5. Л. Эйлер
Леонард Эйлер (1707—1783), один из крупнейших ученых мира и — наряду с Ломоносовым — гордость Петербургской Академии наук XVIII столетия, прославившийся многими выдающимися работами, посвятил много внимания разрешению практических и теоретических вопросов астрономии, и его труды в этой области навсегда вошли в историю науки. Уже упоминалось о том, что Эйлер принимал деятельное участие в подготовке геодезических экспедиций и в составлении географического атласа России. Он участвовал также в подготовке экспедиций в Сибирь для наблюдений прохождения Венеры в 1761 и 1769 гг.
Леонард Эйлер (1707—1783)
Однако главные из трудов Эйлера, связавших его имя с историей астрономии, относились к оптике и небесной механике. Опровергнув утверждение Ньютона о невозможности создания ахроматического объектива, который не давал бы окрашенных изображений предметов, Эйлер в труде «Диоптрика» (1769—1771) изложил свой способ расчета ахроматических телескопов и микроскопов. Пользуясь теорией Эйлера (основы которой он высказал еще в 1747 г.), академик Н.И. Фусс разработал практические способы расчета линз, а академик Эпинус изготовил в России один из первых в мире ахроматических микроскопов. Ахроматический же телескоп изготовил в 1751 г. в Англии Доллонд, опираясь уже на ранние выводы Эйлера. Таким образом, благодаря трудам Эйлера был сделан крупнейший шаг вперед в области изучения оптическими приборами как огромных небесных тел, так и мельчайших организмов и частиц вещества.
Исключительные трудности преодолел Эйлер, разрабатывая теорию движения Луны, изложенную им в мемуарах, опубликованных в Петербурге в 1747, 1752, 1772, 1777 и 1781 гг. Если знать заранее по времени начального меридиана, например петербургского, моменты, когда Луна будет занимать на небе определенное положение среди звезд, то можно определить географическую долготу места наблюдения, отметив, когда по местному времени Луна занимает указанное положение. Географическая долгота равна разности моментов данного положения Луны по местному времени, отмеченному при наблюдениях, и по петербургскому времени, вычисленному заранее на основе теории движения Луны. Другие способы определения географической долготы, доступные в ту эпоху, были менее точны, а главное, не всегда могли применяться (например, наблюдения затмений Юпитером его спутников). Большим затруднением для теории является то, что движение Луны вокруг Земли очень сложно, так как на Луну помимо Земли оказывает действие и притяжение Солнца. Поэтому Луна обращается вокруг Земли с постоянно меняющейся скоростью и всякий раз по несколько иному пути, который похож на эллипс только приблизительно. Эти неравномерности в движении Луны были давно известны из наблюдений; они происходили в соответствии с законом тяготения, но предвычислить их величину заранее и с нужной точностью не удавалось.
Между тем развитие мореплавания настоятельно требовало нахождения метода определения долготы корабля в море, так как неточность определения его координат и ошибки в определении долгот и широт подводных камней и мелей не раз служили причиной гибели судов. Английское правительство, особенно заинтересованное в обеспечении мореплавания, в 1713 г. объявило даже премию в 200000 рублей золотом за нахождение способа определения долготы хотя бы с точностью до 30′.
Эйлер в 1753 и 1774 гг. опубликовал две исключительно важные работы, по-новому трактовавшие проблему движения Луны и позволявшие составить таблицы для предвычисления ее положений на небе.
Метод изучения движения Луны, примененный Эйлером, основывался на другой его замечательной работе по изучению движений небесных тел.
Из закона тяготения следует, что одно тело под действием тяготения к другому должно описывать вокруг него эллиптическую орбиту. Так, Земля и всякая другая планета при взаимодействии с одним лишь Солнцем должна двигаться по определенному эллипсу и так же должна двигаться Луна вокруг Земли. Однако взаимное тяготение между планетами и притяжение Луны Солнцем расстраивают это движение, которое уже становится не строго эллиптическим. Отклонения от законов эллиптического движения называются возмущениями, и учет их представляет собой труднейшую задачу небесной механики, которую после открытия закона всемирного тяготения пытались разрешить лучшие математики мира.
Полное, практически годное для расчетов решение задачи движения даже только трех тяготеющих друг к другу тел не дано до сих пор, но для случая, когда тяготение к одному телу значительно преобладает (а так именно и происходит в солнечной системе, где Солнце по своей массе в 750 раз превосходит все планеты, вместе взятые), Эйлеру удалось найти совершенно новый и крайне плодотворный метод исследования.
В 1756 г. в своей работе, премированной Академией, Эйлер развил метод, найденный им еще до 1753 г. при изучении возмущений в движении Луны. Этот метод называется методом вариации элементов орбиты, т. е. тех величин, которые характеризуют размеры эллиптической орбиты, ее форму и положение в пространстве. Вследствие возмущений Луна и планеты описывают орбиты, отличающиеся от эллипсов. Эйлер остроумно предложил считать, что возмущаемое тело все время движется по эллипсу, но что элементы этого эллипса непрерывно меняются в зависимости от времени. Это позволило вычислять орбиту тела и его положение на орбите на очень большой срок вперед.
Более подробное и точное изучение вопроса встретило такие большие математические трудности, что и в настоящее время продолжается разработка этого наследия, оставленного Эйлером. Метод Эйлера оказался применимым не только к Луне, но именно за первую работу о Луне Эйлеру была выплачена часть упомянутой выше премии английского правительства, долгие годы не находившей достойного кандидата для ее получения. Другая часть премии была выплачена немецкому ученому Майеру, составившему таблицы движения Луны на основе той же теории Эйлера.
Основные заслуги великих математиков Лагранжа и Лапласа в значительной мере состояли в развитии идей и методов Эйлера, в частности в изучении выявленных Эйлером возмущений двух видов — периодических и вековых. Периодические возмущения меняют элементы орбиты лишь в небольших пределах. Так, орбита Земли немного меняет свою форму, становясь то более, то менее вытянутой. Вековые же возмущения изменяют элементы орбиты все время в одну и ту же сторону неограниченно. Например, орбита Луны в пространстве поворачивается все время в одну и ту же сторону, что сильно сказывается на приливах, на периодичности солнечных и лунных затмений, на движении земной оси и т. п.
Среди астрономических трудов Эйлера следует еще отметить разработанный им в 1744 г. метод определения кометных орбит с любым эксцентриситетом; Эйлер касался этого вопроса и в своих работах 1734 и 1778 гг., а также разрабатывал теорию притяжения тел (1738) и теорию приливов (1740).
В 1766 г. Эйлер исследовал законы рефракции — преломления лучей небесных светил в земной атмосфере. Еще раньше, в 1746 г., он разрабатывал теорию распространения света и теорию аберрации — кажущегося отклонения видимого положения светила от его истинного положения на небе, вызванного сочетанием движения Земли с находящимся на ней наблюдателем и конечной скорости распространения света. Эйлер предполагал, что в межпланетном пространстве может быть среда (он называл ее эфиром), препятствующая движению в ней планет, и изучал теорию этого вопроса.
Исследуя теорию вращения небесных тел, Эйлер предположил, что полюсы должны несколько перемещаться по поверхности Земли с определенным периодом. Это его предположение было подтверждено наблюдениями только в 90-х годах XIX в.
Источник
Теория движения луны эйлера
Автор: Леонард Эйлер
Название: Новая теория движения Луны
Издательство: Л.: АН СССР
Год: 1934
Язык: Русский
Формат: pdf
Размер: 110,3 mb
Страниц: 208
Колебательное движение приобретает все большее и большее значение в технике, благодаря введению самых разнообразных, мощных и быстроходных механизмов, и во многих случаях приходится иметь дело с дифференциальными уравнениями нелинейными, а если и линейными, то с переменными коэффициентами, т. е. как раз с уравнениями того вида, которые рассматривает Эйлер в своей теории Луны.
Перевод был предназначен не для астрономов, а для техников и инженеров, а его назначение — сделать для них доступными методы Эйлера в его собственном, столь полном и ясном, изложении.
Предисловие переводчика
Предисловие автора
ЧАСТЬ ПЕРВАЯ
Исследование дифференциальных уравнений движения Луны
Предварительные сведения о движении Луны
Основные формулы для движения Луны
Более обстоятельное рассмотрение движения Земли или тела ?
Общее преобразование найденных формул
Приведение предыдущих координат к средней долготе Лупы
Развитие членов, заключающих делитель vЗ
Исключение величин u и ? из предыдущих уравнений
Приведение предыдущих формл к синусам и косинусам первой степени
Приведение трех наших уравнений к трем другим более удобным координатам
Развитие членов, содержащих делитель u3 — иначе членов, содержащих множитель ?
Определение значения буквы ?, введенной в наши
уравнения
Общие правила решения наших уравнений
Введение средней аномалии Луны и, сверх того,
аргумента широты
О различных порядках лунных неравенств
Отдельные дифференциальные уравнения для каждого из членов установленных выше порядков
ЧАСТЬ ВТОРАЯ
Численное развитие уравнений, составленных в предыдущей части для координат x и y
Развитие уравнений для величин ? и О, составляющих верный порядок
Развитие уравнений для величии ? и Р, входящих в члены 2-го порядка
ЧАСТЬ ТРЕТЬЯ
Численное развитие уравнения, коими определяется координата z
Развитие уравнения для величины р, входящей в член первого порядка
Прибавления и примечания переводчика
Элементарные сведения из астрономии
Понятия о теориях Луны Адамса и Хилля
Примечание к главе XIII
Извлечение из сочинения G. W. Ніll’я—Researches in the Lunar Theory
Источник
Луна — спутник Земли
© Владимир Каланов,
сайт «Знания-сила».
Движение Луны, как и движение планет, изучалось астрономами всех веков. Сначала, в древние века и до Коперника изучалось видимое на небе движение Луны, затем её истинное движение в пространстве. Все классики небесной механики приложили руку к теории движения Луны. С Луной связаны интереснейшие страницы истории развития небесной механики.
Первые аналитические теории движения Луны были построены Даламбером (в 1751 г.), Клеро (в 1752 г.), Эйлером (в 1753 г.). Наиболее фундаментальной среди теорий, построенных до конца XVIII в., была теория Лапласа. Она согласовалась с наблюдениями Луны с точностью до 0,5′ . Первой теорией, не уступающей наблюдениям по уровню точности, была теория немецкого астронома П. Ганзена (1795-1874) , построенная им в 1838-1864 гг. Расхождения теории Ганзена с наблюдениями Луны в 1750-1850 гг. не превышали 0,1″ . Однако в последующие годы наблюдения стали расходиться с таблицами Ганзена: в 1875 г.— на 8» , в 1880 г.— на 10», в 1889 г.— на 18» . Эти расхождения были, как выявилось в дальнейшем, не столько результатом тех или иных неточностей теории Ганзена, но имели под собой более серьезную причину. Но в то время лишь констатировали, что теория Ганзена нуждается в переработке. Её исправили, устранив некоторые неточности, но добавив эмпирические поправки, не вытекающие из решений уравнений движения. В таком исправленном виде теория Ганзена оставалась основой для Астрономических ежегодников до 1923 г.
Последней теорией, завершившей классические аналитические теории движения Луны, явилась теория американского астронома Е. Брауна (1866-1938). Первая публикация Брауна относится к 1895 г. , окончательные таблицы движения Луны опубликованы в 1919 г. Теория была разработана с предельной скрупулезностью (вспомогательным вычислительным средством были лишь таблицы логарифмов) на основе своего метода, отличного от обычного метода последовательных приближений.
Для массы Луны , для некоторых величин, эквивалентных начальным элементам орбиты Луны, Брауном были приняты конкретные числовые значения (их называют системой констант или параметров движения Луны), определяемые по многолетним наблюдениям Луны, так что теория Брауна является численно-аналитической. Формулы Брауна для видимых положений Луны на небе содержат около 1200 выражений вида:
где С — числовой коэффициент (в секундах и долях секунды дуги), а А зависит от угловых элементов орбит и средних движений Луны, Земли и планет. Наименьшие коэффициенты С равны 0,001 » , т.е. теория учитывает все столь малые колебания видимых положений Луны. Для расстояния Луны от Земли, меняющегося при движении Луны по орбите, имеется в теории Брауна ещё 252 аналогичных выражений.
Вместе с тем обнаружилось, что, как и в случае теории Ганзена, для согласия между теорией и наблюдениями Луны необходима эмпирическая поправка, не вытекающая из закона тяготения Ньютона. Иначе Луна «убегала» от своей теории вперёд в среднем на 11 » за 100 лет. Только после добавления такой поправки теория Брауна стала отвечать наблюдениям Луны в период 1625-1720 гг. с точностью до 0,6″ и с наблюдениями после 1720 г. с точностью до 0,1» . С 1923 по 1960 гг. теория Брауна служила основой для эфемерид Луны в Астрономических ежегодниках. Но эмпирическая поправка к столь детальной теории заставляла астрономов думать и искать. Это было ещё одно «чрезвычайное происшествие» в небесной механике. В конце концов астрономы пришли к важному открытию.
• Оказалось, что для теорий движения небесных тел нужна своя специальная система измерения времени. Обычные астрономические сутки, часы, минуты, секунды для этого не годятся, так как они определяются по вращению нашей Земли, а она вращается неравномерно. С 1950 г. в небесную механику ввели так называемое эфемеридное время.
Остановимся ещё на одной теории движения Луны, сыгравшей важную роль в развитии небесной механики. Это — теория, созданная в 1845-1865 гг. французским математиком и астрономом Шарлем Делонэ (1816-1872) . Прежде всего Делонэ выбрал такую систему оскулирующих элементов орбиты Луны, что уравнения относительно этих элементов в задаче трёх тел (Земля — Луна — Солнце) имеют специальную, так называемую каноническую форму. Затем он разработал оригинальный метод, позволяющий найти, как правило, очень точное аналитическое решение составленных уравнений с помощью последовательности (циклов) однотипных математических преобразований, называемых сейчас преобразованиями Делонэ *) . Таких циклов преобразований их автор выполнил вручную (!) и при помощи только таблиц логарифмов 497 (каждый из циклов включал от десятков до тысяч различных математических операций), затратив на них 20 лет. В результате была получена теория движения Луны в схеме спутниковой задачи трёх тел, причем это была первая полностью аналитическая (или, как говорят астрономы, буквенная) теория. Все параметры движения, массы небесных тел входили в окончательные формулы как буквенные алгебраические величины, вместо которых можно подставить любые (в известных, естественно, пределах) числовые значения. Эта теория принадлежала к аналитическим теориям движения нового типа, принципиально отличающимся от классических аналитических (правильней сказать, численно-аналитических) теорий движения планет и Луны. Ее можно применить к любому спутнику любой планеты.
Однако теория Делонэ в применении к Луне не обладала требуемой точностью, не могла соперничать с теорией Ганзена и не нашла настоящего практического применения. То количество циклов преобразований (497), которое сумел преодолеть Делонэ, оказалось недостаточным. Тем не менее именно теории этого типа определили направление прогресса аналитических теорий движения небесных тел во второй половине XX в.
*) Вопрос о точности приближенных решений, получаемых методом Делонэ, — это сложнейшая математическая проблема. Она не решена до сих пор. Вообще, с каждым последующим циклом получаемое приближенное решение становится все более и более близким к точному. Но с математически строгой позиции такое сближение имеет свой предел, т.е. существует определенный барьер (какой, мы не знаем), отделяющий точное решение от приближенного независимо от количества реализованных циклов Делонэ.
• Даже если мы будем исходить из того, что все астрономические тела являются точечными, всё равно остается вопрос о «проблеме трёх тел». К примеру, как можно рассчитать движение Луны во Вселенной среди множества объектов, каждый из которых имеет своё гравитационное поле, даже если эти объекты, включая Луну, являются точечными источниками?
Распределение тел во Вселенной таково, что при приближённых расчётах необходимо брать во внимание только два тела. Когда присутствует третье тело, то оно, как правило, так мало, что его можно проигнорировать, или столь удалено, что первые два тела можно считать относительно него одним точечным объектом. Но, даже игнорируя «проблему трёх тел», мы должны решить «проблему двух тел».
Предположим, мы возьмем в рассмотрение Луну и Землю. Эти два тела находятся на расстоянии (в среднем) 384000 км. друг от друга; если даже увеличить это расстояние в сто раз, то никакого другого тела поблизости не окажется. При первой аппроксимации мы можем предположить, что Луна и Земля одни во Вселенной, и будем рассматривать их в свете «проблемы двух тел».
Система Земля — Луна находится от Солнца в 149597800 км. Поблизости есть и другие тела (Меркурий, Венера и Марс, когда они находятся на той же стороне от Солнца, что и Земля). Солнце, однако, в 1500 раз массивнее, чем все другие планеты, вместе взятые (750 раз, чем все объекты Солнечной системы, 332 982 масс Земли), так что система Земля — Луна выступает относительно Солнца как точечный объект (находящийся в центре тяжести системы Земля —Луна), и этот точечный источник вместе с Солнцем можно рассматривать в свете «проблемы двух тел».
При решении задачи о движении Луны мы сразу обнаружим, что Луна и Земля движутся в паре по связанным эллипсам вокруг центра гравитации системы. Описываемый Землёй эллипс так мал, что в первом приближении мы его даже не станем рассматривать. Лишь в этом случае фраза «Луна вращается вокруг Земли» будет правомочна. Только лишь из относительных размеров этих эллипсов можно заключить, что Земля в 81 раз больше по массе, чем Луна.
На Луну оказывает действие также гравитационное поле утолщения Земли у экватора, а также Венера, Меркурий, Марс, Юпитер и другие планеты. Интенсивность этих гравитационных взаимодействий постоянно изменяется, поскольку Луна, Земля, Венера и другие тела движутся по своим орбитам на скорости, которая не является постоянной.
Но все эти гравитационные взаимодействия вызывают только небольшие изменения («возмущения») в лунной орбите, и потому в приближенных расчётах можно учитывать только два тела. Тем не менее астрономическая точность требует, чтобы были взяты в расчёт все взаимодействия. Известно, что уравнение, представляющее движение Луны с учётом всех возмущений, занимает большой том, и даже при этом оно может быть только аппроксимацией, хоть и очень близкой.
Подготовил: Владимир Каланов
Рекомендуемая литература:
«Движения небесных тел» Ю.А. Рябов.
Источник