Кривизна пространства и кривизна Вселенной
Приветствую, друзья! Давайте сегодня разберемся в разнице двух понятий. Всегда надо думать, не имеет ли слово иного значения, пусть и связанного. Вот по-итальянски te — это «тебя» и еще «чай», так что voglio te означает «хочу тебя», но вошедшая в бар очаровательная девушка имела в виду «хочу чаю». Да, это не совсем верно (нужен артикль) и грубовато (надо vorrei il te, per favore ), но зато поженились. История не моя . А есть еще ti voglio bene , что формально значит «я тебе желаю хорошего» и фактически «я люблю тебя», но без страсти, по-дружески. И очень опасно сказать te !
Но я отвлекся. В Общей теории относительности связывают гравитацию с кривизной пространства-времени, описывая траектории тел как геодезические линии в пространстве с кривизной. Кривизну создают массы, распределение и потоки энергии и импульса. Хотя можно считать, что наоборот: массы суть проявления кривизны, и эти понятия неразделимы, как инь и ян. Так вот, неподалеку от Солнца пространство-время обладает кривизной, которая и проявляется в формя тяготения.
А в космологии говорят о кривизне Вселенной как целого, и она может быть положительной, отрицательной или нулевой. В последнем случае говорят о плоской Вселенной, но плоской не в смысле «как блин», а в смысле нулевой кривизны, по аналогии с плоскостью (цилиндр плоский и тор тоже, кстати). Так вот, по наблюдениям Вселенная именно плоская.
Противоречия здесь, разумеется, нет.
Рассмотрим Землю. Она шар (эллипсоид, геоид — это не важно, сейчас объясню, почему) и ее поверхность обладает положительной кривизной. Полная кривизна всей поверхности равна 4π, и точная форма роли не играет (теорема Гаусса). Но локально на Земле кривизна может быть большой положительной (горные пики или ямы), отрицательной (перевалы), равной нулю.
Начнем с кривизны Вселенной как целого. После того, как мы выяснили, что пространство не является евклидовым, а обладает более сложной геометрией, встает вопрос о типе Вселенной: каким пространством она является как целое?
Пространство обладает числовой характеристикой, именуемой «полная кривизна», или гауссова кривизна. Это довольно любопытная вещь, так как она зависит только от типа пространства, и при деформациях не меняется. Например, у сферы она положительна, 4π, и такая же для эллипсоидов, рогаликов, снеговиков, сосисок, буханок хлеба и тела человека (если игнорировать сквозной желудочно-кишечный тракт: ведь его поверхность не считается поверхностью тела, так?). А вот у тора-бублика, кофейной чашки, тела человека с учетом сквозного тракта и т.д. он равна нулю, они в этом смысле плоские. А есть поверхности с отрицательной кривизной.
Кстати, да: тор плоский в смысле кривизны, хотя на плоскость не похож. Чашка тоже. Подробнее об этом феномене в другой раз.
А есть кривизна в точке. Она описывается тензором кривизны, тензором Риччи, и просто числом, но мы упростим до числовой. Полная кривизна, по сути, есть интеграл от этой числовой кривизны; и вот то, что она не меняется при деформациях, и составляет суть Великой теоремы Гаусса.
Как бонус, Гаусс получил невозможность точно отобразить сферу на плоскость, сиречь изобразить страны на карте. Отображение без искажений кривизну не меняет, а у карты и глобуса кривизны разные. Привет.
Если кривизна положительна, то сумма углов треугольника больше π, если отрицательна, то меньше, а если равна нулю, то сумма точно π, как в школе учили.
Если что, то треугольник с вершинами на полюсе и двумя на экваторе (близ Ганы и на полпути от Шри-Ланки к Яве) имеет три прямых угла.
Кривизна Вселенной определяется, по правилам ОТО, всей массой-энергией всего содержимого. По сравнению с ней, кривизна вблизи Солнца и тем более планет мала, и уж тем более мала она для непосредственного замера. Грубо говоря, треугольник придется брать небольшой, а отклонение суммы углов тогда будет очень мало, нужна огромная точность.
Кривизна Вселенной тоже может быть мала, но можно брать огромные треугольники. И сумма углов, по наблюдениям, очень близка к π. Вселенная плоская, у нее маленькая (если и ненулевая) кривизна.
Это никак не противоречит даже и большим кривизнам вблизи нейтронных звезд и черных дыр, как не противоречит небольшой кривизне Земли наличие огромных кривизн на остриях пиков и острых гранях.
Если остановиться на модели Фридмана (вселенная, заполненная однородно материей), то есть точное решение уравнений ОТО, и в нем фигурирует некоторая критическая плотность. Если плотность материи выше, кривизна Вселенной положительная, а если ниже, то отрицательная. Но у Фридмана кривизна везде одинаковая. Впрочем, это космологическая модель, там и световой год не расстояние, так что локально кривизны могут быть как большие, так и маленькие; главное, чтобы в среднем было сколько надо.
Локально же, вблизи звезд и планет, тяготение — это кривизна. Маленькая, непосредственно ее не измерить, но проявляется в виде сил тяготения, вполне наблюдаемо.
И никакого противоречия нет.
А почему, спросите вы, маленькая, недоступная измерению кривизна проявляется в виде неумолимого тяготения? По подсчетам Перельмана, половину Земной поверхности (которая обращена к Солнцу) пришлось бы утыкать стальными колоннами, чтобы удержать Землю на орбите. Гипотетически.
Измерить-то можно, LIGO измерило ничтожно малые изменения в метрике. Но дело в другом: скорость света велика. Всё движется в пространстве-времени с этой скоростью, либо либо вдоль оси времени, либо под острым углом к ней. Маленькое искривление означает небольшое отклонение, но оно создает заметные движения в пространстве. Примерно как маленькие неровности способны привести к переворачиванию автомобиля, если его скорость велика.
Источник
Спросите Итана №87: Форма вселенной: возможностей много, но реальность одна
Не пытайтесь стереть прошлое. Оно формирует вас сегодняшнего и помогает вам стать тем, кем вы будете завтра.
Вселенная даже больше, чем мы с вами, сформирована условиями, существовавшими во время её рождения. Но какую же форму она приняла? Я выбрал вопрос читателя Тома Берри, который спрашивает:
Я так понимаю, что у вселенной форма седла. Интересно, почему в момент Большого взрыва вся материя не разлетелась равномерно во все стороны и не придала вселенной шарообразную форму?
Начнём с того, что уберём одно измерение, и поговорим о том, что формирует двумерную поверхность. Вы, наверно, представите себе плоскость – типа листа бумаги. Её можно скатать в цилиндр, и хотя поверхность окажется самосвязанной – с одной стороны можно перейти на другую, это всё равно будет плоская поверхность.
Что это значит? Например, можно нарисовать треугольник и сложить размеры внутренних углов. Если мы получим 180 градусов, то поверхность – плоская. Если нарисовать две параллельные линии, они останутся такими на всём протяжении.
Но это лишь один из вариантов.
Поверхность сферы – двумерная, но не плоская. Любая линия начинает закругляться, и если вы сложите углы треугольника, вы получите величину больше, чем 180 градусов. Нарисовав параллельные линии (линии, которые начинаются, как параллельные), вы увидите, что, в конце концов, они встретятся и пересекутся. Такие поверхности имеют положительную кривизну.
Поверхность седла, с другой стороны, представляет другой тип неплоской двумерной поверхности. Она вогнутая по одному направлению и выпуклая по другому, перпендикулярному, и является поверхностью с отрицательной кривизной. Если вы нарисуете на ней треугольник, то получите сумму углов меньше 180 градусов. Две параллельные линии будут расходится в разные стороны.
Ещё можно представить плоский круглый кусочек бумаги. Если вырезать из него клин и заново его склеить, вы получите поверхность положительной кривизны. Если вставить этот клин в другой такой же кусок, вы получите поверхность отрицательной кривизны, как на картинке.
Двумерную поверхность довольно просто представить из трёхмерного пространства. Но в нашей трёхмерной Вселенной всё обстоит несколько сложнее.
Что до кривизны Вселенной, у нас есть три варианта:
— положительная кривизна, как бы сфера в высших измерениях
— отрицательная, как бы седло в высших измерениях
— нулевая (плоская) – как трёхмерная решётка
Можно было бы подумать, что наличие Большого взрыва предполагает первый, сферический вариант, поскольку Вселенная вроде бы одинакова во всех направлениях — но это не так. Есть очень интересная причина, по которой Вселенная одинаковая во всех направлениях – и она никак не связана с кривизной.
То, что Вселенная одинакова во всех местах (гомогенна) и направлениях (изотропна), доказывает существование Большого взрыва, гипотеза о котором говорит, что всё началось с горячего и плотного однородного состояния, в котором начальные условия и законы природы везде были одинаковы.
С течением времени небольшие отклонения приводят к появлению структур – звёзд, галактик, кластеров, и великих пустот. Но причина однородности вселенной – в том, что всё имело одно и то же начало, а не в кривизне.
Но мы можем померить величину кривизны.
На картинке представлены шаблоны флуктуаций, запечатлённые в фоновом космическом излучении. От того, как работает Вселенная и из чего она состоит, зависят пики флуктуаций – самые горячие и холодные места на конкретных угловых масштабах. Если у Вселенной отрицательная кривизна (седло), Вселенная склоняется к меньшему масштабу, если положительная – к большему.
Причина та же, что мы описывали – как прямые линии ведут себя на этих поверхностях.
Поэтому нам просто необходимо изучить флуктуации фонового космического микроволнового излучения, и мы сможем измерить кривизну наблюдаемой Вселенной.
И что же мы получим?
А получим мы, что величина кривизны, показанная в голубых кружочках, равна примерно 0.5%. Это говорит о том, что кривизна Вселенной неотличима от плоскости.
Она действительно расширялась равномерно во все стороны, но к кривизне это отношения не имеет. Конечно, на гораздо больших, чем мы можем наблюдать, масштабах, кривизна Вселенной может быть ненулевой. Инфляционный процесс, происходивший после Большого взрыва, экспоненциально увеличивает каждый участок Вселенной.
То есть, возможно, что кривизна Вселенной положительная или отрицательная, что она похожа на седло или сферу, что она может быть самосвязанной, и мы сможем выйти с одного конца и попасть на другой. Этого исключать нельзя – но в наблюдаемой части этого нет. И для нас Вселенная неотличима от плоской. Но, как показано на рисунке в части D, можно считать, что ваше пространство плоское, а при этом Вселенная может не быть плоской. Это вывод из той информации, которой мы располагаем.
Источник
Иллюзия гравитации
Хуан Малдасена
«В мире науки» №2, 2006
- Непростое объединение
- Пространство-время отрицательной кривизны
- Голограмма
- Тайны черных дыр
Пространство-время отрицательной кривизны
На этом рисунке Мориц Эшер изобразил гиперболическое пространство. На самом деле все рыбы одинаковы по размеру, а круговая граница бесконечно далека от центра диска. На плоской проекции гиперболического пространства удаленные рыбы сжимаются, чтобы бесконечное пространство уместилось в конечном круге.
Если построить изображение без сжатия, пространство окажется сильно изогнутым, причем каждый маленький участок его будет иметь седлообразную форму с дополнительными складками (изображение с сайта www.oko-planet.spb.ru)
Самое простое пространство с постоянной отрицательной кривизной называют гиперболическим. На одной из своих картин Мориц Эшер изобразил плоскую карту такого пространства. По краям рыбки становятся все меньше и меньше из-за того, что искривленное пространство деформируется при отображении на плоский лист бумаги. Точно также на карте земного шара страны вблизи полюсов растягиваются.
Подобным образом можно рассматривать и пространство-время с положительной или отрицательной кривизной. Самое простое пространство-время с положительной кривизной называют пространством де Ситтера в честь голландского физика Виллема де Ситтера, который ввел его в рассмотрение. Многие космологи полагают, что очень ранняя вселенная была близка к пространству де Ситтера. В далеком будущем из-за космического ускорения она снова может стать похожей на него. Самое простое пространство-время с отрицательной кривизной называют анти-де Ситтеровским пространством (или кратко — АДС-пространством). Оно подобно гиперболическому, но также содержит ось времени. В отличие от нашей вселенной, которая расширяется, АДС-пространство не расширяется, не сжимается и всегда выглядит одинаково. Тем не менее, оно оказывается весьма полезным при разработке квантовых теорий пространства-времени и гравитации.
Если мы изобразим гиперболическое пространство в виде диска, напоминающего рисунок Эшера, то АДС-пространство будет похоже на стопку таких дисков, образующую сплошной цилиндр. Изменению времени соответствует движение вдоль цилиндра. Гиперболическое пространство может иметь больше двух измерений. АДС-пространство, больше всего похожее на наше пространство-время (с тремя пространственными измерениями), дает в поперечном сечении своего «цилиндра» трехмерную «картину Эшера».
Физика в АДС-пространстве несколько необычна. Свободно перемещаясь в нем, наблюдатель чувствовал бы себя как на дне гравитационного колодца. Любой брошенный им предмет возвращался бы к нему как бумеранг. Любопытно, что время, требуемое для возвращения, не зависело бы от того, с какой силой был брошен предмет. Однако чем сильнее бросить его, тем дальше он пролетит туда и обратно. Если бы обитателю этого причудливого мира вздумалось посветить лазером куда-нибудь в пустоту, то фотоны, движущиеся со скоростью света, достигли бы бесконечности и возвратились к источнику излучения за конечное время. Дело в том, что в АДС-пространстве объекты, удаляясь от наблюдателя, испытывают все большее сокращение времени.
В голографической теории речь идет об отрицательно изогнутом пространстве-времени (анти-де Ситтеровское пространство, или АДС-пространство)
Представьте себе диски гиперболического пространства, сложенные один на другой. Каждый диск представляет состояние вселенной в определенный момент времени. Получившийся цилиндр – трехмерное АДСпространство, в котором ось времени направлена вдоль образующей. Физика в таком пространствевремени несколько необычна: частица (например, теннисный мяч, зеленая линия), брошенная от центра, всегда возвращается назад за определенный промежуток времени. Лазерный луч (красная линия) достигает границы вселенной и возвращается назад за то же самое время. В четырехмерном АДСпространстве, которое больше похоже на нашу Вселенную, граница в каждый момент времени была бы не кругом, а сферой.
Источник