Кеплера законы
Зако́ны Ке́плера — семейство физических законов, открытых Иоганном Кеплером, описывающих движение планет вокруг Солнца.
Первый закон Кеплера (Закон эллипсов)
Каждая планета Солнечной системы обращается по эллипсу, в одном из фокусов которого находится Солнце.
Форма эллипса и степень его сходства с окружностью характеризуется отношением 
, где c — расстояние от центра эллипса до его фокуса (половина межфокусного расстояния), a — большая полуось. Величина e называется эксцентриситетом эллипса. При c = 0 и e = 0 эллипс превращается в окружность.
Закон всемирного тяготения Ньютона гласит, что «каждый объект во вселенной притягивает каждый другой объект по линии соединяющей центры масс объектов, пропорционально массе каждого объекта, и обратно пропорционально квадрату расстояния между объектами». Это предполагает, что ускорение a имеет форму
В координатной форме запишем
Подставляя 
и 
во второе уравнение, получим
После интегрирования запишем выражение
для некоторой константы 
, которая является удельным угловым моментом (
).Пусть
Уравнение движения в направлении 
становится равным
Закон всемирного тяготения Ньютона связывает силу на единицу массы с расстоянием как
где G — универсальная гравитационная константа и M — масса звезды.
Это дифференциальное уравнение имеет общее решение:
для произвольных констант интегрирования e и θ0.
Заменяя u на 1/r и полагая θ0 = 0, получим:
Мы получили уравнение конического сечения с эксцентриситетом e и началом системы координат в одном из фокусов. Таким образом, первый закон Кеплера прямо следует из закона всемирного тяготения Ньютона и второго закона Ньютона.
Второй закон Кеплера (Закон площадей)
Каждая планета движется в плоскости, проходящей через центр Солнца, причём за равные времена радиус-вектор, соединяющий Солнце и планету, заметает сектора равной площади.
Применительно к нашей Солнечной системе, с этим законом связаны два понятия: перигелий — ближайшая к Солнцу точка орбиты, и афелий — наиболее удалённая точка орбиты. Таким образом, из второго закона Кепплера следует, что планета движется вокруг Солнца неравномерно, имея в перигелии бо́льшую линейную скорость, чем в афелии.
Каждый год в начале января Земля, проходя через перигелий, движется быстрее, поэтому видимое перемещение Солнца по эклиптике к востоку также происходит быстрее, чем в среднем за год. В начале июля Земля, проходя афелий, движется медленнее, поэтому и перемещение Солнца по эклиптике замедляется. Закон площадей указывает, что сила, управляющая орбитальным движением планет, направлена к Солнцу.
По определению угловой момент 
точечной частицы с массой m и скоростью 
записывается в виде:
.
где 
— радиус-вектор частицы а 
— импульс частицы.
.
В результате мы имеем
.
Продифференцируем обе части уравнения по времени
поскольку векторное произведение параллельных векторов равно нулю. Заметим, что F всегда параллелен r, поскольку сила радиальная, и p всегда параллелен v по определению. Таким образом можно утверждать, что 
— константа.
Третий закон Кеплера (Гармонический закон)
Квадраты периодов обращения планет вокруг Солнца относятся, как кубы больших полуосей орбит планет.
, где T1 и T2 — периоды обращения двух планет вокруг Солнца, а a1 и a2 — длины больших полуосей их орбит.
Ньютон установил, что гравитационное притяжение планеты определенной массы зависит только от расстояния до неё, а не от других свойств, таких, как состав или температура. Он показал также, что третий закон Кеплера не совсем точен — в действительности в него входит и масса планеты: 
, где M – масса Солнца, а m1 и m2 – массы планет.
Поскольку движение и масса оказались связаны, эту комбинацию гармонического закона Кеплера и закона тяготения Ньютона используют для определения массы планет и спутников, если известны их орбиты и орбитальные периоды.
Второй закон Кеплера утверждает, что радиус-вектор обращающегося тела заметает равные площади за равные промежутки времени. Если теперь мы возьмём очень малые промежутки времени в момент, когда планета находится в точках A и B (перигелий и афелий), то мы сможем аппроксимировать площадь треугольниками с высотами, равными расстоянию от планеты до Солнца, и основанием, равным произведению скорости планеты на время.
Используя закон сохранения энергии для полной энергии планеты в точках A и B, запишем
Теперь, когда мы нашли VB , мы можем найти секториальную скорость. Так как она постоянна, то можем выбрать любую точку эллипса: например, для точки B получим
Однако полная площадь эллипса равна 
(что равно πab , поскольку 
). Время полного оборота, таким образом, равно
Заметим, что если масса m не пренебрежимо мала по сравнению с M, то планета будет обращаться вокруг Солнца с той же скоростью и по той же орбите, что и материальная точка, обращающаяся вокруг массы M + m (см. приведённая масса). При этом массу M в последней формуле нужно заменить на M + m :
Wikimedia Foundation . 2010 .
Смотреть что такое «Кеплера законы» в других словарях:
КЕПЛЕРА ЗАКОНЫ — три закона движения планет, открытые нем. астрономом И. Кеплером (J. Kepler) в нач. 17 в. Ниже приведены их совр. формулировки. 1 й закон: при невозмущённом движении (в двух тел задаче) орбита движущейся матер. точки (планеты) есть кривая второго … Физическая энциклопедия
КЕПЛЕРА ЗАКОНЫ — КЕПЛЕРА ЗАКОНЫ, три закона движения планет относительно Солнца. Установлены И. Кеплером в начале 17 в. как обобщение данных наблюдений Т. Браге. 1 й Кеплера закон: каждая планета движется по эллипсу, в одном из фокусов которого находится Солнце.… … Современная энциклопедия
КЕПЛЕРА ЗАКОНЫ — три закона движения планет относительно Солнца, установлены как обобщение наблюдательных данных И. Кеплером в нач. 17 в. 1 й Кеплера закон: каждая планета движется по эллипсу, в одном из фокусов которого находится Солнце. 2 й Кеплера закон:… … Большой Энциклопедический словарь
Кеплера законы — три закона движения планет относительно Солнца, установлены как обобщение наблюдательных данных И. Кеплером в начале XVII в. 1 й : каждая планета движется по эллипсу, в одном из фокусов которого находится Солнце. 2 й закон Кеплера: каждая планета … Энциклопедический словарь
КЕПЛЕРА ЗАКОНЫ — принципы движения планет, сформулированные в начале 17 в. И. Кеплером (1571 1630) на основе многолетних наблюдений Т. Браге (1546 1601). Они используются в небесной механике и формулируются так: 1. Орбита любой планеты есть эллипс, в одном из… … Энциклопедия Кольера
Кеплера законы — три закона движения планет, открытые И. Кеплером в начале 17 в. Основной труд Кеплера «Новая астрономия», напечатанный в 1609, содержал два первых закона. Третий закон был открыт позднее: в 3 й главе 5 й книги «Гармония Мира» (1619)… … Большая советская энциклопедия
КЕПЛЕРА ЗАКОНЫ — [по имени нем. астронома И. Кеплера (J. Kepler; 1571 1630)] три экспериментально установленных закона движения планет Солнечной системы. 1 й закон: каждая планета движется по эллиптич. орбите, в одном из фокусов к рой находится Солнце. 2 й закон … Большой энциклопедический политехнический словарь
КЕПЛЕРА ЗАКОНЫ — три закона движения планет относительно Солнца, установлены как обобщение наблюдат. данных И. Кеплером в нач. 17 в. 1 й К. з.: каждая планета движется по эллипсу, и одном из фокусов к poro находится Солнце. 2 й К. з.: каждая планета движется в… … Естествознание. Энциклопедический словарь
Кеплера Законы — три экспериментально установленных закона движения планет Солнечной системы. 1) Каждая планета движется по эллиптической орбите, в одном из фокусов которой находится Солнце. 2) Радиус вектор планеты за равные промежутки времени описывает равные… … Астрономический словарь
Кеплера законы движения планет — три закона движения планет, эмпирически открытые немецким астрономом Иоганном Кеплером в начале XVII века. Первый закон: каждая планета движется по эллипсу, в одном из фокусов которого находится Солнце. Второй закон: каждая планета движется в… … Начала современного естествознания
Источник