Сфера хилла для солнца

Сфера Хилл или Рош сфера из астрономического тела является областью , в которой она доминирует притяжение спутников . Внешняя оболочка этой области представляет собой поверхность с нулевой скоростью . Чтобы удержаться планетой , Луна должна иметь орбиту, которая находится в сфере холма этой планеты. У этой луны, в свою очередь, будет собственная сфера Хилла. Любой объект на таком расстоянии стал бы спутником Луны, а не самой планеты. Простое представление о протяженности Солнечной системы — это сфера Солнца Хилла относительно местных звезд и ядра галактики .

Точнее говоря, сфера Хилла приближает гравитационную сферу влияния меньшего тела перед лицом возмущений от более массивного тела. Он был определен американским астрономом Джорджем Уильямом Хиллом на основе работы французского астронома Эдуарда Роша . По этой причине она также известна как «сфера Роша» (не путать с пределом Роша или Лобе Роша ).

В примере справа сфера холма Земли простирается между лагранжевыми точками L ₁ и L ₂ , которые лежат вдоль линии центров двух тел (Земли и Солнца). Область влияния второго тела является самой короткой в ​​этом направлении, и поэтому она действует как ограничивающий фактор для размера сферы Хилла. За пределами этого расстояния третий объект на орбите вокруг второго (например, Луна) будет проводить по крайней мере часть своей орбиты за пределами сферы Хилла и будет постепенно возмущаться приливными силами центрального тела (например, Солнца), в конечном итоге в конечном итоге на орбите последнего.

СОДЕРЖАНИЕ

Формула и примеры

Если масса меньшего тела (например, Земля) , и она вращается тяжелее тело (например, солнце) массы с большой полуоси и эксцентриситета от , то радиус сферы Хилла меньшего тела, рассчитывается в перицентре , составляет примерно м <\ displaystyle m> M <\ displaystyle M> а <\ displaystyle a> е <\ displaystyle e> р ЧАС <\ displaystyle r _ <\ mathrm >>

р ЧАС ≈ а ( 1 — е ) м 3 M 3 . <\ displaystyle r _ <\ mathrm > \ приблизительно a (1-e) <\ sqrt [<3>] <\ frac <3M>>>.>

Когда эксцентриситет пренебрежимо мал (наиболее благоприятный случай для орбитальной устойчивости), это становится

р ЧАС ≈ а м 3 M 3 . <\ displaystyle r _ <\ mathrm > \ приблизительно a <\ sqrt [<3>] <\ frac <3M>>>.>

В примере Земля-Солнце Земля (5,97 × 10 24 кг) вращается вокруг Солнца (1,99 × 10 30 кг) на расстоянии 149,6 миллиона км, или одной астрономической единице (AU). Таким образом, сфера Хилла для Земли простирается примерно на 1,5 миллиона км (0,01 а.е.). Орбита Луны, находящаяся на расстоянии 0,384 миллиона км от Земли, удобно находится в пределах гравитационной сферы влияния Земли, и поэтому ей не грозит втягивание на независимую орбиту вокруг Солнца. Все стабильные спутники Земли (находящиеся в сфере Хилл Земли) должны иметь орбитальный период менее семи месяцев.

Предыдущую формулу (без учета эксцентриситета) можно переформулировать следующим образом:

3 р ЧАС 3 а 3 ≈ м M . <\ displaystyle 3 <\ frac > ^ <3>> >> \ приблизительно <\ frac >.>

Это выражает соотношение в терминах объема сферы Хилла по сравнению с объемом орбиты второго тела вокруг первого; в частности, соотношение масс в три раза больше отношения объемов этих двух сфер.

Вывод

Выражение для радиуса Хилла можно найти, приравняв гравитационные и центробежные силы, действующие на пробную частицу (с массой намного меньше ), вращающуюся вокруг вторичного тела. Предположим, что расстояние между массами и составляет , и что пробная частица движется по орбите на расстоянии от вторичной обмотки. Когда пробная частица находится на линии, соединяющей первичное и вторичное тела, баланс сил требует, чтобы м <\ displaystyle m> M <\ displaystyle M> м <\ displaystyle m> р <\ displaystyle r> р ЧАС <\ displaystyle r _ <\ mathrm >>

грамм м р ЧАС 2 — грамм M ( р — р ЧАС ) 2 + Ω 2 ( р — р ЧАС ) знак равно 0 , <\ displaystyle <\ frac > ^ <2>>> — <\ frac <(r-r _ <\ mathrm >) ^ <2>>> + \ Omega ^ <2>(r-r _ <\ mathrm >) = 0,>

где — гравитационная постоянная, а — ( кеплеровская ) угловая скорость вторичной обмотки относительно первичной (при условии, что ). Вышеприведенное уравнение также можно записать как грамм <\ displaystyle G> Ω знак равно грамм M р 3 <\ displaystyle \ Omega = <\ sqrt <\ frac >>>> м ≪ M <\ displaystyle m \ ll M>

м р ЧАС 2 — M р 2 ( 1 — р ЧАС р ) — 2 + M р 2 ( 1 — р ЧАС р ) знак равно 0 , <\ displaystyle <\ frac > ^ <2>>> — <\ frac >> \ left (1 — <\ frac >> > \ right) ^ <- 2>+ <\ frac >> \ left (1 — <\ frac ) >> > \ right) = 0,>

который, посредством биномиального разложения до ведущего порядка по , может быть записан как р ЧАС / р <\ displaystyle r _ <\ mathrm > / r>

м р ЧАС 2 — M р 2 ( 1 + 2 р ЧАС р ) + M р 2 ( 1 — р ЧАС р ) знак равно м р ЧАС 2 — M р 2 ( 3 р ЧАС р ) ≈ 0. <\ displaystyle <\ frac > ^ <2>>> — <\ frac >> \ left (1 + 2 <\ frac >> > \ right) + <\ frac >> \ left (1 — <\ frac >> > \ right) = <\ frac > ^ <2>>> — <\ frac >> \ left (3 <\ frac < r _ <\ mathrm >> > \ right) \ приблизительно 0.>

Следовательно, указанное выше соотношение

р ЧАС р ≈ м 3 M 3 . <\ displaystyle <\ frac >> > \ приблизительно <\ sqrt [<3>] <\ frac <3M>>>.>

Если орбита вторичной обмотки вокруг первичной обмотки эллиптическая, радиус Хилла максимален в апоцентре , где является наибольшим, и минимальным в перицентре орбиты. Следовательно, для обеспечения стабильности тестовых частиц (например, малых спутников) необходимо учитывать радиус Хилла на расстоянии перицентра. Для того, чтобы ведущий порядок , радиус Хилл выше , также представляет собой расстояние от точки Лагранжа L ₁ от вторичного. р <\ displaystyle r> р ЧАС / р <\ displaystyle r _ <\ mathrm > / r>

Быстрый способ оценки радиуса сферы Хилла заключается в замене массы плотностью в приведенном выше уравнении:

р ЧАС р s е c о п d а р y ≈ а р п р я м а р y ρ s е c о п d а р y 3 ρ п р я м а р y 3 ≈ а р п р я м а р y , <\ displaystyle <\ frac >> >>> \ приблизительно <\ frac >>> <\ sqrt [ <3>] <\ frac <\ rho _ <\ mathrm >> <3 \ rho _ <\ mathrm >>>> \ приблизительно <\ frac >>>,>

где и — средние плотности первичного и вторичного тел, и — их радиусы. Второе приближение оправдано тем, что в большинстве случаев в Солнечной системе оно близко к единице. (Система Земля – Луна является крупнейшим исключением, и это приближение находится в пределах 20% для большинства спутников Сатурна.) Это также удобно, потому что многие планетные астрономы работают и запоминают расстояния в единицах радиусов планет. ρ s е c о п d <\ displaystyle \ rho _ <\ mathrm >> ρ п р я м а р y <\ displaystyle \ rho _ <\ mathrm >> р s е c о п d а р y <\ displaystyle R _ <\ mathrm <вторичный>>> р п р я м а р y <\ displaystyle R _ <\ mathrm >> ρ s е c о п d а р y 3 ρ п р я м а р y 3 <\ displaystyle <\ sqrt [<3>] <\ frac <\ rho _ <\ mathrm <вторичный>>> <3 \ rho _ <\ mathrm >>>>>

Истинный регион стабильности

Сфера Хилла — это только приближение, и другие силы (например, радиационное давление или эффект Ярковского ) могут в конечном итоге вывести объект из сферы. Этот третий объект также должен иметь достаточно малую массу, чтобы не создавать дополнительных осложнений из-за своей собственной силы тяжести. Детальные численные расчеты показывают, что орбиты в сфере Хилла или в ее пределах нестабильны в долгосрочной перспективе; похоже, что стабильные орбиты спутников существуют только в пределах от 1/2 до 1/3 радиуса Хилла. Область стабильности ретроградных орбит на большом удалении от главной звезды больше, чем область устойчивости прямых орбит на большом расстоянии от главной звезды . Считалось, что это объясняет преобладание ретроградных спутников вокруг Юпитера; однако у Сатурна более равномерное сочетание ретроградных и прогрессивных спутников, поэтому причины более сложны.

Дальнейшие примеры

Астронавт не мог выйти на орбиту космического челнока (массой 104 тонны ), где орбита находилась на высоте 300 км над Землей, потому что его сфера Хилла на этой высоте была всего 120 см в радиусе, что намного меньше, чем сам шаттл. Сфера такого размера и массы будет плотнее свинца. Фактически, на любой низкой околоземной орбите сферическое тело должно быть более плотным, чем свинец , чтобы поместиться внутри своей собственной сферы Хилла, иначе оно не сможет поддерживать орбиту. Однако сферический геостационарный спутник должен иметь плотность более 6% от воды, чтобы поддерживать собственные спутники.

Планета с самым большим радиусом холма в Солнечной системе — это Нептун , его длина составляет 116 миллионов км, или 0,775 а.е. его большое расстояние от Солнца полностью компенсирует его небольшую массу относительно Юпитера (собственный радиус Хилла которого составляет 53 миллиона км). Астероид из пояса астероидов будет иметь сферу Хилла , который может достигать 220,000 км (за 1 Ceres ), быстро уменьшается с уменьшением массы. Сфера Хилла 66391 Мошуп , пересекающего Меркурий астероида с луной (названной Скваннит), имеет радиус 22 км.

Типичный внесолнечный « горячий Юпитер », HD 209458 b , имеет радиус сферы Хилла 593 000 км, что примерно в восемь раз больше его физического радиуса приблизительно 71 000 км. Даже самая маленькая планета за пределами Солнечной системы , CoRoT-7b , по-прежнему имеет радиус сферы Хилла (61 000 км), что в шесть раз больше ее физического радиуса (приблизительно 10 000 км). Следовательно, к этим планетам могут быть близки маленькие луны, хотя и не в пределах их соответствующих границ Роша .

Солнечная система

Следующая таблица и логарифмический график показывают радиус сфер Хилла некоторых тел Солнечной системы, рассчитанный по первой формуле, указанной выше (включая эксцентриситет орбиты), с использованием значений, полученных из эфемерид JPL DE405 и с веб-сайта NASA Solar System Exploration.

Источник

Часть серии по
Астродинамика