Вселе́нная Фри́дмана (метрика Фридмана — Леметра — Робертсона — Уокера) — одна из космологических моделей, удовлетворяющих полевым уравнениям общей теории относительности (ОТО), первая из нестационарных моделей Вселенной. Получена Александром Фридманом в 1922. Модель Фридмана описывает однородную изотропную в общем случае нестационарную Вселенную с веществом, обладающую положительной, нулевой или отрицательной постоянной кривизной. Эта работа учёного стала первым основным теоретическим развитием ОТО после работ Эйнштейна 1915—1917 гг.
Содержание
История открытия [ | ]
Решение Фридмана было опубликовано в авторитетном физическом журнале Zeitschrift für Physik в 1922 [1] и 1924 (для Вселенной с отрицательной кривизной) [2] . Решение Фридмана было вначале отрицательно воспринято Эйнштейном (который предполагал стационарность Вселенной и даже ввёл с целью обеспечения стационарности в полевые уравнения ОТО так называемый лямбда-член), однако затем он признал правоту Фридмана. Тем не менее, работы Фридмана (умершего в 1925) остались вначале незамеченными.
Нестационарность Вселенной была подтверждена открытием зависимости красного смещения галактик от расстояния (Эдвин Хаббл, 1929). Независимо от Фридмана, описываемую модель позднее разрабатывали Леметр (1927), Робертсон и Уокер (1935), поэтому решение полевых уравнений Эйнштейна, описывающее однородную изотропную Вселенную с постоянной кривизной, называют моделью Фридмана — Леметра — Робертсона — Уокера.
Эйнштейн не раз подтверждал, что начало теории расширяющейся Вселенной положил А. А. Фридман.
В творчестве А. А. Фридмана работы по теории относительности могли бы на первый взгляд показаться довольно внезапными. Ранее в основном он работал в области теоретической гидромеханики и динамической метеорологии.
Усвоение Фридманом ОТО было весьма интенсивным и в высшей степени плодотворным. Совместно с Фредериксом он взялся за капитальный труд «Основы теории относительности», в которой предполагалось изложить «достаточно строго с логической точки зрения» основы тензорного исчисления, многомерной геометрии, электродинамики, специального и общего принципа относительности.
Книга Фредерикса и Фридмана «Основы теории относительности» — это обстоятельное, подробное изложение теории относительности, основанное на весьма солидном математическом фундаменте геометрии общей линейной связности на многообразии произвольной размерности и теории групп. Исходной для авторов оказывается геометрия пространства-времени.
В 1923 г. была опубликована популярная книга Фридмана «Мир как пространство и время», посвящённая ОТО и ориентированная на довольно подготовленного читателя. В 1924 г. появилась статья Фридмана, рассматривавшая некоторые вырожденные случаи общей линейной связности, которые, в частности, обобщают перенос Вейля и, как считали авторы, «может быть, найдут применение в физике».
И, наконец, главным результатом работы Фридмана в области ОТО стала космологическая нестационарная модель, носящая теперь его имя.
По свидетельству В. А. Фока, в отношении Фридмана к теории относительности преобладал подход математика: «Фридман не раз говорил, что его дело — указать возможные решения уравнений Эйнштейна, а там пусть физики делают с этими решениями, что они хотят» [3] .
Изначально, уравнения Фридмана использовали уравнения ОТО с нулевой космологической постоянной. И модели, основанные на них, безоговорочно доминировали (помимо короткого всплеска интереса к другим моделям в 1960-е гг.) вплоть до 1998 года [4] . В тот год вышли две работы, использовавшие в качестве индикаторов расстояния сверхновые типа Ia. В них было убедительно показано, что на больших расстояниях закон Хаббла нарушается и Вселенная расширяется ускоренно, что требует наличия тёмной энергии, известные свойства которой соответствуют Λ-члену.
Современная модель, так называемая «модель ΛCDM», по-прежнему является моделью Фридмана, но уже с учётом как космологической постоянной, так и тёмной материи.
Метрика Фридмана — Робертсона — Уокера [ | ]
i j , Γ 0 j i = a ˙ a δ i j , Γ j l i = Γ
i j d d t ( a ˙ a ) , Γ i k 0 Γ j 0 k = g
i j a ˙ 2 , Γ i j 0 Γ 0 l l = 3 g
i j a ˙ 2 , ∂ Γ i 0 i ∂ t = 3 d d t ( a ˙ a ) , Γ 0 j i Γ i 0 j = 3 ( a ˙ a ) 2 <\displaystyle <\begin<\frac <\partial \Gamma _^<0>><\partial t>>&=<\tilde >_<\frac
Геометрия однородной изотропной Вселенной — это геометрия однородного и изотропного трёхмерного многообразия. Метрикой таких многообразий является метрика Фридмана — Робертсона — Уокера (FWT) [5] :
d s 2 = d t 2 − a 2 ( t ) d χ 2 , <\displaystyle ds^<2>=dt^<2>-a^<2>(t)\,d\chi ^<2>,>
где χ — так называемое сопутствующие расстояние или конформное, не зависящее от времени, в отличие от масштабного фактора a , t — время в единицах скорости света, s — интервал.
d s 2 = d t 2 − a 2 ( t ) ( d x 2 + k ( x d x ) 2 1 − k x 2 ) , <\displaystyle ds^<2>=dt^<2>-a^<2>(t)\left(dx^<2>+k<\frac <(xdx)^<2>><1-kx^<2>>>\right),>
где k принимает значение:
k = 0 для трёхмерной плоскости, k = 1 для трёхмерной сферы, k = −1 для трёхмерной гиперсферы,
Существуют всего три типа трёхмерных многообразий: трёхмерная сфера, трёхмерная гиперсфера и трёхмерная плоскость.
Метрика на трёхмерной плоскости даётся простым выражением
d s 2 = ( d x ) 2 . <\displaystyle ds^<2>=(dx)^<2>.>
Чтоб задать метрику трёхмерной сферы, необходимо ввести 4-мерное евклидово пространство:
d s 2 = ( d x 0 ) 2 + ( d x ) 2 <\displaystyle ds^<2>=(dx_<0>)^<2>+(dx)^<2>>
и добавить уравнение сферы:
a 2 = ( x 0 ) 2 + x 2 . <\displaystyle a^<2>=(x_<0>)^<2>+x^<2>.>
Гиперсферическая метрика уже определяется в 4-мерном пространстве Минковского:
d s 2 = − ( d x 0 ) 2 + ( d x ) 2 . <\displaystyle ds^<2>=-(dx_<0>)^<2>+(dx)^<2>.>
И точно так же, как для сферы, нужно добавить уравнение гиперболоида:
a 2 = ( x 0 ) 2 − x 2 . <\displaystyle a^<2>=(x_<0>)^<2>-x^<2>.>
FWT-метрика — не что иное, как сведение всех вариантов воедино и приложение к пространству-времени.
d s 2 = g μ ν d x μ d x ν , <\displaystyle ds^<2>=g_<\mu \nu >\,dx^<\mu >\,dx^<\nu >,>
где компоненты метрического тензора равны:
g i j = a 2 ( t ) ( δ i j + k x i x j 1 − k r 2 ) , g i 0 = 0 , g 00 = − 1 , <\displaystyle g_=a^<2>(t)\left(\delta _+k<\frac x^><1-kr^<2>>>\right),\quad g_=0,\quad g_<00>=-1,>
где i , j <\displaystyle i,j> пробегают значения 1…3, r 2 = ( x 1 ) 2 + ( x 2 ) 2 + ( x 3 ) 2 <\displaystyle r^<2>=(x^<1>)^<2>+(x^<2>)^<2>+(x^<3>)^<2>> , а x 0 <\displaystyle x^<0>> — временна́я координата.
Основные уравнения [ | ]
Если же выражение для метрики подставить в уравнения ОТО для идеальной жидкости, то получим следующую систему уравнений:
Название
СИ
Естественная система единиц
Уравнение энергии
( a ˙ a ) 2 = 8 π G ρ 3 − ( k c 2 a 2 ) + Λ c 2 3 <\displaystyle \left(<\frac <\dot >>\right)^<2>=<\frac <8\pi G\rho ><3>>-\left(<\frac >>>\right)+<\frac <\Lambda c^<2>><3>>>
( a ˙ a ) 2 = 8 π G ρ 3 − ( k a 2 ) + Λ 3 <\displaystyle \left(<\frac <\dot >>\right)^<2>=<\frac <8\pi G\rho ><3>>-\left(<\frac >>\right)+<\frac <\Lambda ><3>>>
Уравнение движения
a ¨ a = − 4 π G 3 ( ρ + 3 P c 2 ) + Λ c 2 3 <\displaystyle <\frac <\ddot >>=-<\frac <4\pi G><3>>\left(\rho +<\frac <3P>>>\right)+<\frac <\Lambda c^<2>><3>>>
a ¨ a = − 4 π G 3 ( ρ + 3 p ) + Λ 3 <\displaystyle <\frac <\ddot >>=-<\frac <4\pi G><3>>\left(\rho +3p\right)+<\frac <\Lambda ><3>>>
Уравнение неразрывности
d ρ d t = − 3 H ( ρ + P c 2 ) <\displaystyle <\frac
>=-3H\left(\rho +<\frac
>>\right)>
d ρ d t = − 3 H ( ρ + p ) <\displaystyle <\frac
>=-3H\left(\rho +p\right)>
Запишем полевые уравнения Эйнштейна в следующей форме:
R μ ν = − 8 π G S μ ν <\displaystyle R_<\mu \nu >=-8\pi GS_<\mu \nu >> ,
Т.к. в метрике Фридмана-Робертсона-Уокера все афинные связности с двумя или тремя временными индексами обнуляются, то
R i j = ∂ Γ k i k ∂ x j − [ ∂ Γ i j k ∂ x k + ∂ Γ i j 0 ∂ t ] + Γ i k 0 Γ j 0 k + Γ i 0 k Γ j k 0 + Γ i k l Γ j l k − ( Γ i j k Γ k l l + Γ i j 0 Γ 0 l l ) <\displaystyle R_=<\frac <\partial \Gamma _^><\partial x^>>-\left[<\frac <\partial \Gamma _^><\partial x^>>+<\frac <\partial \Gamma _^<0>><\partial t>>\right]+\Gamma _^<0>\Gamma _^+\Gamma _^\Gamma _^<0>+\Gamma _^\Gamma _^-(\Gamma _^\Gamma _^+\Gamma _^<0>\Gamma _<0l>^)> , R 00 = ∂ Γ i 0 i ∂ t + Γ 0 j i Γ 0 i j <\displaystyle R_<00>=<\frac <\partial \Gamma _^><\partial t>>+\Gamma _<0j>^\Gamma _<0i>^>
Подставим в ненулевые компоненты тензора Риччи выражения для символов Кристофеля:
i j = ∂ Γ k i k ∂ x j − ∂ Γ j i k ∂ x k + Γ i k l Γ j l k − Γ i j l Γ k l k <\displaystyle <\tilde >_=<\frac <\partial \Gamma _^><\partial x^>>-<\frac <\partial \Gamma _^><\partial x^>>+\Gamma _^\Gamma _^-\Gamma _^\Gamma _^>
Из всех тех же соотношений для выбранной метрики:
Γ i j k = k x k g
Тогда, в точке x=0 чисто пространственный тензор Риччи равен:
i j = k δ i j − 3 k δ i j = − 2 k δ i j <\displaystyle <\tilde >_=k\delta _-3k\delta _=-2k\delta _>
Но в точке x=0 метрика это просто δij , т.е. в начале координат имеется следующее соотношение двух три-тензоров:
И в силу однородности метрики Фридмана-Робетсона-Уокера это соотношение справедливо при любом преобразовании координат, т.е. соотношение выполняется во всех точках пространства, тогда можно записать:
R i j = ( − 2 k − 2 a ˙ − a a ¨ ) g
Компоненты тензора энергии-импульса в нашей метрике будут следующими:
T 00 = ρ , T i 0 = 0 , T i j = a 2 p g
S i j = T i j − 1 2 g
i j a 2 ( T k k + T 0 0 ) = a 2 p g
i j ( 3 p − ρ ) = 1 2 ( ρ − p ) a 2 g
0>^<0>)=a^<2>p<\tilde >_—<\frac <1><2>>a^<2><\tilde >_(3p-\rho )=<\frac <1><2>>(\rho -p)a^<2><\tilde >_> , S 00 = T 00 + 1 2 ( T k k + T 0 0 ) = ρ + 1 2 ( 3 p − ρ ) = 1 2 ( 3 p + ρ ) <\displaystyle S_<00>=T_<00>+<\frac <1><2>>(T_<
0>^<0>)=\rho +<\frac <1><2>>(3p-\rho )=<\frac <1><2>>(3p+\rho )> S i 0 = 0 <\displaystyle S_=0>
После подстановки уравнения Эйнштейна примут вид:
− 2 k a 2 − 2 a ˙ 2 a 2 − a ¨ a = − 4 π G ( ρ − p ) <\displaystyle -<\frac <2k>>>-<\frac <2<\dot >^<2>>>>-<\frac <\ddot >>=-4\pi G(\rho -p)> 3 a ¨ a = − 4 π G ( 3 p + ρ ) <\displaystyle <\frac <3<\ddot >>>=-4\pi G(3p+\rho )>
Для перехода к уравнениям с Λ-членом необходимо произвести подстановку:
ρ → ρ + Λ 8 π G <\displaystyle \rho \rightarrow \rho +<\frac <\Lambda ><8\pi G>>> p → p − Λ 8 π G <\displaystyle p\rightarrow p-<\frac <\Lambda ><8\pi G>>>
И после элементарных преобразований приходим к итоговому виду.
Уравнение неразрывности следует из условия ковариантного сохранения тензора энергии-импульса:
Явно запишем ненулевые компоненты тензора энергии-импульса:
T 00 = ρ , T i j = 1 a 2 p g
i j , T i j = a 2 p g
подставив эти значения и воспользовавшись выражениями для символов кристофеля в FWT-метрике придём к конечному виду уравнения.
где Λ — космологическая постоянная, ρ — средняя плотность Вселенной, P , p — давление, выраженная в Си и естественной системы единиц соответственно, с — скорость света.
Приведённая система уравнений допускает множество решений, в зависимости от выбранных параметров. На самом деле значение параметров фиксированы только на текущий момент и с течением времени эволюционируют, поэтому эволюцию расширения описывает совокупность решений. [5]
Объяснение закона Хаббла [ | ]
Допустим есть источник, расположенный в сопутствующей системе на расстоянии r1 от наблюдателя. Приёмная аппаратура наблюдателя регистрирует фазу приходящей волны. Рассмотрим два интервала времени δt1 и δt2 между точками с одной и той же фазой [5] :
δ t 1 δ t 0 = ν 0 ν 1 ≡ 1 + z <\displaystyle <\frac <\delta t_<1>><\delta t_<0>>>=<\frac <\nu _<0>><\nu _<1>>>\equiv 1+z>
С другой стороны для световой волны в принятой метрике выполняется равенство:
d t = ± a ( t ) d r 1 − k r 2 <\displaystyle dt=\pm a(t)<\frac <\sqrt <1-kr^<2>>>>>
Проинтегрировав это уравнение получим:
∫ t 0 t 1 d t a ( t ) = ∫ 0 r c d r 1 − k r 2 <\displaystyle \int \limits _>^><\frac
>=\int \limits _<0>^><\frac <\sqrt <1-kr^<2>>>>>
Учитывая что в сопутствующих координатах r [ прояснить ] не зависит от времени, и малость длины волны относительно радиуса кривизны Вселенной, получим соотношение:
δ t 1 a ( t 1 ) = δ t 0 a ( t 0 ) <\displaystyle <\frac <\delta t_<1>>)>>=<\frac <\delta t_<0>>)>>>
Если теперь его подставить в первоначальное соотношение:
1 + z = a ( t 0 ) a ( t 1 ) <\displaystyle 1+z=<\frac )>)>>>
a ( t ) = a ( t 1 ) + a ˙ ( t 1 ) ( t − t 1 ) <\displaystyle a(t)=a(t_<1>)+<\dot >(t_<1>)(t-t_<1>)>
После приведения членов и домножения на c :
c z = a ˙ ( t 1 ) a ( t 1 ) c ( t − t 1 ) = H D <\displaystyle cz=<\frac <<\dot >(t_<1>)>)>>c(t-t_<1>)=HD>
Соответственно, константа Хаббла:
H = a ˙ ( t 1 ) a ( t 1 ) <\displaystyle H=<\frac <<\dot >(t_<1>)>)>>>
Следствия [ | ]
Определение кривизны пространства. Понятие критической плотности [ | ]
Подставив в уравнение энергии, записанного для текущего момента, выражение для постоянной Хаббла( H0 ), приведём его к виду:
1 = Ω m + Ω k + Ω Λ <\displaystyle 1=\Omega _+\Omega _+\Omega _<\Lambda >> ,
где Ω m = ρ ρ c r <\displaystyle \Omega _=<\frac <\rho ><\rho _>>> , Ω Λ = 8 π G Λ c 2 ρ c r <\displaystyle \Omega _<\Lambda >=<\frac <8\pi G\Lambda c^<2>><\rho _>>> , ρ c r = 3 H 0 2 8 π G <\displaystyle \rho _=<\frac <3H_<0>^<2>><8\pi G>>> , Ω k = − k c 2 a 2 H 2 , <\displaystyle \Omega _=-<\frac >H^<2>>>,> плотность вещества и тёмной энергии, отнесённая к критической, сама критическая плотность и вклад кривизны пространства соответственно. Если переписать уравнение следующим образом
Ω k = 1 − ( Ω m + Ω Λ ) = 1 − ( ρ + ρ Λ ρ c r ) <\displaystyle \Omega _=1-(\Omega _+\Omega _<\Lambda >)=1-\left(<\frac <\rho +\rho _<\Lambda >><\rho _>>\right)> ,
то станет очевидно, что:
\rho _\end>>»> k = < − 1 , ρ + ρ Λ ρ c r 0 , ρ + ρ Λ = ρ c r 1 , ρ + ρ Λ >ρ c r <\displaystyle k=<\begin-1,&\rho +\rho _ <\Lambda >\rho _\end>> \rho _<>\end>»/>
Эволюция плотности вещества. Уравнение состояния [ | ]
Стадия
Эволюция масштабного фактора
Параметр Хаббла
Инфляционная
a ∝ e H t <\displaystyle a\propto e^>
H 2 = 8 π 3 ρ v a c M p l 2 <\displaystyle H^<2>=<\frac <8\pi ><3>><\frac <\rho _>^<2>>>>
Радиационное доминирование p=ρ/3
a ∝ t 1 2 <\displaystyle a\propto t^<\frac <1><2>>>
H = 1 2 t <\displaystyle H=<\frac <1><2t>>>
Пылевая стадия p=0
a ∝ t 2 3 <\displaystyle a\propto t^<\frac <2><3>>>
H = 2 3 t <\displaystyle H=<\frac <2><3t>>>
Λ <\displaystyle \Lambda > -доминирование p=-ρ
a ∝ e H t <\displaystyle a\propto e^>
H 2 = 8 π 3 G ρ Λ <\displaystyle H^<2>=<\frac <8\pi ><3>>G\rho _<\Lambda >>
Подставив в уравнение неразрывности уравнение состояния в виде
Получим его решение:
p ∝ a − 3 − 3 ω ⇒ ρ ∝ a − 3 − 3 ω <\displaystyle p\propto a^<-3-3\omega >\Rightarrow \rho \propto a^<-3-3\omega >>
Для разных случаев эта зависимость выглядит по-разному:
Случай холодного вещества (например пыль) p = 0
Случай горячего вещества (например излучение) p = ρ/3
Случай энергии вакуума p = − ρ <\displaystyle p=-\rho >
ρ = c o n s t <\displaystyle \rho =const>
Благодаря этому, влиянием Ωk на ранних этапах можно пренебречь, то есть считать Вселенную плоской (так как k=0 . Одновременно, разная зависимость плотности компонентов от масштабного фактора позволяет выделить различные эпохи, когда расширение определяется только тем или иным компонентом, представленных в таблице.
Также если ввести некую квинтэссенцию из плотности тёмной энергии и плотности барионной и принять, что оно подчиняется выражению (1), то пограничным значением является
Если ρ 0 = ρ c r <\displaystyle \rho _<0>=\rho _> , то расширение продолжается бесконечно долго, в пределе с асимптотически стремящейся к нулю скоростью. Если плотность больше критической, то расширение Вселенной тормозится и сменяется сжатием. Если меньше, то расширение идёт неограниченно долго с ненулевым пределом H.
Если Λ>0 и k≤0, то Вселенная монотонно расширяется, но в отличие от случая с Λ=0 при больших значениях R скорость расширения растёт [8] :
R ∝ e x p [ ( Λ / 3 ) 1 / 2 t ] . <\displaystyle R\propto exp[(\Lambda /3)^<1/2>t].>
При k=1 выделенным значением является Λ c = 4 π G ρ <\displaystyle \Lambda _=4\pi G\rho > . В этом случае существует такое значение R, при котором R ′ = 0 <\displaystyle R'=0> и R ″ = 0 <\displaystyle R''=0> , то есть Вселенная статична.
При Λ>Λc скорость расширения убывает до какого-то момента, а потом начинает неограниченно возрастать. Если Λ незначительно превышает Λc, то на протяжении некоторого времени скорость расширения остаётся практически неизменной.
В случае Λ ΛCDM [ | ]
Космологические параметры по данным WMAP и Planck
WMAP [9]
Planck [10]
Возраст Вселенной t0 , млрд лет
13,75±0,13
13,81±0,06
Постоянная Хаббла H0 , (км/с)/Мпк
71,0±2,5
67,4±1,4
Плотность барионной материи Ωbh 2
0,0226±0,0006
0,0221±0,0003
Плотность тёмной материи Ωсh 2
0,111±0,006
0,120±0,003
Общая плотность Ωt
1,08 +0,09 -0,07
1,0±0,02
Плотность барионной материи Ωb
0,045±0,003
Плотность тёмной энергии ΩΛ
0,73±0,03
0,69±0,02
Плотность тёмной материи Ωc
0,22±0,03
ΛCDM — это современная модель расширения, являющаяся моделью Фридмана, включающая в себя помимо барионной материи, тёмную материю и тёмную энергию
Возраст Вселенной [ | ]
Теоретическое описание [ | ]
Время с начала расширения, называемая также возрастом Вселенной [11] определяется следующим образом:
С учётом эволюции плотности запишем общую плотность в следующем виде:
ρ = ρ c ( Ω Λ + Ω k ( a 0 a ) 2 + Ω m ( a 0 a x ) 3 + Ω l ( a 0 a ) 4 ) <\displaystyle \rho =\rho _\left(\Omega _<\Lambda >+\Omega _\left(<\frac >>\right)^<2>+\Omega _\left(<\frac >>x\right)^<3>+\Omega _\left(<\frac >>\right)^<4>\right)>
Подставив это в уравнение энергии, получим искомое выражение
Наблюдательные подтверждения сводятся к подтверждению самой модели расширения с одной стороны и предсказываемой ею моменты начала различных эпох, а с другой, чтоб возраст самых старых объектов не превышал получающийся из модели расширения возраст всей Вселенной.
Данные наблюдений [ | ]
Не существует прямых измерений возраста Вселенной, все они измеряются косвенно. Все методы можно разделить на две категории [12] :
Определение возраста на основе моделей эволюции у самых старых объектов: старых шаровых скоплений и белых карликов. В первом случае метод основан на факте, что звезды в шаровом скоплении все одного возраста, опираясь на теорию звёздной эволюции, строятся изохроны на диаграмме «цвет — звёздная величина», то есть кривые равного возраста для звёзд различной массы. Сопоставляя их с наблюдаемым распределением звёзд в скоплении, можно определить его возраст. Метод имеет ряд своих трудностей. Пытаясь их решить, разные команды, в разное время получали разные возраста для самых старых скоплений, от
8 млрд лет [13] , до
25 млрд лет [14] . Белые карлики имеют приблизительно одинаковую массу звёзд-предшественниц, а значит — и приблизительно одинаковую зависимость температуры от времени. Определив по спектру белого карлика его абсолютную звёздную величину на данный момент и зная зависимость время—светимость при остывании, можно определить возраст карлика [15] Однако данный подход связан как с большими техническими трудностями, — белые карлики крайне слабые объекты, — необходимо крайне чувствительные инструменты, чтоб их наблюдать. Первым и пока единственным телескопом, на котором возможно решение данной задачи является космический телескоп им. Хаббла. Возраст самого старого скопления по данным группы, работавшей с ним: 12 , 7 ± 0 , 7 <\displaystyle 12,7\pm 0,7>млрд лет [15] , однако, результат оспаривается. Оппоненты указывают, что не были учтены дополнительные источники ошибок, их оценка 12 , 4 − 1 , 5 + 1 , 8 <\displaystyle 12,4_<-1,5>^<+1,8>>млрд лет [16] .
Ядерный метод. В его основе лежит тот факт, что разные изотопы имеют разный период полураспада. Определяя текущие концентрации различных изотопов у первичного вещества можно определить возраст элементов в неё входящих. Так у звезды CS31082-001, принадлежащей звёздному населению типа II, были обнаружены линии и измерены концентрации тория и урана в атмосфере. Эти два элемента имеют различный период полураспада, поэтому со временем их соотношение меняется, и если как-то оценить первоначальное соотношение обильностей, то можно определить возраст звезды. Оценить можно двояким способом: из теории r-процессов, подтверждённой как лабораторными измерениями, так и наблюдениями Солнца; или можно пересечь кривую изменения концентраций за счёт распада и кривую изменения содержания тория и урана в атмосферах молодых звёзд за счёт химической эволюции Галактики. Оба метода дали схожие результаты: 15,5±3,2 [17] млрд лет получены первым способом, 14 , 5 + 2 , 2 − 2 , 8 <\displaystyle 14<,>5_<+2<,>2>^<-2<,>8>>[18] млрд лет — вторым.
Виды расстояний. [ | ]
Теоретическое описание [ | ]
В космологии на больших расстояниях непосредственно измеряемых величин всего три — звёздная величина, характеризующая блеск, угловой размер и красное смещение. Поэтому, для сравнения с наблюдениями вводятся две зависимости:
Угловой размер от красного смещения, называемого угловым расстоянием:
d a = D δ θ <\displaystyle d_=<\frac <\delta \theta >>>
D — собственный размер объекта перпендикулярно к лучу зрения, Δθ — видимый угловой размер. Рассмотрим метрику в сферических координатах:
d s 2 = d t 2 − a 2 ( t 1 ) ( d r 2 1 − k r 2 + r 2 d Ω 2 ) <\displaystyle ds^<2>=dt^<2>-a^<2>(t_<1>)\left(<\frac ><1-kr^<2>>>+r^<2>d\Omega ^<2>\right)>
Размер объекта много меньше расстояния до него, поэтому:
d s 2 = − a 2 ( t 1 ) r 2 d Ω 2 <\displaystyle ds^<2>=-a^<2>(t_<1>)r^<2>d\Omega ^<2>> .
Вследствие малости углового размера dΩ можно принять равным Δθ . Перейдя в метрику текущего момента времени получим конечное выражение
d l = L 4 π F <\displaystyle d_=<\sqrt <\frac <4\pi F>>>>
Поток излучения от некоторого источника уменьшается из-за геометрического фактора ( 4 π ( a ( t ) χ ) 2 <\displaystyle 4\pi (a(t)\chi )^<2>> ), вторым фактором является уменьшение длины фотона в ( 1 + z ) <\displaystyle (1+z)> раз и третий фактор — уменьшения частоты прихода отдельных фотонов из-за растяжения времени, также в ( 1 + z ) <\displaystyle (1+z)> раз. В итоге получаем для интегрального потока:
F = L 4 π ( a ( t ) χ ) 2 ( 1 + z ) 2 <\displaystyle F=<\frac <4\pi (a(t)\chi )^<2>(1+z)^<2>>>>
После чего путём простых преобразований получаем исходный вид
Также в научно-популярной литературе можно встретить ещё три вида расстояний: расстояние между объектами на текущей момент, расстояние между объектами на момент испускания принятого нами света и расстояние, которое прошёл свет.
Данные наблюдений [ | ]
Для измерения фотометрического расстояния необходим источник известной светимости, так называемая стандартная свеча. Для космологических масштабов в качестве таковой берутся сверхновые типа Ia. Они возникают как следствие термоядерного взрыва белого карлика приблизившегося к пределу Чандрасекара.
Сфера Хаббла. Горизонт частиц. Горизонт событий [ | ]
Также преимущественно в научно-популярной литературе используется термин «сфера Хаббла» — это сфера чей радиус равен расстоянию при котором скорость убегания равна скорости света. [19] [20]
запишем общую плотность в следующем виде:
