Вселенная расширяется уравнения фридмана

а также уравнение ускорения

ЧАС ˙ + ЧАС 2 знак равно а ¨ а знак равно — 4-й π грамм 3 c 2 ( ρ c 2 + 3 п ) + Λ c 2 3 . <\ displaystyle <\ dot > + H ^ <2>= <\ frac <\ ddot > > = — <\ frac <4 \ pi G><3c ^ <2>>> \ left (\ rho c ^ <2>+ 3p \ right) + <\ frac <\ Lambda c ^ <2>> <3>> \,.>

• ЧАС <\ displaystyle H>параметр Хаббла
• а ( т ) <\ Displaystyle а (т)>масштабный коэффициент
• грамм <\ displaystyle G>гравитационная постоянная
• k <\ displaystyle k>параметр кривизны (0, +1, -1) из метрики Робертсона-Уокера.

Иногда уравнением Фридмана называют только первое уравнение.

Основы

Альберт Эйнштейн изначально предполагал, что Вселенная статична, которая не расширяется и не сжимается. Для этого ему пришлось ввести соответствующую константу в свои уравнения общей теории относительности , которую он назвал космологической постоянной (Λ).

Русский математик и физик Александр Фридман отверг это предположение о статичности Вселенной и установил космологическую постоянную равной нулю. Вместо этого он создал три модели расширяющейся Вселенной с уравнениями Фридмана, названными в его честь . Впоследствии они значительно повлияли на физические концепции и модели Эйнштейна.

В зависимости от общей плотности энергии, уравнения предсказывают различные значения для кривизны в пространстве-времени ( что соответствует значениям -1, 0 или +1 Для в приведенных выше уравнений): k <\ displaystyle k>

1. Модель: плотность энергии Вселенной больше критической плотности энергии (см. Ниже). Тогда кривизна пространства-времени положительна , Вселенная «сферическая» (двумерным аналогом будет поверхность сферы). Кстати, такая сферическая вселенная тоже замкнута: хоть и безгранична, но только конечна. Если вы будете идти достаточно долго в одном направлении, вы в конечном итоге вернетесь туда, откуда начали. ( k знак равно 1 ) <\ Displaystyle (к = 1)>
2. Модель: плотность энергии так же велика, как и критическая плотность энергии. Пространство-время имеет исчезающую кривизну , Вселенная «плоская» (соответствует плоскости в двух измерениях ). ( k знак равно 0 ) <\ Displaystyle (к = 0)>
3. Модель: плотность энергии меньше критического значения. Кривизна пространства-времени отрицательна , Вселенная « гиперболическая ». ( k знак равно — 1 ) <\ Displaystyle (к = -1)>

В зависимости от уравнения состояния материи, содержащейся во Вселенной, также есть три различных возможности для дальнейшего развития Вселенной:

1. Возможность: гравитация может замедлить расширение до такой степени, что оно останавливается и обращается вспять. Вселенная сжимается в одну точку ( Big Crunch ). О дальнейшем развитии «после» этого события можно только догадываться. Некоторые сценарии предполагают возможность «пульсирующей» Вселенной.
2. Возможность: гравитация все больше и больше замедляет расширение, но не останавливает его.
3. Возможность: расширение ускоряется, и обычная материя во Вселенной становится все более и более разреженной.

Различные возможности кривизны и расширения Вселенной изначально независимы друг от друга. Зависимости возникают только благодаря различным ограничительным предположениям о встречающихся формах материи.

Расширение Вселенной, описываемое уравнениями Фридмана, дает объяснение линейной зависимости между красным смещением и расстоянием, обнаруженной Эдвином Хабблом в 1929 году . Сам Хаббл первоначально интерпретировал свои наблюдения как оптический эффект Доплера. Модели статических вселенных, которые были ранее популярны, не могут объяснить наблюдаемое красное смещение и, таким образом, продолжали терять важность.

Скорость расширения задается постоянной Хаббла H ₀ . Возраст Вселенной можно определить по H ₀ , при этом каждая из трех моделей дает различное значение.

Согласно последним измерениям скорости расширения Вселенной за счет фонового излучения , в настоящее время (август 2012 г.) получается следующая картина:

• Постоянная Хаббла составляет 74,3 км / (с · мегапарсек), где: 1 парсек = 3,26 световых года. Таким образом, возраст Вселенной составляет 13,82 миллиарда лет.
• Вселенная плоская в пределах точности измерения.
• Расширение ускоряется.

Согласно последним данным, вся плотность энергии Вселенной состоит из:

Вывод

Полевые уравнения общей теории относительности

Хотя гравитация — самое слабое из четырех известных взаимодействий, она представляет собой доминирующую силу во Вселенной в большем масштабе и определяет ее развитие и динамику. Лучшее описание гравитации в настоящее время — это общая теория относительности (ОТО). Это связывает распределение и динамику материи с геометрией пространства-времени согласно:

грамм μ ν знак равно 8-е π грамм c 4-й Т μ ν — грамм μ ν Λ μ , ν ∈ < 0 , 1 , 2 , 3 > <\ displaystyle G _ <\ mu \ nu>= <\ frac <8 \ pi G>>> T _ <\ mu \ nu>-g _ <\ mu \ nu>\ Lambda \ qquad \ mu, \ nu \ in \ <0,1,2,3 \>>

Здесь тензор Эйнштейна G описывает геометрию пространства-времени, а тензор энергии-импульса T включает все поля материи и энергии. (0,2) — тензор называется метрикой Эйнштейна и представляет собой общее релятивистское обобщение метрического тензора грамм <\ displaystyle g>

( η μ ν ) знак равно диагональ ⁡ ( — 1 , 1 , 1 , 1 ) <\ displaystyle (\ eta _ <\ mu \ nu>) = \ operatorname (-1,1,1,1)>

представляет статическое и плоское пространство-время Минковского на искривленном пространстве-времени. представляет космологическую постоянную . Последняя интерпретируется, среди прочего, как энергия вакуума , которая может быть вычислена с помощью виртуальных частиц , но приводит к неудовлетворительным значениям. Их настоящая природа еще недостаточно изучена. Λ <\ displaystyle \ Lambda>

Точные решения уравнений поля пока найдены только для высокосимметричных распределений вещества. Проблема состоит в том, чтобы найти подходящий метрический тензор g для идеализированного распределения материи и энергии T, описанного выше , из которого состоит тензор Эйнштейна G.

Метрический тензор можно представить с помощью так называемого линейного элемента ,

d s 2 знак равно грамм μ ν d Икс μ d Икс ν <\ Displaystyle <\ mathrm > s ^ <2>= g _ <\ mu \ nu>\, <\ mathrm > x ^ <\ mu>\, <\ mathrm > x ^ <\ nu>>

При одинаковых, надстрочных и подстрочных индексах все возможные значения индекса складываются. Это сокращенное обозначение также называется соглашением Эйнштейна о суммировании .

Метрический тензор для симметричной Вселенной

Говард П. Робертсон (1935) и Артур Джеффри Уокер (1936) нашли, как уже указывалось выше, решение уравнений поля для случая идеализированного космоса с постоянной кривизной. Линейный элемент этой геометрии, который использовал Фридман еще в 1922 году, — это

d s 2 знак равно — c 2 d т 2 + а 2 ( т ) [ d р 2 + ж k 2 ( р ) ( d θ 2 + грех 2 ⁡ θ d ϕ 2 ) ] . <\ displaystyle \ mathrm s ^ <2>= — c ^ <2>\ mathrm t ^ <2>+ a ^ <2>(t) \ left [\ mathrm r ^ < 2>+ f_ ^ <\, 2>(r) \ left (\ mathrm \ theta ^ <2>+ \ sin ^ <2>\ theta \, \ mathrm \ phi ^ < 2>\ right) \ right] \,.>

Вот «продвинутая» радиальная координата, время работы «сопутствующего наблюдателя», коэффициент расширения Вселенной. и идентифицировать две угловые координаты, аналогично сферической системе координат. Движущийся наблюдатель следует за расширением Вселенной. Его подвижная радиальная координата сохраняет свое числовое значение. р <\ displaystyle r> т <\ displaystyle t> а ( т ) <\ Displaystyle а (т)> θ <\ displaystyle \ theta> ϕ <\ displaystyle \ phi>

Функция различает трехмерные пространственно-подобные гиперповерхности постоянного времени с положительной, исчезающей или отрицательной кривизной . Под такой гиперповерхностью понимаются все события, происходящие в одно и то же космологическое время. Например, наш Млечный Путь и все другие галактики сегодня образуют космическую гиперповерхность. Но из-за времени пролета мы видим эти галактики не в их текущем состоянии, а в индивидуальном и уже прошедшем состоянии. Следовательно, пространственно-подобная гиперповерхность, которую они охватывают, недоступна никакому наблюдению. ж k ( р ) <\ displaystyle f_ (r)> т <\ displaystyle t> k <\ displaystyle k>

0\\r&k=0\;.\\<\frac <1><\sqrt <-k>>>\sinh(<\sqrt <-k>>r)&k ж k ( р ) знак равно < 1 k грех ⁡ ( k р ) k >0 р k знак равно 0 . 1 — k грех ⁡ ( — k р ) k 0 <\ displaystyle f_ (r) = <\ begin <\ frac <1><\ sqrt >> \ sin (<\ sqrt > r) & k> 0 \\ r & k = 0 \ ;. \\ <\ frac <1><\ sqrt <-k>>> \ sinh (<\ sqrt <-k>> r) & k 0 \\ r & k = 0 \ ;. \\ <\ frac <1><\ sqrt <-k>>> \ sinh (<\ sqrt <-k>> r) & k

Изменив масштаб радиальной координаты и переопределив масштабный коэффициент , параметр кривизны может быть установлен на одно из значений -1, 0 или 1. Используя метрику Робертсона-Уокера и форму тензора энергии-импульса, показанную выше, уравнения Фридмана могут быть выведены из уравнений поля Эйнштейна. Подробности можно найти в Gravitation (Misner, Thorne and Wheeler, 1973). р <\ displaystyle r> а <\ displaystyle a> k <\ displaystyle k>

Сохранение энергии

Уравнения Фридмана можно объединить в другое уравнение, которое четко описывает сохранение массы и энергии.

d d т ( ρ а 3 ) знак равно — п c 2 d d т ( а 3 ) . <\ displaystyle <\ frac <\ text > <<\ text > t>> \, (\ rho \, a ^ <3>) = — <\ frac

>> \, <\ frac <\ text > <<\ text > t>> \, (a ^ <3>) \,.>

Таким образом, первого уравнения Фридмана достаточно для описания глобального развития Вселенной вместе с законом сохранения энергии.

Специальные решения

Уравнения Фридмана содержат три неизвестные функции , и . Чтобы получить однозначное решение, необходимо другое уравнение — уравнение состояния вещества. Обычная ( барионная ) материя, излучение и космологическая постоянная образуют основные источники гравитации в правой части уравнений поля ОТО. Материю можно рассматривать как безнапорную «пыль», т. Е. ЧАС. частицы движутся без столкновений с нерелятивистскими скоростями. Следующие три уравнения состояния применяются к трем неизвестным функциям: а ( т ) <\ Displaystyle а (т)> ρ ( т ) <\ Displaystyle \ rho (т)> п ( т ) <\ displaystyle p (t)>

п м а т знак равно 0 <\ displaystyle p _ <\ mathrm > = 0 \> п s т р знак равно c 2 ρ s т р / 3 <\ displaystyle p _ <\ mathrm > = c ^ <2>\ rho _ <\ mathrm > / 3 \> п Λ знак равно — c 2 ρ Λ <\ displaystyle p _ <\ Lambda>= — c ^ <2>\ rho _ <\ Lambda>\> .

Связь между плотностью и масштабным фактором возникает из-за сохранения энергии. ρ <\ displaystyle \ rho> а <\ displaystyle a>

ρ м а т ∝ а — 3 <\ displaystyle \ rho _ <\ mathrm > \ propto a ^ <- 3>\> ρ s т р ∝ а — 4-й <\ displaystyle \ rho _ <\ mathrm > \ propto a ^ <- 4>\> ρ Λ знак равно const. <\ displaystyle \ rho _ <\ Lambda>= <\ text > \>

Используется начальное значение для уравнений Фридмана , где космологическое время соответствует текущему моменту. С константами а ( т 0 ) знак равно а 0 <\ Displaystyle а (т_ <0>) = а_ <0>> т 0 <\ displaystyle t_ <0>>

Ω М. знак равно 8-е π грамм 3 ЧАС 0 2 ρ 0 , Ω Λ знак равно Λ c 2 3 ЧАС 0 2 , <\ displaystyle \ Omega _ <\ rm >: = <\ frac <8 \ pi G> <3H_ <0>^ <2>>> \, \ rho _ <0>, \ qquad \ Omega _ < \ Lambda>: = <\ frac <\ Lambda c ^ <2>> <3H_ <0>^ <2>>> \;,>

которые параметризуют плотность вещества и плотность энергии вакуума, первое уравнение Фридмана можно записать как

быть написанным. Функция Хаббла, как и выше, согласно

ЧАС ( т ) знак равно а ˙ ( т ) / а ( т ) <\ Displaystyle Н (т): = <\ точка <а>> (т) / а (т) \,>

Определяются. Это описывает скорость расширения Вселенной в настоящее время. Плотностью излучения пренебрегли, потому что она падает вместе с ней и поэтому быстро становится незначительной по сравнению с плотностью материи. ЧАС 0 знак равно ЧАС ( т 0 ) <\ displaystyle H_ <0>= H (t_ <0>)> а — 4-й <\ displaystyle a ^ <- 4>>

Если вы решите первое уравнение Фридмана для определенного момента времени , вы увидите, что константы не независимы, но это правда. т знак равно т 0 <\ displaystyle t = t_ <0>>

k c 2 а 0 2 ЧАС 0 2 знак равно Ω М. + Ω Λ — 1 . <\ displaystyle <\ frac > ^ <2>H_ <0>^ <2>>> = \ Omega _ <\ rm > + \ Omega _ <\ Lambda >-1 \ ,.>

Если вы поместите это в первое уравнение Фридмана, вы получите самое известное представление:

Для такой плоской Вселенной, как наша, можно дать явное решение этого уравнения для масштабного фактора. Это дифференциальное уравнение можно преобразовать в интеграл методом разделения переменных. Если один выбирает постоянные интегрирования так , что к тому же применяется, то из этого следует: Ω М. + Ω Λ знак равно 1 <\ Displaystyle \ Omega _ <\ rm > + \ Omega _ <\ Lambda>= 1> т 0 <\ displaystyle t_ <0>> а 0 знак равно 1 <\ displaystyle a_ <0>= 1> а ( т 0 ) знак равно 1 <\ displaystyle a (t_ <0>) = 1>

т ( а ) — т 0 знак равно 2 3 ЧАС 0 Ω Λ пер ⁡ ( ( а / а 0 ) 3 / 2 Ω Λ + Ω М. Ω Λ + ( а / а 0 ) 3 Ω Λ 2 Ω Λ + Ω М. Ω Λ + Ω Λ 2 ) , <\ displaystyle t (a) -t_ <0>= <\ frac <2> <3H_ <0><\ sqrt <\ Omega _ <\ Lambda>>>>> \, \ ln \ left (<\ frac < (a / a_ <0>) ^ <3/2>\ Omega _ <\ Lambda>+ <\ sqrt <\ Omega _ <\ rm > \ Omega _ <\ Lambda>+ (a / a_ <0 >) ^ <3>\ Omega _ <\ Lambda>^ <2>>>> <\ Omega _ <\ Lambda>+ <\ sqrt <\ Omega _ <\ rm > \ Omega _ <\ Lambda>+ \ Omega _ <\ Lambda>^ <2>>>>> \ right) \;,>

Если затем выбрать, что Вселенная имеет единственное начало, возраст мира рассчитывается по этой упрощенной модели, т.е. ЧАС. пренебрегая радиационной эрой согласно: а ( 0 ) знак равно 0 <\ Displaystyle а (0) = 0>

т 0 знак равно 1 3 ЧАС 0 Ω Λ пер ⁡ ( 1 + Ω Λ 1 — Ω Λ ) . <\ displaystyle t_ <0>= <\ frac <1> <3H_ <0><\ sqrt <\ Omega _ <\ Lambda>>>>>> \, \ ln \ left (<\ frac <1 + <\ sqrt <\ Omega _ <\ Lambda>>>> <1 - <\ sqrt <\ Omega _ <\ Lambda>>>>> \ right).>

Формула продолжается т ( а ) <\ Displaystyle т (а)>

т ( а ) знак равно 2 3 ЧАС 0 Ω Λ а р s я п ЧАС ( Ω Λ Ω М. ( а а 0 ) 3 ) <\ displaystyle t (a) = <\ frac <2> <3H_ <0><\ sqrt <\ Omega _ <\ Lambda>>>>>> \; <\ rm > <\ Omega _ <\ rm >>> \ left ( <\ frac >> \ right) ^ <3>>> \ right )>>>

упрощать. Простое преобразование дает следующую формулу для зависимости масштабного коэффициента от времени:

а ( т ) знак равно а 0 Ω М. Ω Λ 3 грех 2 / 3 ⁡ ( ω т ) , С участием ω знак равно 3 ЧАС 0 Ω Λ 2 . <\ displaystyle a (t) = a_ <0>\; <\ sqrt [<3>] <\ frac <\ Omega _ <\ rm >> <\ Omega _ <\ Lambda>>>> \; \ sinh ^ <2/3>(\ omega t), \ quad <\ mbox > \ quad \ omega: = <\ frac <3 \, H_ <0><\ sqrt <\ Omega _ <\ Lambda >>>> <2>> \,.>

Это выражение описывает поведение расширения плоской Вселенной с космологической постоянной. Пикок (2001) и Кэрролл (1992) получили идентичное выражение в другой аналитической форме. Он продолжается:

ЧАС ( т ) знак равно ЧАС 0 Ω Λ кот ⁡ ( ω т ) . <\ Displaystyle H (t) = H_ <0>\, <\ sqrt <\ Omega _ <\ Lambda>>> \, \ coth (\ omega t).>

Колебания фонового излучения, измеренные космическим телескопом « Планк», позволяют делать выводы о геометрии нашей Вселенной. Итак, это плоский объект с параметром плотности материи, параметром плотности вакуума и постоянной Хаббла . Ω М. знак равно 0 , 32 <\ displaystyle \ Omega _ <\ rm > = 0 <,>32> Ω Λ знак равно 0 , 68 <\ displaystyle \ Omega _ <\ Lambda>= 0 <,>68> ЧАС 0 знак равно 67 , 11 км с — 1 / Мпк <\ displaystyle H_ <0>= 67 <,>11

<<\ text > ^ <- 1>> <\ text >>

Космологическое красное смещение и меры расстояния

В отличие от евклидовых пространств , в динамическом и искривленном пространстве-времени больше нет четкой меры расстояния. Скорее, существуют разные, одинаково достоверные определения расстояния, которые можно обосновать или вывести, среди прочего, с помощью линейного элемента фотона и космологического красного смещения .

Источник