермионами фермионные петли сокращают бозонные. Несовершенство этого результата в том, что суперсимметрия в реальном мире нарушена, и в этом случае и приведённые соотношения показывают, что вакуумная энергия положительно определена. Если бы эта вакуумная энергия была единственным вкладом в эффективную космологическую постоянную, то суперсимметрия превращала бы проблему космологической константы из состояния кризиса в состояние краха. К счастью, это не все. Невозможно определить значение эффективной космологической постоянной пока мы явным образом не включим в теорию гравитацию. Любая глобально суперсимметричная теория, включающая в себя гравитацию, неизбежно является локально суперсимметричной, теорией супергравитации. В такой теории эффективная космологическая константа дана средним значением потенциала, но потенциал теперь дается выражением (Креммер и др., 1978, 1979; Виттен и Бэггер, 1982; Барбери и др., 1982) $$ V(\phi,\phi)=\exp(8\pi GK)\left[ D_iW(<\mathcal G>^<-1>)^i_<\ j>(D_jW)-24\pi G|W|^2 \right] $$ где $K(\phi,\phi)$ -- вещественная функция как $\phi$, так и $\phi$, известная как кэлеров потенциал, $D_iW$ -- ковариантная производная вида $$ D_iW\equiv \frac<\partial W><\partial\phi^i>+8\pi GW\frac<\partial K> <\partial\phi^i>$$ $(<\mathcal G>^<-1>)^i_<\ j>$ -- обратная величина к метрике $$ <\mathcal G>^i_<\ j>\equiv \frac<\partial^2 K> <\partial\phi^i\partial\phi^j>$$ Условием ненарушенной суперсимметрии теперь является $D_iW=0$. Это снова дает стационарную точку потенциала, но теперь это точка, в которой $V$ в общем случае отрицательно. В действительности, даже если бы мы подстроили $W$ так, что была бы суперсимметричная стационарная точка, в которой $W=0$, и следовательно $V=0$, такое решение вообще говоря не было бы состоянием с низшей энергией, хотя оно было бы стабильным (Коулмен и де Люччия (1980), Вайнберг (1982).) Необходимо, однако, отметить, что если имеется множество значений поля, при которых $W=0$ и $D_iW=0$ для всех $i$ в низшем порядке теории возмущений, то теория имеет суперсимметричную равновесную конфигурацию при $V=0$ во всех порядках теории возмущений, хотя и не обязательно за пределами теории возмущений. (Грисару, Зигель и Рочек, 1979).

Предполагается, что то же самое справедливо в суперструнной теории возмущений. (Фридан, Мартинец и Шенкер, 1986; Мартинец, 1986; Дайн и Зайберг, 1986; Морозов и Переломов, 1987; Аттик, Мур и Сен, 1987). Без тонкой подстройки мы, в общем случае, можем найти несуперсимметричное множество значений скалярных полей, при которых $V=0$ и $D_iW\ne 0$, но это вообще говоря не будет стационарной точкой $V$. Таким образом, в супергравитации проблема космологической постоянной больше не приводит к краху, однако, кризис остается, как и в несуперсимметричных теориях. С другой стороны, теории супергравитации дают возможность изменить контекст проблемы космологической постоянной, если не решить ее. Креммер и др. (1983) заметили, что имеется класс кэлеровых потенциалов и суперпотенциалов такой, что в широком диапазоне большинства параметров автоматически получается равновесная конфигурация скалярных полей, где $V=0$, даже при нарушенной суперсимметрии. Вот несколько обобщенная версия: кэлеров потенциал имеет вид $$ K=-3\ln |T+T-h(C^a,C^a)|/8\pi G+<\tilde K>(S^n,S^n), $$ тогда как суперпотенциал есть $$ W=W_1(C^a)+W_2(S^n) $$ и $T$, $C^a$, $S^a$ -- все киральные скалярные поля. Никаких связей не накладывается на функции $h(C^a,C^a)$, $<\tilde K>(S^n,S^n)$, $W_1(C^a)$, или $W_2(S^n)$, кроме того, что $h$ и $\tilde K$ вещественны, и все функции зависят только от указанных полей; в частности, суперпотенциал не должен зависеть от синглетного кирального скаляра $T$.

Следовательно это выражение является положительным, и поэтому без дальнейшей тонкой подстройки можно ожидать стационарной точки при $V=0$, определяемой условими $$ \frac<\partial W><\partial C^a>=D_nW=0 $$ Но это не обязательно будет суперсимметричная конфигурация, поскольку здесь $$ D_aW\equiv \frac<\partial W><\partial C^a>+8\pi G\frac<\partial K><\partial C^a>W=-\frac<3><|T+T+h|>\frac<\partial h><\partial C^a>W $$ и это не обязательно обращается в ноль. (Однако, для нарушения суперсимметрии существенно, что суперпотенциал действительно зависит от от всех этих киральных скаляров $S^n$, ибо иначе условия $D_nW=0$ потребуют, что $W=0$, и следовательно, $D_aW=0$.) Суперпотенциал $W$ зависит от $C^a$ и $S^n$, но не от $T$, так что условия (4.13) будут в общем случае фиксировать значения $C^a$ и $S^n$ в минимуме $V$, оставляя $T$ неопределенным. Поле $T$ входит в потенциал только как общий масштабный фактор части, зависящей от $C^a$, так что такие теории называются ``безмасштабными'' моделями. Интенсивное феноменологическое изучение этих моделей проводилось в течение нескольких лет после 1983 года в ЦЕРНе.

В 1982 году Мур показал, что для некоторых специальных компактификаций имеется дискретная симметрия пространства модулей, известная как симметрия Эткина-Лехнера, которая приводит к занулению интеграла по $\tau$ несмотря на отсутствие пространственно-временной суперсимметрии. До сих пор единственные примеры, где это случается, относились к компактификации в два, а не в четыре пространственно-временных измерения, но нельзя исключить, что могут быть найдены и 4-мерные примеры. Более серьезным препятствием является то, что симметрия Эткина-Лехнера, по-видимому, неразрывно связана с однопетлевым приближением. Действительно, очень трудно увидеть, как какие-либо свойства теорий супергравитации или суперструн могли бы сделать космологическую постоянную достаточно малой. Недостаточно, чтобы плотность энергии вакуума сокращалась в низшем порядке, или во всех конечных порядках теории возмущений, даже непертурбативные поправки, такие как инстантоны КХД, давали бы слишком большой вклад в эффективную космологическую постоянную, если они не будут сокращены чем-либо еще. Согласно нашим современным теориям, свойства элементарных частиц, такие как приближенное сохранение барионов и лептонов, диктуются калибровочными симметриями стандартной модели, сохраняющимися до доступных энергий. Мы не знаем такой симметрии (кроме нереалистического примера ненарушенной суперсимметрии), которая могла бы сохранить эффективную космологическую постоянную достаточно малой. Можно думать, что в супергравитации свойство иметь нулевую эффективную космологическую постоянную выживает вплоть до низких энергий без какой-либо соответствующей симметрии, но это шло бы вразрез со всем нашим опытом в физике.

Антропные соображения

Теперь я перейду к совершенно отличному подходу к космологической постоянной, основанному на том, что Картер (1974) назвал антропным принципом.(Современные обсуждения антропного принципа даны в книгах Дэвиса (1982) и Барроу и Типлера (1986), а также в статьях Картера (1983), Пейджа (1987) и Риза (1987).) Говоря кратко, антропный принцип утверждает, что мир таков как он есть, по-крайней мере частично благодаря тому, что иначе некому было бы спрашивать, почему он таков. Есть много разных версий этого принципа, которые простираются от тех, что слишком слабы и поэтому почти тривиальны, до тех, что слишком сильны и поэтому почти абсурдны. Три версии представляются стоящими упоминания здесь:

1) В одной очень слабой версии антропный принцип предлагает просто учитывать наше присутствие как еще один экспериментальный факт. Например, напомним шутку М.

Гольдхабера, что ``мы знаем по своим костям'', что время жизни протона должно быть больше, чем $10^<16>$ лет, потому что иначе мы не пережили бы ионизирующие частицы, рожденные распадом протонов в наших телах.

Никто не может возражать против этой версии, но она не помогает нам ничего объяснить, например, объяснить почему протон живет так долго. Не дает она также особенно полезной экспериментальной информации; физики-экспериментаторы (включая самого Гольдхабера) конечно снабдили нас намного лучшими ограничениями на время жизни протона.

2) В одной очень сильной версии антропный принцип говорит, что законы природы, которые иначе будут неполны, дополняются требованием, что необходимо обеспечить условия возникновения разумной жизни, причина в том, что наука, очевидно, невозможна без наблюдателей. Я не знаю, как достичь решения в таких вопросах и просто выскажу мою собственную точку зрения, что хотя наука, конечно, невозможна без ученых, неясно, почему Вселенная невозможна без науки.

3) Ограниченная версия антропного принципа, иногда известная как ``слабый антропный принцип'', подходит к объяснению того, в каких возможных эрах или частях Вселенной мы обитаем, путем оценки, какие эры или части Вселенной мы могли бы населять.

Примером может служить первое, я думаю, в современной физике использование антропных аргументов Дикке (1961), в ответ на проблему, поставленную Дираком (1937). На самом деле, Дирак заметил, что комбинация фундаментальных постоянных, имеющая размерность времени, оказывается примерно порядка современного возраста Вселенной $$ \hbar/Gcm_<\pi>^3=4.5\times 10^ <10>\ <\rm лет>$$ [Имеются разные способы записи этого соотношения, такие как замена $m_<\pi>$ разными комбинациями масс частиц и введение различных степеней $e^2/\hbar c$. Первоначальное дираковское совпадение ``больших чисел'' равносильно использованию уравнения $ \hbar/Gcm_<\pi>^3=4.5\times 10^ <10>\ <\rm лет>$ как формулы возраста Вселенной, с $m_\pi$ замененным на $(137m_pm_e^2)^<183>МэВ$. Фактически, имеется так много различных возможностей, что можно сомневаться, существует ли хоть какое-нибудь совпадение, которое нуждается в объяснении.] Дирак рассуждал, что, если бы эта связь была реальностью, то, так как возраст вселенной растет (линейно) со временем, некоторые из констант в левой части $ \hbar/Gcm_<\pi>^3=4.5\times 10^ <10>\ <\rm лет>$ должны были бы изменяться со временем. Он предположил, что $G$ изменяется как $l/t$. [Зи (1985) применил подобные аргументы к самой космологической константе.]

Отвечая Дираку Дикке указал, что сам вопрос о возрасте вселенной мог бы возникнуть только тогда, когда условия пригодны для существования жизни. Определенно, вселенная должна быть достаточно стара, так чтобы некоторые звезды закончили свою жизнь на главной последовательности, чтобы произвести тяжелые элементы, необходимые для жизни, и она должна быть достаточно молода, так чтобы некоторые звезды все еще производили бы энергию через ядерные реакции. Обе границы на возраст вселенной, верхняя и нижняя, при которых жизнь может существовать, оказываются, приблизительно (очень приблизительно), заданными как раз этой величиной. Следовательно для достижения приблизительного согласия величины $\hbar/Gcm_<\pi>^3$ с современным возрастом вселенной нет необходимости предполагать, что какая-либо из фундаментальных констант изменяется со временем. Именно этот "слабый антропный принцип" будет применяться здесь. Его уместность следует из того факта, что в некоторых современных космологических моделях, вселенная имеет части или эры, в которых эффективная космологическая константа принимает широкое многообразие значений. Вот некоторые примеры. (1) Вакуумная энергия может зависеть от вакуумного среднего скалярного поля, которое медленно меняется при расширении вселенной, как в модели Бэнкса (1985).

В модели Линде (1986, 1987, 1988b), флуктуации скалярных полей создают экспоненциально расширяющиеся области вселенной, в пределах которых дальнейшие флуктуации создают дальнейшие подвселенные, и так далее. Так как эти подвселенные являются результатом флуктуаций полей, они имеют отличающиеся значения различных "констант" природы.

(3) Вселенная может пройти через очень большое количество фазовых переходов первого рода, в которых формируются пузыри все меньшей вакуумной энергии; в пределах этих пузырей там формируются дальнейшие пузыри еще меньшей вакуумной энергии, и так далее. Это может происходить, если потенциал для некоторого скалярного поля имеет большое количество малых горбов, как в модели Абботта (1985). Альтернативно, стены пузыря могут быть элементарными мембранами, взаимодействующими с калибровочным потенциалом 3-формы $A_<\mu\nu\lambda>$, как в работе Броуна и Тейтельбойма (1987a, 1987b).

(4) Вселенная может стартовать в квантовом состоянии, в котором космологическая константа не имеет точного значения. Любое "измерение" свойств вселенной дает многообразие возможных значений для космологической константы, с априорными вероятностями, определенными начальным состоянием (Хоукинг, 1987a). Мы увидим примеры этого в главах VII и VIII. В моделях этих типов совершенно разумно применить антропные соображения, чтобы решить, в какой эре или части вселенной мы могли бы обитать, и следовательно, какие значения космологической константы мы могли бы наблюдать. Большая космологическая константа влияла бы на появление жизни различными способами, в зависимости от знака $\lambda_<\rm eff>$. Для большой положительной $\lambda_<\rm eff>$ вселенная очень рано вступает в экспоненциально расширяющуюся фазу де Ситтера, которая затем продолжается вечно. Экспоненциальное расширение интерферирует с формированием гравитационных уплотнений, но как только сгусток материи становится гравитационно связанным, его последующаая эволюция не зависит от космологической постоянной. Дальше, мы не знаем, какие сверхъестественные формы может принимать жизнь, но трудно вообразить, что она могла бы развиваться вообще без гравитационных уплотнений в первоначально гладкой вселенной. Поэтому антропный принцип дает довольно свежее предсказание: $\lambda_<\rm eff>$ должна быть достаточно мала, чтобы позволить формирование достаточно больших гравитационных уплотнений (Вейнберг, 1987). Это было разработано количественно, но главный результат легко понять без детальных вычислений. Мы знаем, что в нашей вселенной гравитационное уплотнение уже началось при красном смещении $z_c\geq4$. В это время плотность энергии была больше, чем существующая плотность массы $\rho_$, на множитель $(1+z_c)^3 \geq 125$. Космологическая константа оказывает слабое влияние, до тех пор пока невакуумная плотность энергии больше, чем $\rho_V$, так что можно заключить, что вакуумная плотность энергии $\rho_V$ не большая, чем, скажем, $100\rho_$ не была бы достаточной, чтобы предотвратить гравитационные уплотнения. [Количественный анализ Вейнберга (1987) показывает, что для $k = 0$ вакуумная плотность энергии, не превышающая $\pi^2(1+z_c)^3\rho_/3$ не предотвратила бы гравитационную конденсацию для красного смещения $z_c$; это будет $410\rho_$ для $z_c=4$.] Этот результат строго предполагает, что если за малость космологической константы отвечает антропный принцип, то мы ожидали бы для вакуумной плотности энергии $\rho_V

(10-l00)\rho_$, потому что нет никакой антропной причины для того, чтобы она была меньше. Является ли такая большая вакуумная плотность энергии, наблюдательно дозволенной? Имеется множество различных типов астрономических данных, которые дают отличающиеся ответы на этот вопрос.

A. Плотность массы

Если, как часто предполагается, вселенная теперь имеет незначительную пространственную кривизну, то $$ \Omega_V+\Omega_=1, (5.2) $$ где $\Omega_V$ и $\Omega_$ -- отношения вакуумной плотности энергии и существующей плотности массы к критической плотности $$ \Omega_V\equiv\frac<8\pi G\rho_V><3^2>=\frac<\lambda_<\rm eff>><3^2>, $$ $$ \Omega_=\frac<8\pi G\rho_><3^2>. $$ Динамика кластеров галактик, кажется, указывает, что $\Omega_$ находится в интервале $0.1-0.2$ (Knapp и Kormendy, 1987), что, при этих предположениях, указывает на значение $\rho_V/\rho_$ в интервале $4-9$. Если мы обесцениваем доказательство, происходящее от динамики кластеров галактик, то $\Omega_$ могло бы быть равным всего лишь $0.02$ (Knapp и Kormendy, 1987), соответствуя значению of $\rho_V/\rho_\approx 50$. [См. также Bahcaller и др. (1987).] \subsection * Для вселенной, где доминирует пыль, с $k = 0$ и $\rho_V = 0$, ее возраст будет равен $t_0 = 2/3H_0$. Для $H_0 = 100 км/сек\ Мпс$, это -- $7\times <10>^9$ лет, значительно меньше, чем обычно оцениваемый возраст шаровидных кластеров (Renzini, 1986). С другой стороны, для доминированной пылью вселенной с $k = 0$ и $\rho_V\ne 0$, современный возраст объекта, который сформировался при красном смещении $z_c$, будет $$ t_0(z_c)=\frac<2><3>\left(1+\frac<\rho_> <\rho_V>\right)^<1/2>H_0^ <-1>\left\<\sinh^<-1>\left(\frac<\rho_V><\rho_> \right)^<1/2>\right.- $$ $$ -\left.\sinh^<-1>\left[\left(\frac<\rho_V><\rho_> \right)^<1/2>(1+z_c)^<-3/2>\right]\right\> $$ (5.4) Например, для $z_c=4$ и $\rho_V/\rho_ = 9$ (то есть, $\Omega_ = 0. 1$) это дает возраст $1.1H_0^<-1>$ вместо $\frac<2><3>^<-1>$. Это не противоречит возрасту шаровидных кластеров даже для постоянной Хаббла около $100\ км/сек\ Мпс$. Эти соображения о космическом возрасте и плотности привели множество астрономов к предположению о довольно большой положительной космологической постоянной, с $\rho_V>\rho_$ [de Vaucouleurs (1982,1983); Пиблз (1984,1987a, 1987b); Turner, Steigman, и Krauss (1984)]. Однако, недавно появился сильный аргумент против этого предположения, который мы теперь рассмотрим.

C. Численные подсчеты

Только зарегистрированные пользователи могут оставлять комментарии. Войдите или зарегистрируйтесь пожалуйста.

Источник