С поверхности луны стартовала ракета массой 2т спустя время ракета достигла

p₁=p₂; |p₁|=10 кгм/с). Считая удар шаров прямым, центральным и упругим, определить импульс p₁ ‘ первого шара после удара, если отношение масс шаров равно четырем.

2.2.86. В одном направлении движутся два шара с одинаковыми импульсами (p₁=p₂; |p₁|=10 кгм/с). Считая удар шаров прямым, центральным и упругим, определить импульс p₂ ‘ второго шара после удара, если отношение масс шаров равно четырем.

Ответ: а) p₂ ‘ =20 кгм/с; б) p₂ ‘ =22 кгм/с; в) p₂ ‘ =24 кгм/с; г) p₂ ‘ =26 кгм/с; д) p₂ ‘ =28 кгм/с.

2.2.87. Два шара с одинаковыми импульсами (p₁=p₂; |p₁|=10 кгм/с) движутся навстречу друг другу. Считая удар шаров прямым, центральным и упругим, определить численное значение импульса p₁ ‘ первого шара после удара, если отношение масс шаров равно четырем.

Ответ: а) p₁ ‘ =10 кгм/с; б) p₁ ‘ =12 кгм/с; в) p₁ ‘ =14 кгм/с; г) p₁ ‘ =16 кгм/с; д) p₁ ‘ =18 кгм/с.

2.2.88. Два шара с одинаковыми импульсами (p₁=-p₂; |p₁|=10 кгм/с) движутся навстречу друг другу. Считая удар шаров прямым, центральным и упругим, определить численное значение импульса p₂ ‘ второго шара после удара, если отношение масс шаров равно четырем.

Ответ: а) p₂ ‘ =18 кгм/с; б) p₂ ‘ =16 кгм/с; в) p₂ ‘ =14 кгм/с; г) p₂ ‘ =12 кгм/с; д) p₂ ‘ =10 кгм/с.

2.2.89. Катер массой m=1,5 т начинает движение по озеру под действием постоянной силы тяги. Определить, через какой промежуток  скорость катера достигнет значения, равного половине максимально достижимой скорости. Принять силу сопротивления пропорциональной скорости катера. Коэффициент сопротивления 100 кг/с.

Ответ: а) =13,4 с; б) =12,4 с; в) =11,4 с; г) =10,4 с; д) =9,4 с.

2.2.90. Моторная лодка массой m=200 кг, достигнув скорости v=8 м/с, стала двигаться далее с выключенным двигателем. Считая силу сопротивления пропорциональной скорости, определить путь, пройденный лодкой за время  с момента выключения двигателя. Коэффициент сопротивления принять равным 25 кг/с.

Ответ: а) S=41,7 м; б) S=43,7 м; в) S=45,7 м; г) S=47,7 м; д) S=49,7 м.

2.2.91. С поверхности Луны стартовала ракета массой m_c=2 т. Спустя время  ракета достигла первой (лунной) космической скорости v₁=1,68 км/с. Определить массовый расход =m_c/ топлива, если скорость истечения газов из сопла ракеты равна u=4 км/с. силой тяжести пренебречь.

Ответ: а) =1,58 кг/с; б) =1,68 кг/с; в) =1,78 кг/с; г) =1,88 кг/с; д) =1,98 кг/с.

2.2.92. Топливо баллистической ракеты составляет =¾ от стартовой массы ракеты. Определить скорость v ракеты после полного сгорания топлива, если скорость u истечения газов из сопла ракеты постоянна и равна 2 км/с. Силой тяжести и сопротивлением воздуха пренебречь.

Ответ: а) v=2,77 км/с; б) v=2,67 км/с; в) v=2,57 км/с; г) v=2,47 км/с; д) v=2,37 км/с.

2.2.93. Во сколько раз будет отличаться ускорение ракеты от стартового ускорения а_с в тот момент времени, когда ее скорость v станет равной скорости u истечения газов из сопла ракеты? Силу тяги считать неизменной. Силами тяжести и сопротивления воздуха пренебречь.

2.2.94. Каково относительное изменение (Δm/m_c) массы ракеты (m_с – стартовая масса) к тому времени, когда ее скорость v достигнет скорости u истечения газов из сопла ракеты. Силами тяжести и сопротивления воздуха пренебречь.

в) (Δm/m_c) =0,632; г) (Δm/m_c) =0,642; д) (Δm/m_c) =0,652.

2.2.95. Однородный тонкий стержень массой m₁=0,2 кг и длиной =1 м может свободно вращаться вокруг горизонтальной оси z, проходящей через точку О (рис. 2.83). В точку А на стержне попадает пластилиновый шарик, летящий горизонтально (перпендикулярно оси z) со скоростью v=10 м/с и прилипает к стержню. Масса шарика m₂=10 г. Определить угловую скорость  стержня в начальный момент времени, если расстояние между точками А и О равно а=/2.

Ответ: а) =2,31 рад/с; б) =2,41 рад/с; в) =2,51 рад/с; г) =2,61 рад/с; д) =2,71 рад/с.

2.2.96. Однородный тонкий стержень массой m₁=0,2 кг и длиной =1 м может свободно вращаться вокруг горизонтальной оси z, проходящей через точку О (рис. 2.83). В точку А на стержне попадает пластилиновый шарик, летящий горизонтально (перпендикулярно оси z) со скоростью v=10 м/с и прилипает к стержню. Масса шарика m₂=10 г. Определить угловую скорость  стержня в начальный момент времени, если расстояние между точками А и О равно а=/3.

Ответ: а) =1,83 рад/с; б) =1,73 рад/с; в) =1,63 рад/с; г) =1,53 рад/с; д) =1,43 рад/с.

2.2.97. Однородный тонкий стержень массой m₁=0,2 кг и длиной =1 м может свободно вращаться вокруг горизонтальной оси z, проходящей через точку О (рис. 2.83). В точку А на стержне попадает пластилиновый шарик, летящий горизонтально (перпендикулярно оси z) со скоростью v=10 м/с и прилипает к стержню. Масса шарика m₂=10 г. Определить угловую скорость  стержня в начальный момент времени, если расстояние между точками А и О равно а=/4.

Ответ: а) =0,869 рад/с; б) =0,859 рад/с; в) =0,849 рад/с;

г) =0,839 рад/с; д) =0,829 рад/с.

2.2.98. Однородный тонкий стержень массой m₁=0,2 кг и длиной =1 м может свободно вращаться вокруг горизонтальной оси z, проходящей через точку О (рис. 2.83). В точку А на стержне попадает пластилиновый шарик, летящий горизонтально (перпендикулярно оси z) со скоростью v=10 м/с и прилипает к стержню. Масса шарика m₂=10 г. Определить линейную скорость u нижнего конца стержня в начальный момент времени, если расстояние между точками А и О равно а=/2.

Ответ: а) u=1,10 м/с; б) u=1,20 м/с; в) u=1,30 м/с; г) u=1,40 м/с; д) u=1,50 м/с.

2.2.99. Однородный тонкий стержень массой m₁=0,2 кг и длиной =1 м может свободно вращаться вокруг горизонтальной оси z, проходящей через точку О (рис. 2.83). В точку А на стержне попадает пластилиновый шарик, летящий горизонтально (перпендикулярно оси z) со скоростью v=10 м/с и прилипает к стержню. Масса шарика m₂=10 г. Определить линейную скорость u нижнего конца стержня в начальный момент времени, если расстояние между точками А и О равно а=/3.

Ответ: а) u=0,962 м/с; б) u=0,952 м/с; в) u=0,942 м/с; г) u=0,932 м/с; д) u=0,922 м/с.

2.2.100. Однородный тонкий стержень массой m₁=0,2 кг и длиной =1 м может свободно вращаться вокруг горизонтальной оси z, проходящей через точку О (рис. 2.83). В точку А на стержне попадает пластилиновый шарик, летящий горизонтально (перпендикулярно оси z) со скоростью v=10 м/с и прилипает к стержню. Масса шарика m₂=10 г. Определить линейную скорость u нижнего конца стержня в начальный момент времени, если расстояние между точками А и О равно а=/4.

Ответ: а) u=0,629 м/с; б) u=0,639 м/с; в) u=0,649 м/с; г) u=0,659 м/с;

2.2.101. Однородный диск массой m₁=0,2 кг и радиусом R=20 см может свободно вращаться вокруг горизонтальной оси z, перпендикулярной плоскости диска и проходящей через точку О. В точку А на образующей диска попадает пластилиновый шарик, летящий горизонтально (перпендикулярно оси z) со скоростью v=10 м/с, и прилипает к его поверхности (рис. 2.84). Масса шарика m₂=10 г. Определить угловую скорость  диска в начальный момент времени, если расстояние a=b=R.

Ответ: а) =4,25 рад/с; б) =4,35 рад/с; в) =4,45 рад/с;

г) =4,55 рад/с; д) =4,65 рад/с.

2.2.102. Однородный диск массой m₁=0,2 кг и радиусом R=20 см может свободно вращаться вокруг горизонтальной оси z, перпендикулярной плоскости диска и проходящей через точку О (рис. 2.84). В точку А на образующей диска попадает пластилиновый шарик, летящий горизонтально (перпендикулярно оси z) со скоростью v=10 м/с, и прилипает к его поверхности. Масса шарика m₂=10 г. Определить угловую скорость  диска в начальный момент времени, если расстояние a=R/2; b=R.

Ответ: а) =2,47 рад/с; б) =2,37 рад/с; в) =2,27 рад/с; г) =2,17 рад/с; д) =2,07 рад/с.

2.2.103. Однородный диск массой m₁=0,2 кг и радиусом R=20 см может свободно вращаться вокруг горизонтальной оси z, перпендикулярной плоскости диска и проходящей через точку О (рис. 2.84). В точку А на образующей диска попадает пластилиновый шарик, летящий горизонтально (перпендикулярно оси z) со скоростью v=10 м/с, и прилипает к его поверхности. Масса шарика m₂=10 г. Определить угловую скорость  диска в начальный момент времени, если расстояние a=2R/3; b=R/2.

Ответ: а) =3,13 рад/с; б) =3,03 рад/с; в) =2,93 рад/с; г) =2,83 рад/с; д) =2,73 рад/с.

2.2.104. Однородный диск массой m₁=0,2 кг и радиусом R=20 см может свободно вращаться вокруг горизонтальной оси z, перпендикулярной плоскости диска и проходящей через точку О (рис. 2.84). В точку А на образующей диска попадает пластилиновый шарик, летящий горизонтально (перпендикулярно оси z) со скоростью v=10 м/с, и прилипает к его поверхности. Масса шарика m₂=10 г. Определить угловую скорость  диска в начальный момент времени, если расстояние a=R/3; b=2R/3.

Ответ: а) =1,52 рад/с; б) =1,62 рад/с; в) =1,72 рад/с; г) =1,82 рад/с; д) =1,92 рад/с.

2.2.105. Однородный диск массой m₁=0,2 кг и радиусом R=20 см может свободно вращаться вокруг горизонтальной оси z, перпендикулярной плоскости диска и проходящей через точку О (рис. 2.84). В точку А на образующей диска попадает пластилиновый шарик, летящий горизонтально (перпендикулярно оси z) со скоростью v=10 м/с, и прилипает к его поверхности. Масса шарика m₂=10 г. Определить линейную скорость u точки В на диске в начальный момент времени, если расстояние a=b=R.

Ответ: а) u=1,009 м/с; б) u=0,909 м/с; в) u=0,809 м/с; г) u=0,709 м/с; д) u=0,609 м/с.

2.2.106. Однородный диск массой m₁=0,2 кг и радиусом R=20 см может свободно вращаться вокруг горизонтальной оси z, перпендикулярной плоскости диска и проходящей через точку О (рис. 2.84). В точку А на образующей диска попадает пластилиновый шарик, летящий горизонтально (перпендикулярно оси z) со скоростью v=10 м/с, и прилипает к его поверхности. Масса шарика m₂=10 г. Определить линейную скорость u точки В на диске в начальный момент времени, если расстояние a=R/2; b=R.

Ответ: а) u=0,474 м/с; б) u=0,464 м/с; в) u=0,454 м/с; г) u=0,444 м/с; д) u=0,434 м/с.

2.2.107. Однородный диск массой m₁=0,2 кг и радиусом R=20 см может свободно вращаться вокруг горизонтальной оси z, перпендикулярной плоскости диска и проходящей через точку О (рис. 2.84). В точку А на образующей диска попадает пластилиновый шарик, летящий горизонтально (перпендикулярно оси z), и прилипает к его поверхности. Скорость шарика v=10 м/с, его масса m₂=10 г. Определить линейную скорость u точки В на диске в начальный момент времени, если расстояние a=2R/3; b=R/2.

Ответ: а) u=0,323 м/с; б) u=0,323 м/с; в) u=0,313 м/с; г) u=0,303 м/с; д) u=0,293 м/с.

2.2.108. Однородный диск массой m₁=0,2 кг и радиусом R=20 см может свободно вращаться вокруг горизонтальной оси z, перпендикулярной плоскости диска и проходящей через точку О (рис. 2.84). В точку А на образующей диска попадает пластилиновый шарик, летящий горизонтально (перпендикулярно оси z), и прилипает к его поверхности. Скорость шарика v=10 м/с, его масса m₂=10 г. Определить линейную скорость u точки В на диске в начальный момент времени, если расстояние a=R/3; b=2R/3.

Ответ: а) u=0,242 м/с; б) u=0,232 м/с; в) u=0,222 м/с; г) u=0,212 м/с; д) u=0,202 м/с.

2.2.109. На краю горизонтальной платформы, имеющей форму диска радиусом R=2 м, стоит человек массой m₁=80 кг. Масса платформы m₂=240 кг. Платформа может вращаться вокруг вертикальной оси, проходящей через ее центр. Пренебрегая трением, найти, с какой угловой скоростью  будет вращаться платформа, если человек будет идти вдоль ее края со скоростью v=2 м/с относительно платформы (рис. 2.85).

Ответ: а) =0,8 рад/с; б) =0,7 рад/с; в) =0,6 рад/с;

2.2.110. Платформа, имеющая форму диска, может вращаться около вертикальной оси. На краю платформы стоит человек массой m₁=60 кг. На какой угол  повернется платформа, если человек пойдет вдоль края платформы и, обойдя его, вернется в исходную точку на платформе? Масса платформы m₂=240 кг. Момент инерции человека рассчитывать, как для материальной точки (рис. 2.85).

Ответ: а) =-135 0 ; б) =-130 0 ; в) =-125 0 ;

2.2.111. Платформа в виде диска радиусом R=1 м вращается по инерции с частотой ₁=6 мин -1 . На краю платформы стоит человек, масса которого m₂=80 кг (рис. 2.86). С какой частотой  будет вращаться платформа, если человек перейдет в ее центр? Момент инерции платформы I=120 кгм 2 . Момент инерции человека рассчитывать, как для материальной точки.

Ответ: а) =16 мин -1 ; б) =14 мин -1 ; в) =12 мин -1 ; г) =10 мин -1 ;

2.2.112. В центре скамьи Жуковского стоит человек и держит в руках стержень длиной =2,4 м и массой m=8 кг, расположенный вертикально по оси вращения скамьи (рис. 2.87). Скамья с человеком вращается с частотой ₁=1 с -1 . С какой частотой ₂ будет вращаться скамья с человеком, если он повернет стержень в горизонтальное положение? Суммарный момент инерции человека и скамьи I=6 кгм 2 .

2.2.113. Три лодки одинаковой массы m=120 кг идут в кильватер (друг за другом) с одинаковой скоростью v=5 м/с. Из средней лодки одновременно в переднюю и заднюю лодки бросают со скоростью u=2 м/с грузы массой m₁=10 кг (рис. 2.88). Какова будет скорость первой лодки после переброски грузов?

д) v₁=4,8 м/с.

2.2.114. Три лодки одинаковой массы m=120 кг идут в кильватер (друг за другом) с одинаковой скоростью v=5 м/с. Из средней лодки одновременно в переднюю и заднюю лодки бросают со скоростью u=2 м/с грузы массой m₁=10 кг (рис. 2.88). Какова будет скорость второй лодки после переброски грузов?

2.2.115. Три лодки одинаковой массы m=120 кг идут в кильватер (друг за другом) с одинаковой скоростью v=5 м/с. Из средней лодки одновременно в переднюю и заднюю лодки бросают со скоростью u=2 м/с грузы массой m₁=10 кг (рис. 2.88). Какова будет скорость третьей лодки после переброски грузов?

2.2.116. Однородная тонкая пластинка массы m₀=1 кг может свободно вращаться вокруг вертикальной оси (рис. 2.89). В точку А, находящуюся на расстоянии 2/3а (а=10 см) от оси, нормально к пластинке ударяется шар с массой m=0,5 кг, летевший со скоростью v=2 м/с. Определить угловую скорость пластинки после соударения, которое происходит по закону упругого удара.

Ответ: а) =24 рад/с; б) =26 рад/с; в) =28 рад/с; г) =30 рад/с; д) =32 рад/с.

2.2.117. Однородная тонкая пластинка массы m₀=1 кг может свободно вращаться вокруг вертикальной оси (рис. 2.89). В точку А, находящуюся на расстоянии 2/3а (а=10 см) от оси, нормально к пластинке ударяется шар с массой m=0,5 кг. Шар летел со скоростью v=2 м/с. Определить линейную скорость шара после соударения, которое происходит по закону упругого удара.

2.2.118. Однородный сосновый брус с массой М (плотность сосны =0,510 3 кг/м 3 ), длина которого ℓ=300 см, ширина b=25 см и толщина d=10 см, может вращаться около оси АВ, проходящей через один из его концов, параллельной ширине бруса (рис. 2.90). В точку О, отстоящую на расстоянии а=100 см от свободного конца бруса, расположенную по середине его ширины, ударяет горизонтально летящее ядро, массой m=10 кг. Определить начальную скорость ядра v, если брус отклонился на угол =28 0 , а ядро упало на месте удара.

2.2.119. Стержень массой М=5 кг и длиной ℓ=1 м, который может вращаться вокруг горизонтальной неподвижной оси, проходящей через один из его концов, под действием силы тяжести переходит из горизонтального положения в вертикальное положение (рис. 2.91). Проходя через вертикальное положение, нижний конец стержня упруго ударяет о малое тело массой m=0,1 кг, лежащее на гладком горизонтальном столе. Определить скорость v тела m после удара.

2.2.120. Стержень массой М=2 кг и длиной ℓ=1 м, который может вращаться вокруг горизонтальной неподвижной оси, проходящей через один из его концов, под действием силы тяжести переходит из горизонтального положения в вертикальное положение (рис. 2.91). Проходя через вертикальное положение, нижний конец стержня упруго ударяет о малое тело массой m=1 кг, лежащее на гладком горизонтальном столе. Определить, на какое расстояние S переместится тело m после удара, если коэффициент трения между телом и столом k=0,4 и не зависит от скорости. Стержень после удара остановился. Тело скользит по столу без вращения.

Ответ: а) S=1,1 м; б) S=1,3 м; в) S=1,5 м; г) S=1,7 м; д) S=1,9 м.

2.2.121. Зависимость потенциальной энергии тела в центральном силовом поле от расстояния r до центра поля задается функцией . Определить, при каком значении r принимает максимальное значение потенциальная энергия тела.

Ответ: а) r=6,0 см; б) r=5,5 см; в) r=5,0 см; г) r=4,5 см; д) r=4 см.

2.2.122. Зависимость потенциальной энергии тела в центральном силовом поле от расстояния r до центра поля задается функцией . Определить, при каком значении r принимает максимальное значение сила, действующая на тело.

2.2.123. Считая плотность Земли постоянной, определить глубину, на которой ускорение свободного падения составляет 25% от ускорения свободного падения на поверхности Земли.

Ответ: а) h=4,410 6 м; б) h=4,610 6 м; в) h=4,810 6 м; г) h=5,010 6 м; д) h=5,210 6 м.

2.2.124. Принимая, что радиус Земли известен, определить, на какой высоте h над поверхностью Земли напряженность поля тяготения равна 4,9 Н/кг.

Ответ: а) h=2,5410 6 м; б) h=2,6410 6 м; в) h=2,7410 6 м; г) h=2,8410 6 м; д) h=2,9410 6 м.

2.2.125. Определить, в какой точке (считая от поверхности Земли) на прямой, соединяющей центры Земли и Луны, напряженность поля тяготения равна нулю. Расстояние между центрами Земли и Луны равно R, масса Земли в 81 раз больше массы Луны.

Ответ: а) h=0,9R; б) h=0,7R; в) h=0,5R; г) h=0,3R; д) h=0,1R.

2.2.126. Два одинаковых однородных шара из одинакового материала соприкасаются друг с другом. Определить, как изменится потенциальная энергия их гравитационного взаимодействия, если массу шаров увеличить в три раза.

2.2.127. Спутник поднимают на высоту h=6370 км и запускают его по круговой орбите на той же высоте. Определить отношение работ на поднятие (А₁) и на запуск (А₂) спутника.

2.2.128. Определить работу, которую необходимо совершить, чтобы тело массой m=1000 кг, находящееся на Земле, смогло превратиться в спутник Солнца. Сопротивлением среды пренебречь.

Ответ: а) А=65,6 ГДж; б) А=64,6 ГДж; в) А=63,6 ГДж; г) А=62,6 ГДж; д) А=61,6 ГДж.

2.2.129. Масса Земли в n=81,6 раза больше массы Луны. Расстояние  между центрами масс Земли и Луны равно 60,3R (R – радиус Земли). На каком расстоянии r (в единица R) от центра Земли находится точка, в которой суммарная напряженность гравитационного поля Земли и Луны равна нулю?

Ответ: а) r=58,3R; б) r=57,3R; в) r=56,3R; г) r=55,3R; д) r=54,3R.

2.2.130. Луна движется вокруг Земли со скоростью v₁=1,02 км/с. Среднее расстояние Луны от Земли =60,3R (R – радиус Земли). Определить по этим данным, с какой скоростью v₂ должен двигаться искусственный спутник, вращающийся вокруг Земли на незначительной высоте над ее поверхностью.

2.2.131. Зная среднюю скорость v₁ движения Земли вокруг Солнца (30 км/с), определить, с какой средней скоростью v₂ движется малая планета, радиус орбиты которой в n=4 раза больше радиуса орбиты Земли?

2.2.132. Космическая ракета, ставшая искусственной планетой, обращается вокруг Солнца по эллипсу. Наименьшее расстояние r_min ракеты от Солнца равно 0,97, наибольшее расстояние r_max равно 1,31 среднего расстояния Земли от Солнца. Определить период вращения (в годах) искусственной планеты.

Ответ: а) T=1,12 года; б) T=1,22 года; в) T=1,32 года; г) T=1,42 года; д) T=1,52 года.

2.2.133. Ближайший спутник Марса находится на расстоянии r=9,410 6 м от центра планеты и движется вокруг нее со скоростью v=2,1 км/с. Определить массу Марса.

Ответ: а) М=6,1110 23 кг; б) М=6,2110 23 кг; в) М=6,3110 23 кг;

г) М=6,4110 23 кг; д) М=6,5110 23 кг.

2.2.134. Ракета, запущенная с Земли на Марс, летит, двигаясь вокруг Солнца по эллиптической орбите (рис. 2.92). Среднее расстояние r планеты Марс от Солнца равно 1,5 среднего расстояния Земли от Солнца. В течение какого времени t будет лететь ракета до встречи с Марсом?

Ответ: а) t=275 суток; б) t=265 суток; в) t=255 суток; г) t=245 суток; д) t=235 суток.

2.2.135. Определить значения потенциала  гравитационного поля на поверхности Солнца.

Ответ: а) =-186 ГДж/кг; б) =-188 ГДж/кг; в) =-190 ГДж/кг;

г) =-192 ГДж/кг; д) =-194 ГДж/кг.

2.2.136. Ракета пущена с Земли с начальной скоростью 15 км/с. К какому пределу будет стремиться скорость ракеты, если расстояние от Земли бесконечно увеличивается? Сопротивление воздуха и притяжение других небесных тел, кроме Земли, не учитывать.

2.2.137. Комета огибает Солнце, двигаясь по орбите, которую можно считать параболической. С какой скоростью v движется комета, когда она проходит через ближайшую к Солнцу точку своей орбиты (перигей), если расстояние r кометы от Солнца в этот момент равно 50 Гм?

Ответ: а) v=75,6 км/с; б) v=74,6 км/с; в) v=73,6 км/с; г) v=72,6 км/с; д) v=71,6 км/с.

2.2.138. Малая планета в виде шара радиусом R₁, обладающая массой M, создает вокруг себя гравитационной поле (поле тяготения). Концентрическая этой планете поверхность делит пространство на две части (внутреннюю конечную и внешнюю бесконечную) так, что энергия гравитационного поля обеих частей одинакова. Определить радиус R₂ этой сферической поверхности.

2.2.139. Две малых планеты радиусами R₁=4 км и R₂=6 км обладают равномерно распределенными по объему массами M₁=210 15 т и M₂=310 15 т. Расстояние ℓ между центрами планет равно 20 км. Определить потенциальную энергию гравитационного поля такой системы с учетом собственной потенциальной энергии планет.

Ответ: а) W=2010 22 Дж; б) W=1810 22 Дж; в) W=1610 22 Дж;

г) W=1410 22 Дж; д) W=1210 22 Дж.

2.2.140. Найти расстояние между компонентами двойной звезды, если их общая масса М₁+М₂ равна удвоенной массе Солнца М₀ и звезды обращаются по круговым орбитам вокруг их центра масс с периодом Т=2Т₀, где Т₀ – продолжительность земного года. Расстояние от Земли до Солнца R₀=1,510 8 км.

Ответ: а) R=3,010 8 км; б) R=3,210 8 км; в) R=3,410 8 км; г) R=3,610 8 км;

2.2.141. Среднее время обращения советского корабля-спутника «Восток», на котором Ю.А. Гагарин 12 апреля 1961 г. впервые облетел вокруг земного шара, Т₁=89,2 мин при средней высоте полета над земной поверхностью h=254 км. Ближайший спутник Марса («Фобос») обращается вокруг планеты за время Т₂=7,65 ч, находясь от центра Марса в среднем на расстоянии R₂=9350 км. Определить отношение массы Марса М₂ к массе Земли М₁, если средний радиус земного шара R=6371 км.

2.2.142. Искусственный спутник, имеющий форму шара радиусом r=0,5 м, обращается вокруг Земли по круговой орбите на такой высоте (200 км), где плотность атмосферы =10 -13 г/см 3 . Оценить, на сколько будет снижаться спутник за один оборот вокруг планеты. Плотность вещества спутника ₀=1 г/см 3 . При решении задачи принять, что скорость сопротивления пропорциональна квадрату скорости движения спутника.

Ответ: а) R- 12 м; б) R- 10 м; в) R- 8 м; г) R- 6 м; д) R- 4 м.

2.2.143. Легкий спутник, вращаясь по круговой орбите радиуса R=2R_з (R_з=6400 км-радиус Земли), переходит на эллиптическую орбиту приземления, которая касается земной поверхности в точке, диаметрально противоположной точке начала спуска. Сколько времени продлится спуск по эллиптической орбите? Сопротивление воздуха не учитывать (рис. 2.93).

Ответ: а) =4,110 3 с; б) =4,310 3 с; в) =4,510 3 с; г) =4,710 3 с; д) =4,910 3 с.

2.2.144. Вычислить вторую космическую скорость при старте ракеты с поверхности Юпитера, используя следующие данные. Третий спутник Юпитера («Ганимед») вращается вокруг планеты практически по круговой орбите радиуса R=1,0710 6 км с периодом обращения Т=7,15 суток. Радиус планеты r=710 4 км.

Ответ: а) v=40 км/с; б) v=45 км/с; в) v=50 км/с; г) v=55 км/с; д) v=60 км/с.

2.2.145. Пренебрегая сопротивлением атмосферы, определить минимальную работу которую надо затратить, чтобы доставить массу в 1 кг с поверхности Земли на поверхность Луны. Радиус Земли 6400 км, радиус Луны 1740 км. Ускорение свободного падения на Луне, вызванное ее собственным притяжением, составляет g_Л=0,16g_З, где g_З=9,8 м/с 2 – ускорение свободного падения на поверхности Земли. Влияние Солнца и других планет не учитывать.

Ответ: а) А=6010 6 Дж; б) А=5010 6 Дж; в) А=4010 6 Дж; г) А=3010 6 Дж; д) А=2010 6 Дж.

2.2.146. Вычислить гравитационную постоянную , зная радиус земного шара R, среднюю плотность Земли  и ускорение свободного падения g у поверхности Земли.

Ответ: а) =6,6710 -11 Нм 2 /кг 2 ; б) =6,5710 -11 Нм 2 /кг 2 ;

в) =6,4710 -11 Нм 2 /кг 2 ; г) =6,3710 -11 Нм 2 /кг 2 ; д) =6,2710 -11 Нм 2 /кг 2 .

2.2.147. На прямой, перпендикулярной к оси тонкого однородного стержня и проходящей через его центр, находится частица массы m=0,1 кг. Длина стержня ℓ, его масса М=5 кг, расстояние до частицы L=10 м (рис. 2.94). Найти модуль силы, с которой стержень действует на частицу (L>>ℓ).

Ответ: а) F=31,410 -14 Н; б) F=33,410 -14 Н; в) F=35,410 -14 Н;

г) F=37,410 -14 Н; д) F=39,410 -14 Н.

2.2.148. Имеется тонкий однородный диск радиуса R=0,5 м. Поверхностная плотность диска равна =2,0 кг/м 2 . На прямой, проходящей через центр диска перпендикулярно к нему, на расстоянии x=5 м находится частица массы m=0,1 кг (рис. 2.95). Найти силу F, с которой диск притягивает частицу.

Ответ: а) F=0,05410 -11 Н; б) F=0,04410 -11 Н; в) F=0,03410 -11 Н;

г) F=0,02410 -11 Н; д) F=0,01410 -11 Н.

2.2.149. Имеется тонкий однородный диск радиуса R=0,5 м. Поверхностная плотность диска равна = 2,0 кг/м 2 (рис. 2.95). На прямой, проходящей через центр диска перпендикулярно к нему, на расстоянии x=5 м находится частица массы m=0,1 кг. Найти потенциальную энергию взаимодействия частицы и диска.

Ответ: а) W_p=1,0210 -11 Дж; б) W_p=2,0210 -11 Дж; в) W_p=3,0210 -11 Дж; г) W_p=4,0210 -11 Дж; д) W_p=5,0210 -11 Дж.

2.2.150. Искусственный спутник Земли запущен с экватора и движется по круговой орбите в плоскости экватора в направлении вращения Земли. Найти отношение радиуса орбиты спутника к радиусу Земли при условии, что спутник периодически раз в двое суток проходит над точкой запуска радиус Земли 6400 км, Т=24 ч.

2.2.151. Определить разность числовых значений фазовой и групповой скоростей для частоты =800 Гц, если фазовая скорость задается выражением .

2.2.152. Два когерентных источника колеблются в одинаковых фазах с частотой =400 Гц. Скорость распространения колебаний в среде v=1000 м/с. Определить, при какой наименьшей разности хода будет наблюдаться максимальное усиление колебаний.

Ответ: а) x=3,3 м; б) x=3,1 м; в) x=2,9 м; г) x=2,7 м; д) x=2,5 м.

2.2.153. Два когерентных источника колеблются в одинаковых фазах с частотой =400 Гц. Скорость распространения колебаний в среде v=1000 м/с. Определить, при какой наименьшей разности хода будет наблюдаться максимальное ослабление колебаний.

Ответ: а) x=1,55 м; б) x=1,45 м; в) x=1,35 м; г) x=1,25 м; д) x=1,15 м.

2.2.154. Два динамика расположены на расстоянии d=0,5 м друг от друга и воспроизводят один и тот же музыкальный тон на частоте =1500 Гц. Приемник находится на расстоянии =4 м от центра динамиков. Принимая скорость звука v=340 м/с, определить, на какое расстояние от центральной линии параллельно динамикам надо отодвинуть приемник, чтобы он зафиксировал первый интерференционный минимум.

Ответ: а) x=84,7 см; б) x=86,7 см; в) x=88,7 см; г) x=90,7 см; д) x=92,7 см.

2.2.155. Два приемника расположены на расстоянии d=2,5 м друг от друга и воспроизводят один и тот же музыкальный тон на определенной частоте, который регистрируется приемником, находящимся на расстоянии =3,5 м от центра динамиков. Если приемник передвинуть от центральной линии параллельно динамикам на расстояние x=1,55 м, то он фиксирует первый интерференционный минимум. Скорость звука v=340 м/с. Определить частоту звука.

Ответ: а) =145 Гц; б) =155 Гц; в) =165 Гц; г) =175 Гц; д) =185 Гц.

2.2.156. Микроволновой генератор излучает в положительном направлении оси x плоские электромагнитные волны, которые затем отражаются обратно. Точки М₁ и М₂ соответствуют положениям двух соседних минимумов интенсивности и отстоят друг от друга на расстоянии =5 см. Определить частоту микроволнового генератора.

Ответ: а) =4,0 Гц; б) =3,5 Гц; в) =3,0 Гц; г) =3,5 Гц; д) =4,0 Гц.

2.2.157. Труба, длина которой =1 м, заполнена воздухом и открыта с одного конца. Принимая скорость звука v=340 м/с, определить, при какой наименьшей частоте в трубе будет возникать стоячая звуковая волна.

Ответ: а) =89 Гц; б) =87 Гц; в) =85 Гц; г) =83 Гц; д) =81 Гц.

2.2.158. Определить интенсивность звука, уровень интенсивности L которого составляет 67 дБ. Интенсивность звука на пороге слышимости I₀=10 -12 Вт/м 2 .

Ответ: а) I=3,01 мкВт/м 2 ; б) I=5,01 мкВт/м 2 ; в) I=7,01 мкВт/м 2 ;

г) I=9,01 мкВт/м 2 ; д) I=5,61 мкВт/м 2 .

2.2.159. Скорость распространения звуковой волны в газе с молярной массой =2,910 -2 кг/моль при t=20 0 С составляет 343 м/с. Определить отношение молярных теплоемкостей газа при постоянном давлении и объеме.

Ответ: а) =1,3; б) =1,4; в) =1,5; г) =1,6; д) =1,7.

2.2.160. Средняя квадратичная скорость молекул двухатомного газа при некоторых условиях равна 480 м/с. Определить скорость распространения звука в газе при тех же условиях.

Ответ: а) v=328 м/с; б) v=338 м/с; в) v=348 м/с; г) v=358 м/с; д) v=368 м/с.

2.2.161. Движущийся по реке теплоход дает свисток частотой ₀=400 Гц. Наблюдатель, стоящий на берегу, воспринимает звук свистка частотой =395 Гц. Принимая скорость звука v=340 м/с, определить скорость движения теплохода.

2.2.162. Электропоезд проходит со скоростью 54 км/ч мимо неподвижного приемника и подает звуковой сигнал. Приемник воспринимает скачок частотой =53 Гц. Принимая скорость звука равной 340 м/с, определить частоту тона звукового сигнала электропоезда.

Ответ: а) =619 Гц; б) =609 Гц; в) =599 Гц; г) =589 Гц; д) =579 Гц.

2.2.163. Поезд проходит со скоростью 72 км/ч мимо неподвижного приемника и подает гудок, частота которого =300 Гц. Принимая скорость звука равной 340 м/с, определить скачок частоты, воспринимаемый приемником.

Ответ: а) =40,5 Гц; б) =38,5 Гц; в) =36,5 Гц; г) =34,5 Гц; д) =32,5 Гц.

2.2.164. Два катера движутся навстречу друг другу. С первого катера, движущегося со скоростью v₁=10 м/с, посылается ультразвуковой сигнал частотой ₁=50 Гц, который распространяется в воде. После отражения от второго катера сигнал принят первым катером с частотой ₂=52 кГц. Принимая скорость распространения звуковых колебаний в воде равной 1,54 км/с, определить скорость движения второго катера.

Ответ: а) v=28,2 м/с; б) v=26,2 м/с; в) v=24,2 м/с; г) v=22,2 м/с; д) v=20,2 м/с.

2.2.165. Изменение давления в звуковой волне дается выражением , где p измеряется в паскалях, x – в метрах, а t в секундах. Определить длину волны.

Ответ: а) =6 см; б) =8 см; в) =10 см; г) =12 см; д) =14 см.

2.2.166. Изменение давления в звуковой волне дается выражением , где p измеряется в паскалях, x в метрах, а t в секундах. Определить частоту волны.

Ответ: а) =860 Гц; б) =850 Гц; в) =840 Гц; г) =830 Гц; д) =820 Гц.

2.2.167. Изменение давления в звуковой волне дается выражением , где p измеряется в паскалях, x в метрах, а t в секундах. Определить скорость распространения волны.

Ответ: а) v=5000 мкм/с; б) v=5100 мкм/с; в) v=5200 мкм/с; г) v=5300 мкм/с; д) v=5400 мкм/с.

2.2.168. Изменение давления в звуковой волне дается выражением , где p измеряется в паскалях, x в метрах, а t в секундах. Определить амплитуду смещения волны.

Ответ: а) А=4,010 -11 м; б) А=3,510 -11 м; в) А=3,010 -11 м; г) А=2,510 -11 м; д) А=2,010 -11 м.

2.2.169. Продольная сейсмическая волна падает на границу раздела между двумя породами под углом =10 0 . Относительные плотности пород 3,6 и 4,9. Определить угол преломления, считая модули упругости этих пород одинаковыми.

Ответ: а) =5,6 0 ; б) =6,6 0 ; в) =7,6 0 ; г) =8,6 0 ; д) =9,6 0 .

2.2.170. Вычислить максимальное смещение молекул воздуха для звука на пороге слышимости. Частота звука 1000 Гц.

2.2.171. Человеческое ухо способно воспринимать разницу уровней громкости 1,0 Дб. Каково отношение амплитуд этих звуков, уровни громкости которых отличаются на эту величину?

2.2.172. Звуковая волна с частотой =5000 Гц испускается в направлении тела, которое приближается к источнику звука со скоростью 3,3 м/с. Чему равна частота отраженной волны?

Ответ: а)  ‘ =5020 Гц; б)  ‘ =5030 Гц; в)  ‘ =5040 Гц; г)  ‘ =5050 Гц; д)  ‘ =5060 Гц.

2.2.173. Подводная лодка, погружаясь вертикально, излучает короткие звуковые импульсы сигнала гидролокатора длительностью ₀=100 мс в направлении дна. Длительность отраженных сигналов, измеренных гидроакустиком на лодке, равна =99,5 мс. Какова скорость погружения лодки? Скорость звука в воде v=1485 м/с.

Ответ: а) u=3,42 м/с; б) u=3,52 м/с; в) u=3,62 м/с; г) u=3,72 м/с; д) u=3,82 м/с.

2.2.174. Плоская звуковая волна имеет период T=3 мс, амплитуду А=0,2 мм и длину волны =1,2 м. Для точек среды, удаленных от источника колебаний на расстояние x=2 м, найти смещение (x,t) в момент t=7 мс. Начальную фазу колебаний принять равной нулю.

Ответ: а) =-0,20 мм; б) =-0,15 мм; в) =-0,1 мм; г) =-0,25 мм; д) =-0,05 мм.

2.2.175. Плоская звуковая волна имеет период T=3 мс, амплитуду А=0,2 мм и длину волны =1,2 м. Для точек среды, удаленных от источника колебаний на расстояние x=2 м, найти скорость в момент t=7 мс. Начальную фазу колебаний принять равной нулю.

2.2.176. Плоская звуковая волна имеет период T=3 мс, амплитуду А=0,2 мм и длину волны =1,2 м. Для точек среды, удаленных от источника колебаний на расстояние x=2 м, найти ускорение в момент t=7 мс. Начальную фазу колебаний принять равной нулю.

Ответ: а) a=0,429 км/с 2 ; б) a=0,439 км/с 2 ; в) a=0,449 км/с 2 ;

г) a=0,459 км/с 2 ; д) a=0,469 км/с 2 .

2.2.177. Определить разность фаз  колебаний источника волн, находящегося в упругой среде, и точки этой среды, отстоящей на 2 м от источника. Частота колебаний =5 Гц. Волны распространяются со скоростью с_зв=40 м/с.

Ответ: а) =1,47 рад; б) =1,57 рад; в) =1,67 рад; г) =1,77 рад; д) =1,87 рад.

2.2.178. Скорость с_зв звука в некотором газе при нормальных условиях равна 308 м/с. Плотность газа =1,78 кг/м 3 . определить отношение С_p/С_v для данного газа.

2.2.179. Когда поезд проходит мимо неподвижного наблюдателя, высота тона звукового сигнала меняется скачком. Определить относительное изменение частоты /. Скорость поезда u=54 км/ч.

2.2.180. Мощность N изотропного источника звуковых волн равна 10 Вт. Какова средняя объемная плотность энергии на расстоянии r=10 м от источника волн? Температуру T воздуха принять равной 250 К.

Ответ: а) 0,281 Дж/м 3 ; б) 0,271 Дж/м 3 ; в) 0,261 Дж/м 3 ; г) 0,251 Дж/м 3 ;

Источник