Закон Стефана-Больцмана: определение, формула и вывод
Закон Стефана-Больцмана связан с тепловыми явлениями и процессами излучения в физике. Согласно этому закону излучатель, который представляет собой абсолютно черное тело, испускает энергию в виде электромагнитного излучения, пропорциональную четвертой степени абсолютной температуры, за одну секунду с единицы площади своей поверхности.
Понятие о черном теле
Прежде чем описывать закон излучения Стефана-Больцмана, следует разобраться в вопросе о том, что представляет собой черное тело. Черное тело является теоретическим объектом, который способен поглощать абсолютно всю электромагнитную энергию, которая падает на него. То есть электромагнитное излучение не проходит через черное тело и не отражается от него. Не следует путать черное тело с темной материей в космосе, поскольку черное тело способно излучать электромагнитную энергию. Концепция черного тела введена в физику для упрощения изучения процессов излучения реальных тел. Сам термин «черное тело» был введен Густавом Кирхгофом в 1862 году.
Излучение тел
Каждое реальное тело излучает энергию в виде электромагнитных волн в окружающее пространство. При этом в соответствии с законом Стефана-Больцмана это излучение будет тем интенсивнее, чем выше температура тела. Если тело имеет невысокую температуру, например температуру окружающей среды, то излучаемая им энергия невелика и большая ее часть испускается в виде длинных электромагнитных волн (инфракрасное излучение). Увеличение температуры тела приводит не только к увеличению количества излучаемой энергии, но и к смещению спектра излучения в область более высоких частот. Именно поэтому цвет тела изменяется при его нагреве. Количество энергии, которое испускает тело, нагретое до некоторой конкретной температуры в определенном узком интервале частот, описывается законом Планка.
Количество и спектр излучаемой электромагнитной энергии зависят не только от температуры тела, но и от природы излучающей поверхности. Так, матовая или черная поверхность обладает большей излучающей способностью, чем светлая или блестящая. Это означает, что количество энергии, которое излучает раскаленная углеродная нить, больше, чем, например, нить из платины, нагретая до той же температуры. Закон Кирхгофа устанавливает, что если тело хорошо излучает энергию, значит, оно будет и хорошо ее поглощать. Таким образом, тела черного цвета являются хорошими поглотителями электромагнитного излучения.
Реальные объекты, близкие по своим характеристикам к черному телу
Излучательная и поглощательная способности черного тела являются идеализированным случаем, однако в природе существуют объекты, которые по этим характеристикам в первом приближении можно считать черным телом.
Самым простым объектом, который по своей способности поглощать видимый свет близок к черному телу, является изолированная емкость, имеющая небольшое отверстие в своем корпусе. Через это отверстие луч света попадает в полость объекта и испытывает многократное отражение от внутренних стенок емкости. При каждом отражении часть энергии луча поглощается, и этот процесс продолжается до тех пор, пока вся энергия не будет поглощена.
Еще одним объектом, который практически полностью поглощает падающий на него свет, является сплав никеля и фосфора. Получен этот сплав был в 1980 году индусами и американцами, а в 1990 году он был усовершенствован японскими учеными. Этот сплав отражает всего 0,16 % падающей на него световой энергии, что в 25 раз меньше, чем аналогичная величина для самой черной краски.
Реальным примером излучателя в космосе, который по своим свойствам близок к излучающей способности черного тела, являются звезды галактик.
Энергия излучения черного тела
В соответствии с определением закона Стефана-Больцмана энергия излучения черного тела с поверхности 1 м 2 за одну секунду определяется по формуле:
где Tэ — эффективная температура излучения, то есть абсолютная температура поверхности тела, σ — постоянная Стефана-Больцмана, равная 5,67·10 -8 Вт/(м 2 ·К 4 ).
Чем ближе излучательные характеристики реальных тел к свойствам черного тела, тем ближе будет энергия, рассчитанная по указанной формуле, к излучаемой энергии реальных тел.
Энергия излучения реальных тел
Формула закона Стефана-Больцмана для излучения реальных тел имеет вид:
где ε — коэффициент излучательной способности реального тела, который лежит в пределах 0 5 k 4 /(15c 2 h 3 ),
здесь pi = 3,14 (число пи), k = 1,38·10 – 23 Дж/К (постоянная Больцмана), c = 3·10 8 м/с (скорость света в вакууме), h = 6,63·10 -34 Дж·с (постоянная Планка).
В результате вычислений получаем, что σ = 5,67·10 -8 Вт/(м 2 ·К 4 ), что точно соответствует экспериментально определенному значению.
Пример использования закона Стефана-Больцмана: температура поверхности Солнца
Используя самостоятельно открытый закон, Стефан определил температуру поверхности нашей звезды — Солнца. Для этого он использовал данные Чарльза Сорета, согласно которым плотность потока солнечной энергии в 29 раз больше, чем плотность электромагнитного излучения нагретой металлической пластины. Пластину ученый расположил от детектора электромагнитного потока под тем же углом, под которым видно Солнце с Земли. В результате Сорет оценил температуру пластины в 1900-2000 °C. Стефан, в свою очередь, также учел атмосферное поглощение солнечного излучения на Земле, предположив, что реальный поток энергии от Солнца в 43,5 раза больше такового от нагретой пластины. Отметим, что точные измерения атмосферного поглощения солнечной энергии были проведены в серии экспериментов с 1888 по 1904 год.
Далее, согласно закону Стефана-Больцмана можно легко показать, что температура поверхности Солнца должна быть больше температуры металлической пластины в 2,57 раза (для получения этой цифры необходимо взять корень четвертой степени от отношения энергетических потоков излучения Солнца и пластины). Таким образом, Стефан получил, что температура поверхности нашей звезды равна 5713 К (современное значение составляет 5780 К).
Полученное значение температуры поверхности Солнца являлось самым точным в XIX веке. До работ Стефана другие ученые получали как слишком низкие температуры для поверхности Солнца (1800 °C), так и слишком высокие ее значения (13 000 000 °C).
Источник
Закон Стефана-Больцмана
Действие закона Стефана-Больцмана
Закон Стефана-Больцмана: совместимость абсолютно черного тела пропорциональна четвертой степени его температуры.
Тела, нагретые до какой-то температуры, способны излучать энергию. Она состоит из электромагнитных волн с различной длиной. Выражение «раскален докрасна» означает, что температура объекта настолько велика, что тепловое излучение происходит в видимой, световой области спектра. При рассмотрении тел на атомарном уровне возбужденные атомы испускают фотоны, которые формируют излучение.
Действие закона Стефана-Больцмана можно объяснить с помощью рассмотрения атома, который излучает свет в недрах Солнца. Свет будет поглощен мгновенно другим атомом и излучен им повторно. Таким образом, потенциальный свет будет перемещаться между атомами по цепочке. Для такой системы характерно энергетическое равновесие.
Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.
Равновесному состоянию можно дать следующее обозначение:
- Свет со строго определенной частотой будет поглощен одним атомом в одной точке.
- Одновременно будет наблюдаться испускание света с такой же частотой другим атомом в другой точке.
- Показатели интенсивности света каждой длины волны спектра остаются стабильными.
Внутри Солнца наблюдается падение температуры с удалением от центра звезды. Если двигаться на поверхность, то можно отметить более высокие температуры светового излучения по сравнению с температурой окружающей среды, соответствующие определенному спектру. В итоге, повторное излучение, исходя из закона Стефана-Больцмана, характеризуется более низкими энергиями и частотами.
Однако, согласно закону сохранения энергии, количество излучаемых фотонов будет увеличиваться. Таким образом, на момент достижения излучением поверхности звезды спектральное распределение будет определено в соответствии с температурой поверхности Солнца, то есть около 5 800 К, а не температурой центра Солнца, которая составляет примерно 15 000 000 К.
История открытия
Данная закономерность была сформулирована в 1879 году физиком из Австрии Йозефом Стефаном. Основанием для открытия послужили экспериментальные измерения. Непосредственно сами опыты были проведены ирландским физиком Джоном Тиндалем.
В 1884 году Людвиг Больцман проводил теоретические исследования с применением термодинамики. В результате ученый пришел к этому закону изучения черного тела. Рассуждения Больцмана были построены на изучении некого идеального двигателя, в качестве энергетического источника которого использовался свет. Экспериментально подтвержденный закон был опубликован Стефаном в статье с названием «Об отношении между излучением и абсолютной температурой», которая была включена в одну из брошюр Академии наук Вены.
Концепция черного тела
Черное тело — теоретический объект, обладающий способностью к поглощению абсолютно всей электромагнитной энергии, попадающей на его поверхность.
Закономерность Стефана-Больцмана справедлива при условии наблюдения за абсолютно черным телом, которое поглощает излучение, попадающее на поверхность, в полном объеме. В реальном мире физические объекты способны поглощать лишь какую-то часть лучевой энергии. Остальное излучение отражается от их поверхности.
Следует отметить, что закон, исходя из которого удельная мощность излучения с их поверхности пропорциональна Т4, работает и при реальных условиях. Только в данной ситуации необходимо постоянную Больцмана заменить на другой коэффициент, отражающий характеристики реального физического объекта. Определить такую константу можно с помощью эксперимента.
Математическая формула закона излучения
Энергия, поступая к поверхности Солнца или любого другого горячего объекта, отражается от него в виде излучения. Определить характер излученной энергии позволяет закон Стефана-Больцмана. В виде формулы закономерность записывают в следующем виде:
Где Т является температурой и измеряется в Кельвинах, σ представляет собой постоянную Больцмана.
Согласно уравнению, можно сделать вывод, что повышение температуры сопровождается увеличением светимости тела в значительно большей степени. При повышении температуры объекта в 2 раза, его светимость увеличится в 16 раз.
Использование закона Стефана-Больцмана
Йозеф Стефан применил самостоятельно открытый закон на практике. С помощью выведенной закономерности ученому удалось определить температуру, которой обладает поверхность Солнца. Стефан использовал данные Чарльза Сорета, в которых указано, что величина плотности потока солнечной энергии в 29 раз превышает аналогичные показатели электромагнитного излучения нагретой пластины из металла. Ученый разместил пластину от датчика электромагнитного излучения под тем же углом, под которым видно Солнце с нашей планеты. Результаты эксперимента Сорета оценивали температуру пластины в 1900-2000 градусов.
В опыте Йозефа Стефана было учтено, что солнечное излучение поглощается атмосферой на Земле. По его предположению, поток энергии от звезды в реальных условиях в 43,5 раз превышает аналогичные показатели нагретой пластины. Данное исследование послужило началом для ряда экспериментов по измерению точного атмосферного поглощения энергии от Солнца, которые проводились в период с 1888 по 1904 года.
Исходя из закона Стефана-Больцмана, достаточно просто прийти к выводу, что температура на поверхности нашей звезды превышает температуру металлической пластины в 2,57 раза. Расчет выполняется с помощью извлечения корня четвертой степени от отношения потоков энергии Солнца и пластины. По итогам эксперимента Стефан вычислил, что температура поверхности звезды составляет 5712 К. Стоит отметить, что по современным данным данный показатель равен 5780 К.
Источник
Закон Стефана – Больцмана — Stefan–Boltzmann law
Закон Стефана – Больцмана описывает мощность, излучаемую черным телом, с точки зрения его температуры . В частности, закон гласит Стефан-Больцман , что полная энергия , излучаемая на единицу площади поверхности в виде черного тела через все длины волн в единицу времени (также известное как черное тело излучательной способность ) прямо пропорционален четвертая степень из черного тела термодинамических температура T : j ⋆ <\ displaystyle j ^ <\ star>> 
j ⋆ знак равно σ Т 4 . <\ displaystyle j ^ <\ star>= \ sigma T ^ <4>.>
Константа пропорциональности сг , называется постоянная Стефана-Больцмана , является производным от других известных физических констант . С 2019 года значение константы равно
σ знак равно 2 π 5 k 4 15 c 2 час 3 знак равно 5,670374 … × 10 — 8 W м — 2 K — 4 , <\ displaystyle \ sigma = <\ frac <2 \ pi ^ <5>k ^ <4>> <15c ^ <2>h ^ <3>>> = 5.670374 \ ldots \ times 10 ^ <- 8>\, \ mathrm
где k — постоянная Больцмана , h — постоянная Планка , c — скорость света в вакууме . Сияния с определенным углом зрения (ватт на квадратный метр в стерадиан ) задается
L знак равно j ⋆ π знак равно σ π Т 4 . <\ displaystyle L = <\ frac
Орган , который не поглощает все падающее излучение (иногда известное как серое тело) излучает меньше , чем полную энергию черного тело , и характеризуется излучательной способность , : ε 1 <\ Displaystyle \ varepsilon
j ⋆ знак равно ε σ Т 4 . <\ displaystyle j ^ <\ star>= \ varepsilon \ sigma T ^ <4>.>
Излучательная имеет размеры от потока энергии (энергии в единицу времени на единицу площади), и единицы СИ измерения являются джоулей в секунду на квадратный метр, или , что эквивалентно, ватт на квадратный метр. Единицей измерения абсолютной температуры T в системе СИ является кельвин . — коэффициент излучения серого тела; если это идеальное черное тело . В еще более общем (и реалистично) случае, излучательная зависит от длины волны, . j ⋆ <\ displaystyle j ^ <\ star>> ε <\ displaystyle \ varepsilon> ε знак равно 1 <\ displaystyle \ varepsilon = 1> ε знак равно ε ( λ ) <\ Displaystyle \ varepsilon = \ varepsilon (\ lambda)>
Чтобы найти полную мощность, излучаемую объектом, умножьте его на площадь его поверхности : А <\ displaystyle A>
п знак равно А j ⋆ знак равно А ε σ Т 4 . <\ Displaystyle P = Aj ^ <\ star>= A \ varepsilon \ sigma T ^ <4>.>
Частицы, метаматериалы и другие наноструктуры с длиной волны и субволновой шкалы не подпадают под лучево-оптические ограничения и могут быть разработаны таким образом, чтобы выходить за рамки закона Стефана – Больцмана.
СОДЕРЖАНИЕ
История
В 1864 году Джон Тиндалл представил измерения инфракрасного излучения платиновой нити и соответствующего цвета нити. Пропорциональность четвертой степени абсолютной температуры был выведен Йозефом Стефаном (1835–1893) в 1879 году на основе экспериментальных измерений Тиндаля в статье Über die Beziehung zwischen der Wärmestrahlung und der Temperatur ( О связи между тепловым излучением и температура ) в бюллетенях сессий Венской академии наук.
Вывод закона из теоретических соображений был представлен Людвигом Больцманом (1844–1906) в 1884 году, опираясь на работы Адольфо Бартоли . Бартоли в 1876 году вывел существование радиационного давления из принципов термодинамики . Вслед за Бартоли Больцман рассматривал идеальную тепловую машину, использующую электромагнитное излучение вместо идеального газа в качестве рабочего вещества.
Закон был практически сразу подтвержден экспериментально. Генрих Вебер в 1888 году указал на отклонения при более высоких температурах, но идеальная точность в пределах погрешностей измерения была подтверждена до температур 1535 К к 1897 году. Закон, включая теоретическое предсказание постоянной Стефана – Больцмана как функции скорости света , постоянная Больцмана и постоянная Планка , является прямым следствием из закона Планка , сформулированные в 1900 году.
После переопределения базовых единиц СИ в 2019 году , в котором фиксируются значения постоянной Больцмана k , постоянной Планка h и скорости света c , постоянная Стефана – Больцмана равна точно
σ знак равно 5454781984210512994952000000 π 5 29438455734650141042413712126365436049 W м — 2 K — 4 . <\ displaystyle \ sigma = <\ frac <5454781984210512994952000000 \ pi ^ <5>> <29438455734650141042413712126365436049>> \, \ mathrm σ = 5,670 374 419 184 429 453 970 996 731 889 230 875 840 122 970 291 30 . × 10 -8 Вт / м 2 К 4 .
Примеры
Температура Солнца
С помощью своего закона Стефан также определил температуру поверхности Солнца . Он сделал вывод из данных Жака-Луи Соре (1827–1890), что плотность потока энергии от Солнца в 29 раз больше, чем плотность потока энергии некоторой нагретой металлической пластинки (тонкой пластины). Круглая пластинка располагалась на таком расстоянии от измерительного прибора, чтобы ее можно было видеть под тем же углом, что и Солнце. По оценке Соре, температура ламели составляла приблизительно от 1900 ° C до 2000 ° C. Стефан предположил, что потока энергии от Солнца поглощается атмосферой Земли , поэтому он принял за правильный поток энергии Солнца значение, в 3/2 раза превышающее значение Соре, а именно 29 × 3/2 = 43,5.
Точные измерения атмосферного поглощения не проводились до 1888 и 1904 годов. Полученная Стефаном температура была медианным значением предыдущих, 1950 ° C, и абсолютным термодинамическим значением 2200 K. Поскольку 2,57 4 = 43,5, из закона следует, что температура Солнца в 2,57 раза больше, чем температура ламели, поэтому Стефан получил значение 5430 ° C или 5700 K (современное значение 5778 K). Это было первое разумное значение температуры Солнца. До этого заявлялись значения от 1800 ° C до 13000000 ° C. Нижнее значение 1800 ° C было определено Клодом Пуйе (1790–1868) в 1838 году с использованием закона Дюлонга – Пети . Пуйе также взял только половину значения правильного потока энергии Солнца.
Температура звезд
Температуру звезд, отличных от Солнца, можно приблизительно оценить с помощью аналогичных средств, рассматривая излучаемую энергию как излучение черного тела . Так:
L знак равно 4 π р 2 σ Т е 4 <\ Displaystyle L = 4 \ pi R ^ <2>\ sigma
где L — светимость , σ — постоянная Стефана – Больцмана , R — радиус звезды, T — эффективная температура . Эту же формулу можно использовать для вычисления приблизительного радиуса звезды главной последовательности относительно Солнца:
р р ⊙ ≈ ( Т ⊙ Т ) — 2 ⋅ L L ⊙ <\ displaystyle <\ frac
где — радиус Солнца , — светимость Солнца и т. д. р ⊙ <\ Displaystyle R _ <\ odot>> L ⊙ <\ Displaystyle L _ <\ odot>>
С помощью закона Стефана – Больцмана астрономы могут легко определить радиусы звезд. Закон встречается также в термодинамике в черных дырах в так называемом Хокинг .
Эффективная температура Земли
Точно так же мы можем вычислить эффективную температуру Земли T ⊕ , приравняв энергию, полученную от Солнца, к энергии, излучаемой Землей, в приближении черного тела (собственное производство энергии Землей достаточно мало, чтобы им можно было пренебречь). Светимость Солнца, L given , определяется по формуле :
L ⊙ знак равно 4 π р ⊙ 2 σ Т ⊙ 4 <\ Displaystyle L _ <\ odot>= 4 \ pi R _ <\ odot>^ <2>\ sigma T _ <\ odot>^ <4>>
На Земле эта энергия проходит через сферу с радиусом в 0 , то расстояние между Землей и Солнцем, и облученностью (принимаемой мощностью на единицу площади) задаются
E ⊕ знак равно L ⊙ 4 π а 0 2 <\ displaystyle E _ <\ oplus>= <\ frac
Земля имеет радиус R ⊕ и, следовательно, ее поперечное сечение . Таким образом, радиационный поток (т.е. солнечная энергия), поглощаемый Землей, определяется выражением: π р ⊕ 2 <\ displaystyle \ pi R _ <\ oplus>^ <2>>
Φ пресс знак равно π р ⊕ 2 × E ⊕ : <\ displaystyle \ Phi _ <\ text
Поскольку закон Стефана – Больцмана использует четвертую степень, он оказывает стабилизирующее влияние на обмен, и поток, излучаемый Землей, имеет тенденцию быть равен поглощенному потоку, близкому к установившемуся состоянию, когда:
4 π р ⊕ 2 σ Т ⊕ 4 знак равно π р ⊕ 2 × E ⊕ знак равно π р ⊕ 2 × 4 π р ⊙ 2 σ Т ⊙ 4 4 π а 0 2 <\ displaystyle <\ begin
Т ⊕ 4 знак равно р ⊙ 2 Т ⊙ 4 4 а 0 2 Т ⊕ знак равно Т ⊙ × р ⊙ 2 а 0 знак равно 5780 K × 696 × 10 6 м 2 × 149 598 × 10 9 м ≈ 279 K <\ displaystyle <\ begin
где T ⊙ — температура Солнца, R ⊙ радиус Солнца, а a 0 — расстояние между Землей и Солнцем. Это дает эффективную температуру на поверхности Земли 6 ° C при условии, что она отлично поглощает все падающие на нее излучения и не имеет атмосферы.
Альбедо Земли составляет 0,3, что означает, что 30% солнечной радиации, попадающей на планету, рассеивается обратно в космос без поглощения. Влияние альбедо на температуру можно приблизительно оценить, предположив, что поглощенная энергия умножена на 0,7, но что планета все еще излучает как черное тело (последнее по определению эффективной температуры , которое мы и рассчитываем). Это приближение снижает температуру в 0,7 1/4 раза , что дает 255 К (-18 ° C).
Вышеуказанная температура является температурой Земли, наблюдаемой из космоса, а не температурой земли, а средней температурой по всем излучающим телам Земли от поверхности до большой высоты. Из-за парникового эффекта фактическая средняя температура поверхности Земли составляет около 288 K (15 ° C), что выше, чем эффективная температура 255 K, и даже выше, чем температура 279 K, которую могло бы иметь черное тело.
В приведенном выше обсуждении мы предположили, что вся поверхность Земли имеет одну температуру. Другой интересный вопрос состоит в том, чтобы спросить, какой будет температура поверхности черного тела на Земле, если предположить, что она достигает равновесия с падающим на нее солнечным светом. Это, конечно, зависит от угла наклона солнца к поверхности и от того, сколько воздуха прошло через солнечный свет. Когда солнце находится в зените, а поверхность горизонтальна, энергетическая освещенность может достигать 1120 Вт / м 2 . Тогда закон Стефана – Больцмана дает температуру
Т знак равно ( 1120 Вт / м 2 σ ) 1 / 4 ≈ 375 K <\ displaystyle T = \ left (<\ frac <1120 <\ text
или 102 ° С. (Выше атмосферы результат еще выше: 394 К.) Мы можем думать о земной поверхности как о «пытающейся» достичь равновесной температуры в течение дня, но охлаждаемой атмосферой и «пытающейся» достичь равновесия со звездным светом. и, возможно, лунный свет ночью, но его согревает атмосфера.
Происхождение
Термодинамический вывод плотности энергии
Тот факт, что плотность энергии ящика, содержащего излучение, пропорциональна, можно вывести с помощью термодинамики. Этот вывод использует соотношение между давлением излучения p и плотностью внутренней энергии , которое можно показать с помощью формы тензора электромагнитного напряжения-энергии . Это отношение: Т 4 <\ displaystyle T ^ <4>> ты <\ displaystyle u>
п знак равно ты 3 . <\ displaystyle p = <\ frac <3>>.>
d U знак равно Т d S — п d V , <\ displaystyle dU = T \, dS-p \, dV,>
после деления на и фиксации получаем следующее выражение : d V <\ displaystyle dV> Т <\ displaystyle T>
( ∂ U ∂ V ) Т знак равно Т ( ∂ S ∂ V ) Т — п знак равно Т ( ∂ п ∂ Т ) V — п . <\ displaystyle \ left (<\ frac <\ partial U><\ partial V>> \ right) _
Последнее равенство вытекает из следующего соотношения Максвелла :
( ∂ S ∂ V ) Т знак равно ( ∂ п ∂ Т ) V . <\ displaystyle \ left (<\ frac <\ partial S><\ partial V>> \ right) _
Из определения плотности энергии следует, что
U знак равно ты V <\ displaystyle U = uV>
где плотность энергии излучения зависит только от температуры, поэтому
( ∂ U ∂ V ) Т знак равно ты ( ∂ V ∂ V ) Т знак равно ты . <\ displaystyle \ left (<\ frac <\ partial U><\ partial V>> \ right) _
( ∂ U ∂ V ) Т знак равно Т ( ∂ п ∂ Т ) V — п , <\ displaystyle \ left (<\ frac <\ partial U><\ partial V>> \ right) _
после замены и для соответствующих выражений можно записать как ( ∂ U ∂ V ) Т <\ displaystyle \ left (<\ frac <\ partial U><\ partial V>> \ right) _ п <\ displaystyle p>
ты знак равно Т 3 ( ∂ ты ∂ Т ) V — ты 3 . <\ displaystyle u = <\ frac
Поскольку частную производную можно выразить как связь только между и (если выделить ее на одной стороне равенства), частная производная может быть заменена обычной производной. После разделения дифференциалов равенство принимает вид ( ∂ ты ∂ Т ) V <\ displaystyle \ left (<\ frac <\ partial u><\ partial T>> \ right) _ ты <\ displaystyle u> Т <\ displaystyle T>
d ты 4 ты знак равно d Т Т , <\ displaystyle <\ frac
что приводит сразу , с как некоторая константа интегрирования. ты знак равно А Т 4 <\ displaystyle u = AT ^ <4>> А <\ displaystyle A>
Вывод из закона Планка
Этот закон можно вывести, рассмотрев небольшую плоскую поверхность черного тела, излучающуюся в полусферу. Этот вывод использует сферические координаты , где θ является зенитным углом, а φ — азимутальным углом; а маленькая плоская поверхность черного тела лежит в плоскости xy, где θ = π / 2 .
Интенсивность света, излучаемого поверхностью черного тела, определяется законом Планка :
я ( ν , Т ) знак равно 2 час ν 3 c 2 1 е час ν / ( k Т ) — 1 . <\ displaystyle I (\ nu, T) = <\ frac <2h \ nu ^ <3>>где
- я ( ν , Т ) <\ Displaystyle I (\ Nu, T) \,>
это количество мощности на единицу площади поверхности на единицу телесного угла на единицу частоты , излучаемое на частоте от черного тела при температуре Т . ν <\ Displaystyle \ ню \,> - час <\ displaystyle h \,>является постоянной Планка
- c <\ displaystyle c \,>это скорость света , и
- k <\ Displaystyle к \,>— постоянная Больцмана .
Величина — это мощность, излучаемая поверхностью площади A через телесный угол dΩ в диапазоне частот от ν до ν + dν . я ( ν , Т ) А d ν d Ω <\ Displaystyle I (\ Nu, T)
d \ Omega>
Закон Стефана-Больцмана дает мощность, излучаемую на единицу площади излучающего тела:
п А знак равно ∫ 0 ∞ я ( ν , Т ) d ν ∫ потому что θ d Ω <\ displaystyle <\ frac
> = \ int _ <0>^ <\ infty>I (\ nu, T) \, d \ nu \ int \ cos \ theta \, d \ Omega \, >
Обратите внимание, что косинус появляется потому, что черные тела являются ламбертовскими (т.е. они подчиняются закону косинусов Ламберта ), а это означает, что интенсивность, наблюдаемая вдоль сферы, будет фактической интенсивностью, умноженной на косинус зенитного угла. Чтобы получить закон Стефана – Больцмана, мы должны интегрировать по полусфере и проинтегрировать от 0 до ∞. d Ω знак равно грех θ d θ d φ <\ textstyle d \ Omega = \ sin \ theta \ d \ theta d \ varphi> ν <\ displaystyle \ nu>
п А знак равно ∫ 0 ∞ я ( ν , Т ) d ν ∫ 0 2 π d φ ∫ 0 π / 2 потому что θ грех θ d θ знак равно π ∫ 0 ∞ я ( ν , Т ) d ν <\ displaystyle <\ begin
> & = \ int _ <0>^ <\ infty>I (\ nu, T) \, d \ nu \ int _ <0>^ <2 \ pi>\, d \ varphi \ int _ <0>^ <\ pi / 2>\ cos \ theta \ sin \ theta \, d \ theta \\ & = \ pi \ int _ <0>^ <\ infty>I (\ nu, T) \, d \ nu \ end <выровнено>>>
Затем мы подключаемся к I :
п А знак равно 2 π час c 2 ∫ 0 ∞ ν 3 е час ν k Т — 1 d ν <\ displaystyle <\ frac
> = <\ frac <2 \ pi h>
Чтобы вычислить этот интеграл, сделайте замену,
ты знак равно час ν k Т d ты знак равно час k Т d ν <\ displaystyle <\ begin
п А знак равно 2 π час c 2 ( k Т час ) 4 ∫ 0 ∞ ты 3 е ты — 1 d ты . <\ displaystyle <\ frac
> = <\ frac <2 \ pi h>
Интеграл справа является стандартным и имеет много названий: это частный случай интеграла Бозе – Эйнштейна , полилогарифма или дзета-функции Римана . Значение интеграла дает результат, который для идеальной поверхности черного тела: ζ ( s ) <\ displaystyle \ zeta (s)> 6 ζ ( 4 ) знак равно π 4 15 <\ displaystyle 6 \ zeta (4) = <\ frac <\ pi ^ <4>> <15>>>
j ⋆ знак равно σ Т 4 , σ знак равно 2 π 5 k 4 15 c 2 час 3 знак равно π 2 k 4 60 ℏ 3 c 2 . <\ displaystyle j ^ <\ star>= \ sigma T ^
\ sigma = <\ frac <2 \ pi ^ <5>k ^ <4>> <15c ^ <2>h ^ < 3>>> = <\ frac <\ pi ^ <2>k ^ <4>> <60 \ hbar ^ <3>c ^ <2>>>.>
Наконец, это доказательство началось только с рассмотрения небольшой плоской поверхности. Однако любую дифференцируемую поверхность можно аппроксимировать набором небольших плоских поверхностей. Пока геометрия поверхности не заставляет черное тело реабсорбировать собственное излучение, полная излучаемая энергия является просто суммой энергий, излучаемых каждой поверхностью; а общая площадь поверхности — это просто сумма площадей каждой поверхности, так что этот закон также выполняется для всех выпуклых черных тел, пока поверхность имеет одинаковую температуру повсюду. Закон распространяется на излучение невыпуклых тел, используя тот факт, что выпуклая оболочка черного тела излучается так, как если бы оно само было черным телом.
Плотность энергии
Полная плотность энергии U может быть рассчитана аналогичным образом, за исключением того, что интегрирование проводится по всей сфере и отсутствует косинус, а поток энергии (U c) следует разделить на скорость c, чтобы получить плотность энергии U :
U знак равно 1 c ∫ 0 ∞ я ( ν , Т ) d ν ∫ d Ω <\ Displaystyle U = <\ гидроразрыва <1>
Таким образом заменяется на , что дает дополнительный коэффициент 4. ∫ 0 π / 2 потому что θ грех θ d θ <\ displaystyle \ int _ <0>^ <\ pi / 2>\ cos \ theta \ sin \ theta \, d \ theta> ∫ 0 π грех θ d θ <\ Displaystyle \ int _ <0>^ <\ pi>\ sin \ theta \, d \ theta>
Таким образом, всего:
U знак равно 4 c σ Т 4 <\ Displaystyle U = <\ гидроразрыва <4>
Источник