Теорема Пуанкаре о возвращении — Poincaré recurrence theorem
В физике , то рецидивы Пуанкаре теорема утверждает , что некоторые системы будут, после достаточно долгого , но конечное время возвращения в состояние сколь угодно близко к (для непрерывных государственных систем), или точно так же , как (для дискретных состояния систем), их первоначальное состояние .
Время повторения Пуанкаре — это промежуток времени, прошедший до повторения; это время может сильно варьироваться в зависимости от точного исходного состояния и требуемой степени близости. Результат применим к изолированным механическим системам с некоторыми ограничениями, например, все частицы должны быть связаны с конечным объемом. Теорема обычно обсуждается в контексте эргодической теории , динамических систем и статистической механики . Системы, к которым применима теорема Пуанкаре о возвращении, называются консервативными системами .
Теорема названа в честь Анри Пуанкаре , который обсуждал ее в 1890 году и доказал Константин Каратеодори, используя теорию меры в 1919 году.
СОДЕРЖАНИЕ
Точная формулировка
Любая динамическая система, определяемая обыкновенным дифференциальным уравнением, определяет карту потока f t, отображающую фазовое пространство на себя. Система называется сохраняющей объем, если объем множества в фазовом пространстве инвариантен относительно потока. Например, все гамильтоновы системы сохраняют объем в силу теоремы Лиувилля . Теорема такова: если поток сохраняет объем и имеет только ограниченные орбиты, то для каждого открытого множества существуют орбиты, которые пересекают множество бесконечно часто.
Обсуждение доказательств
Доказательство, говоря качественно, опирается на две посылки:
- Можно установить конечную верхнюю границу для общего потенциально доступного объема фазового пространства. Для механической системы это ограничение может быть обеспечено, если потребовать, чтобы система содержалась в ограниченной физической области пространства (чтобы она не могла, например, выбрасывать частицы, которые никогда не возвращаются) — в сочетании с сохранением энергии это блокирует систему в конечную область в фазовом пространстве.
- Фазовый объем конечного элемента в динамике сохраняется. (для механической системы это обеспечивается теоремой Лиувилля )
Представьте себе любой конечный начальный объем фазового пространства и проследите его путь в динамике системы. Объем «перемещает» точки фазового пространства по мере своего развития, и «фронт» этого перемещения имеет постоянный размер. Со временем исследуемый фазовый объем (известный как «фазовая трубка») линейно растет, по крайней мере, сначала. Но поскольку доступный фазовый объем конечен, объем фазовой трубки должен в конечном итоге насыщаться, потому что он не может расти больше доступного объема. Это означает, что фазовая трубка должна пересекаться. Однако для того, чтобы пересечь себя, он должен сначала пройти через начальный объем. Следовательно, по крайней мере, конечная часть начального объема повторяется.
Теперь рассмотрим размер невозвратной части объема начальной фазы — той части, которая никогда не возвращается к начальному объему. Используя принцип, который только что обсуждался в последнем абзаце, мы знаем, что если невозвратная часть конечна, то конечная часть невозвратной части должна возвращаться. Но это было бы противоречием, поскольку любая часть невозвратной части, которая возвращается, также возвращается к исходному начальному объему. Таким образом, невозвратная часть начального объема не может быть конечной и должна быть бесконечно меньше, чем сам начальный объем.
Теорема не комментирует некоторые аспекты повторяемости, которые это доказательство не может гарантировать:
- Могут быть некоторые особые фазы, которые никогда не возвращаются к начальному объему фазы или которые возвращаются к начальному объему только конечное число раз, а затем никогда не возвращаются снова. Однако они крайне «редки», составляя бесконечно малую часть любого начального объема.
- Не все части фазового объема должны возвращаться одновременно. Некоторые «пропустят» начальный объем на первом проходе, но вернутся позже.
- Ничто не мешает фазовой трубке полностью вернуться в исходный объем до того, как будет исчерпан весь возможный фазовый объем. Тривиальный пример этого — гармонический осциллятор . Системы, которые покрывают весь доступный фазовый объем, называются эргодическими (это, конечно, зависит от определения «доступного объема»).
- Что можно сказать, так это то, что для «почти любой» начальной фазы система в конечном итоге вернется произвольно близко к этой начальной фазе. Время повторения зависит от требуемой степени близости (размера фазового объема). Чтобы добиться большей точности повторения, нам нужно брать меньший начальный объем, что означает более длительное время повторения.
- Для данной фазы в томе повторение не обязательно является периодическим повторением. Второе время повторения не обязательно должно быть вдвое больше, чем первое время повторения.
Официальное заявление
( Икс , Σ , μ ) <\ displaystyle (X, \ Sigma, \ mu)> 
ж : Икс → Икс <\ displaystyle f \ двоеточие от X \ до X>
— сохраняющее меру преобразование . Ниже приведены два альтернативных утверждения теоремы.
Теорема 1.
Для любого , множество тех точек зрения , для которых существует такое , что для всех имеет нулевую меру. E ∈ Σ <\ displaystyle E \ in \ Sigma> Икс <\ displaystyle x> E <\ displaystyle E> N ∈ N <\ Displaystyle N \ in \ mathbb ж п ( Икс ) ∉ E <\ Displaystyle е ^ <п>(х) \ notin E> N>»> п > N <\ displaystyle n>N> N»>
Другими словами, почти каждая точка возвращается в . Фактически, почти каждая точка возвращается бесконечно часто; т.е. E <\ displaystyle E> E <\ displaystyle E>
N\>\right)=0.>»> μ ( < Икс ∈ E : Существует N такой, что ж п ( Икс ) ∉ E для всех п >N > ) знак равно 0. <\ displaystyle \ mu \ left (\ N \> \ right) = 0.»>
Для доказательства см. Процитированную ссылку.
Теорема 2.
Ниже приводится топологическая версия этой теоремы:
Если является вторым счетным хаусдорфовым пространством и содержит борелевскую сигма-алгебру , то множество рекуррентных точек имеет полную меру. То есть почти каждая точка повторяется. Икс <\ displaystyle X> Σ <\ displaystyle \ Sigma> ж <\ displaystyle f>
Для доказательства см. Процитированную ссылку.
В более общем плане теорема применима к консервативным системам , а не только к динамическим системам, сохраняющим меру. Грубо говоря, можно сказать, что консервативные системы — это как раз те, к которым применима теорема о возвращении.
Квантовая механическая версия
Для не зависящих от времени квантово-механических систем с дискретными собственными состояниями энергии справедлива аналогичная теорема. Для каждого и существует время T больше, чем , такое, что где обозначает вектор состояния системы в момент времени t . 0>»> ε > 0 <\ displaystyle \ varepsilon>0> 0″> 0>»> Т 0 > 0 <\ displaystyle T_ <0>> 0> 0″> Т 0 <\ displaystyle T_ <0>> | | ψ ( Т ) ⟩ — | ψ ( 0 ) ⟩ | ε <\ Displaystyle || \ psi (T) \ rangle - | \ psi (0) \ rangle | | ψ ( т ) ⟩ <\ Displaystyle | \ psi (т) \ rangle>
Существенные элементы доказательства следующие. Система развивается во времени в соответствии с:
| ψ ( т ) ⟩ знак равно ∑ п знак равно 0 ∞ c п exp ( — я E п т ) | ϕ п ⟩ <\ displaystyle | \ psi (t) \ rangle = \ sum _
где — собственные значения энергии (поэтому мы используем натуральные единицы ), а — собственные состояния энергии. Квадрат нормы разности вектора состояния в момент времени и момент времени может быть записан как: E п <\ displaystyle E_ ℏ знак равно 1 <\ displaystyle \ hbar = 1> | ϕ п ⟩ <\ displaystyle | \ phi _ Т <\ displaystyle T>
| | ψ ( Т ) ⟩ — | ψ ( 0 ) ⟩ | 2 знак равно 2 ∑ п знак равно 0 ∞ | c п | 2 [ 1 — потому что ( E п Т ) ] <\ displaystyle || \ psi (T) \ rangle - | \ psi (0) \ rangle | ^ <2>= 2 \ sum _
Мы можем обрезать суммирование при некотором n = N, не зависящем от T , потому что
∑ п знак равно N + 1 ∞ | c п | 2 [ 1 — потому что ( E п Т ) ] ≤ 2 ∑ п знак равно N + 1 ∞ | c п | 2 <\ displaystyle \ sum _
которое можно сделать сколь угодно малым, увеличивая N , поскольку суммирование , являющееся квадратом нормы начального состояния, сходится к 1. ∑ п знак равно 0 ∞ | c п | 2 <\ Displaystyle \ сумма _ <п = 0>^ <\ infty>| c_ <п>| ^ <2>>
∑ п знак равно 0 N | c п | 2 [ 1 — потому что ( E п Т ) ] <\ displaystyle \ sum _
можно сделать сколь угодно малым для конкретного выбора времени T в соответствии со следующей конструкцией. Выберите произвольный , а затем выберите T так , чтобы были целые числа , удовлетворяющие 0>»> δ > 0 <\ displaystyle \ delta>0> 0″> k п <\ displaystyle k_
| E п Т — 2 π k п | δ <\ displaystyle | E_ ,
для всех номеров . Для этого конкретного выбора T , 0 ≤ п ≤ N <\ Displaystyle 0 \ Leq п \ Leq N>
1 — потому что ( E п Т ) δ 2 2 . <\ displaystyle 1- \ cos (E_
Таким образом, у нас есть:
2 ∑ п знак равно 0 N | c п | 2 [ 1 — потому что ( E п Т ) ] δ 2 ∑ п знак равно 0 N | c п | 2 δ 2 <\ displaystyle 2 \ sum _ .
Таким образом, вектор состояния возвращается произвольно близко к начальному состоянию . | ψ ( Т ) ⟩ <\ displaystyle | \ psi (T) \ rangle> | ψ ( 0 ) ⟩ <\ displaystyle | \ psi (0) \ rangle>
Смотрите также
Рекомендации
дальнейшее чтение
- Пейдж, Дон Н. (25 ноября 1994 г.). «Потеря информации в черных дырах и / или сознательных существах?». arXiv : hep-th / 9411193 .
Внешние ссылки
- Падилья, Тони. «Самое долгое время» . Numberphile . Брэди Харан . Архивировано из оригинала на 2013-11-27 . Проверено 8 апреля 2013 .
- «Кошачья карта Арнольда: интерактивная графическая иллюстрация теоремы Пуанкаре о возвращении» .
Эта статья включает материал из теоремы Пуанкаре о повторении из PlanetMath , которая находится под лицензией Creative Commons Attribution / Share-Alike License .
Источник