Закон отражения для луны

Исследования закона отражения света Луной

Наши исследования (циклы работ) по данной теме:

Краткий обзор проблемы

Задача исследования закона отражения света Луной сегодня достаточно актуальна. Знание этого закона позволяет приводить наблюдательные данные к стандартным условиям наблюдения, что необходимо для исследования физических свойств лунной поверхности путём сравнительного анализа наблюдений областей, расположенных в различных частях лунного диска.

Под законом отражения будем понимать зависимость яркости поверхности B от угла падения света i, угла отражения e и угла фазы a :

где p F — нормальная освещенность поверхности Солнцем, а A — видимое альбедо поверхности.

На сегодняшний день существуют два основных подхода к определению функции A(i, e , a ) для такой шероховатой поверхности, как лунная. Первый — сложный расчет с применением методов теории переноса излучения. Здесь наиболее приемлемым для Луны результатом является формула Хапке (Hapke,1984,1986), широко используемая при исследованиях Луны. Отметим, что формула Хапке, хотя в целом и неплохо описывает закон отражения света Луной, но в то же время является достаточно громоздкой и часто неудобной при массовых расчётах.

Второй подход был развит Акимовым (1988а,б). Во-первых он показал, что видимое альбедо можно разделить на два сомножителя, один из которых представляет собой фазовую зависимость, а второй — распределение по диску при заданном угле фазы:

A(i, e , a )= r ( a ) ×Y (i, e , a )

(здесь r ( a ) — эквигональное альбедо для угла фазы a , т.е. видимое альбедо зеркальной точки, для которой i= e = a /2; а Y (i, e , a ) — распределение яркости по диску Луны относительно зеркальной точки).

Во-вторых, были получены выражения для функций r ( a ) и Y (i, e , a ).

Фазовую зависимость (при углах фазы примерно до 90°) Акимов представил в следующем виде (Акимов,1988б):

r ( a )=me — ma + ge — ga ,

где m — диффузное альбедо, m — эффективный коэффициент шероховатости, а g и g — параметры, описывающие оппозиционный эффект. В дальнейшем природа оппозиционного эффекта была изучена достаточно подробно. В частности, Шкуратов (Shkuratov,et al.,1999) показал, что оппозиционный эффект имеет, в основном, когерентную природу, при этом он накладывается на общее падение яркости с углом фазы, описываемое теневыми механизмами (первое слагаемое в формуле (3)). Для фазовой зависимости, включающей в себя и теневой, и когерентный эффекты, Шкуратов предложил следующее выражение:

где r ₀ — нормальное альбедо, r — эффективный размер (радиус) частиц, l — длина волны, L — характерный масштаб рассеяния света в среде. Очевидно, что r ₀=m(1+exp(-r/L)/2).

Для распределения яркости по диску Акимовым было получено следующее выражение (Акимов,1988а):

где q — фактор гладкости, зависящий от угла фазы, j и l — фотометрические широта и долгота (cos e =cos j cos l , cosi=cos j cos( a — l )). Выражение (5) обычно называют эмпирической формулой Акимова. Позднее Великодским (2002) (наш цикл работ «Влияние альбедо и рельефа на закон распределения яркости по диску Луны (1997-2002)») было найдено выражение для фазовой зависимости q:

где n — параметр, равный 0.52 для материков и 0.34 для морей. Параметр n определяется, в основном, микро- и мезорельефом поверхности.

Формула (2) с учетом (4-6) может быть использована в качестве закона отражения света лунной поверхностью для фотометрической калибровки наблюдательных данных.

Дальнейшие исследования закона отражения света Луной должны быть направлены на изучение фазовой зависимости при больших углах фазы (>90°), для которых функция (4) работает недостаточно хорошо, а также на уточнение связей параметров, входящих в закон отражения, с физическими характеристиками поверхности Луны.

Более подробный обзор можно найти в диссертации Великодского (2002).

Канд. физ.-мат. наук Ю. И. Великодский

Источник

Закон отражения для луны

Главная цель фотометрических исследований Луны и других безатмосферных космических тел — получение информации о свойствах поверхности из анализа характера отражения света.

Для начала напомним основные понятия поверхностной фотометрии планет. Для этого рассмотрим некоторую площадку поверхности планеты, освещаемую Солнцем, которое, для простоты, будем считать источником параллельных лучей. Тогда яркость такой площадки (интенсивность отраженного излучения) будет пропорциональна ее освещенности Солнцем и будет зависеть от условий ее освещения и наблюдения:

где i — угол падения света, e — угол отражения (наблюдения), y — разность азимутов падающего и отраженного лучей (во многих случаях угол y заменяют углом фазы a или вообще используют другую комбинацию угловых параметров: l , j , a — фотометрическую долготу площадки, ее фотометрическую широту и уже упомянутый фазовый угол, подробнее о которых можно прочитать в Приложении А), I₀ — нормальная освещенность поверхности Солнцем, а величина R(i, e , y ) определяет закон отражения света лунной поверхностью и называется коэффициентом яркости.

Однако из наблюдений чаще всего удобнее получать величину A, называемую фактором яркости или видимым альбедо и связанную с коэффициентом яркости R соотношением:

Зависимость видимого альбедо от фотометрических условий наблюдения, определяемых углами a , i и e , называют законом отражения света. Его обычно представляют в следующем виде:

где функция f нормирована таким образом, что f(0,0,0)=1. Величина r ₀ называется нормальным альбедо (будем также называть её просто альбедо), а f( a ,i, e ) — фотометрической функцией поверхности. Функция f( a ,i, e ) содержит в себе как закон распределения яркости по диску планеты, так и фазовую зависимость яркости. Изучение этой функции, наряду с распределением нормального альбедо по поверхности, и являются предметом поверхностной фотометрии планет и, в частности, Луны.

Вместо фотометрической функции можно использовать функцию рассеяния F( a ,i, e ). Эти функции связаны соотношением

Иногда видимое альбедо поверхности представляют в следующем виде:

где Y ( a , j , l ) – закон распределения яркости по диску однородной планеты при заданном угле фазы a относительно зеркальной точки, для которой i= e = a /2 (при этом Y ( a ,0, a /2)=1); r ( a ) – видимое альбедо зеркальной точки, называемое эквигональным альбедо и определяющее фазовую зависимость яркости поверхности. Заметим, что r (0)= r ₀.

Целью фотометрии лунной поверхности является изучение её физических свойств. Свойства поверхности, такие как химический и минералогический состав, степень зрелости, проявляются в виде определённых значений комплексного показателя преломления, зависящего от длины волны, параметров рельефа и механической структуры поверхности. Эти параметры, в свою очередь, тесно связаны с оптическими параметрами поверхности, определяющими зависимость её яркости от геометрии рассеяния и входящими в закон отражения света (1.3). Поэтому прогнозировать физические свойства лунной поверхности можно, определяя из наблюдений параметры функции (1.3). А для этого нужно, в первую очередь, установить вид этой функции.

Для сравнительного изучения фотометрических характеристик различных районов Луны в идеальном случае мы должны наблюдать их в одинаковых фотометрических условиях, которые определяются углом падения i, углом отражения e и углом фазы a . Однако, как правило, мы такой возможности не имеем. При наземных наблюдениях Луны в широких пределах меняется лишь угол i, угол отражения для каждой точки имеет свое определенное, почти постоянное значение, изменяясь незначительно лишь из-за либрации.

Поэтому для сравнительного изучения отражательной способности отдельных областей необходимо разработать процедуру перевода наблюдаемых значений яркости для данной области в яркость, которую она бы имела в стандартных для всех точек одинаковых условиях. Для решения этой задачи необходимо, опять же, хорошо знать все особенности закона отражения света от такой сложной поверхности как лунная, которая, наряду с поверхностями других планет, является, по-видимому, наиболее сложным объектом для теоретического построения модели рассеяния света.

Некоторые особенности лунной фотометрической функции известны уже давно. Галилео Галилей [26], анализируя отсутствие потемнения к лимбу в полнолуние, объяснял это наличием на Луне большого количества неровностей — гор, которые будто бы вызывают такой эффект благодаря тому, что всегда находятся склоны, видимые под углом 90° к лучу зрения. Инструментальные измерения Бугера [21] подтвердили утверждение Галилея об отсутствии падения яркости от центра к краю диска Луны. Таким образом, Галилей и Бугер говорят о влиянии лишь макрорельефа лунной поверхности. Вторая особенность лунного закона отражения, сильное обратное рассеяние, с очевидностью следует из наблюдений: Луна в десять раз ярче в полнолуние, чем в четверти.

Гершель одним из первых измерил количественно изменение яркости Луны с фазовым углом, отметив систематическое увеличение яркости с уменьшением a , не связанное с изменением площади освещенного диска. Более поздние наблюдения выполнили Бонд, Цельнер, Пикеринг, Стеббинс и Браун, а также Вислиценус [51]. Мюллер [81] на основании этих наблюдений показал, что известные тогда законы отражения света Ламберта и Ломмеля-Зеелигера (см. раздел 1.3) не могут описать наблюдения. При этом быстрое изменение блеска при малых углах фазы, как и у Галилея, объяснялось гористым строением поверхности.

Рассел [87] переобработал результаты вышеупомянутых авторов и опубликовал фазовую кривую, которая впоследствии широко использовалась. Он отметил, что затенение видимых гор недостаточно для объяснения большой скорости изменения яркости с фазой и предположил, что большая часть лунной поверхности покрыта осколками пород (микрорельеф), создающими тени.

В трудах Барабашова 16, Маркова [38], Шенберга [89] нашла дальнейшее развитие гипотеза об определяющем влиянии микрорельефа на закон отражения света лунной поверхностью. Были предложены и рассчитаны модели поверхности, покрытой образованиями различной геометрической формы, введено понятие пористости лунного грунта. Но эти модели не основывались на статистическом характере распределения неровностей микрорельефа.

Среди наблюдательных работ, позволивших с большой уверенностью формулировать основные особенности закона отражения света Луной, необходимо выделить работы по абсолютной фотометрии Сытинской и Шаронова [46,50], выполненные визуальным способом. Федорец [48] фотографическим методом измерила яркость 172 деталей лунной поверхности. На заре космической эры исследования Луны этот каталог был основным источником информации о фотометрических свойствах отдельных районов лунной поверхности. Следует также упомянуть и работу Ван Дигелена [94], который сравнил свои наблюдения с результатами предшествующих работ и обнаружил в общем удовлетворительное согласие.

Анализ этих наблюдательных данных показал, что лунная поверхность обладает следующими фотометрическими свойствами:

1) для образований с одинаковым альбедо яркость в полнолуние одинакова в любой точке диска;

2) все области без исключения имеют максимальную яркость в полнолуние;

3) если исключить различие в альбедо, изофоты для любой фазы приблизительно следуют по меридианам (таким образом, фотометрическая функция почти не зависит от фотометрической широты);

4) все образования с одинаковой долготой характеризуются сходными значениями фотометрической функции, хотя различия, связанные с местными условиями, все же существуют;

5) яркость всех областей до (или после) полнолуния увеличивается (или уменьшается) быстрее, чем по линейному закону, такое поведение кривых характеризует свойство лунного закона отражения, называемое обратным рассеянием;

6) скорость увеличения яркости особенно велика при малых фазовых углах, этот факт известен как оппозиционный эффект.

Дальнейшие экспериментальные исследования позволили уточнить эти свойства лунной поверхности. В частности, было обнаружено, что яркость поверхности Луны всё же зависит от фотометрической широты, причём на больших углах фазы эта зависимость становится весьма существенной [4].

Как показали многочисленные исследования, начиная с первых наблюдений и заканчивая космическими миссиями и высадкой человека на Луну, поверхность последней имеет весьма сложную структуру, сформировавшуюся в ходе длительной эволюции под воздействием различных процессов, основным из которых является метеоритная бомбардировка. Рассматривая эту структуру, исследователи для удобства выделяют в ней четыре характерных масштаба:

1. Масштаб фигуры планеты, соответствующий видимому рельефу (макрорельефу), по размерам превосходящему разрешение телескопа (при наземных наблюдениях это несколько километров). В этом масштабе зависимость высоты поверхности от планетографических координат является детерминированной и однозначной функцией (под детерминированностью понимается принципиальная возможность нахождения этой функции из наблюдений).

2. Масштаб случайного рельефа (мезорельефа), имеющего характерные размеры меньше разрешения телескопа, но всё ещё сохраняющего свойство однозначности, в отличие от детерминированности (это имеет место до размеров порядка нескольких сантиметров).

3. Масштаб порошкообразной среды (микрорельефа) – реголитового слоя, представляющего собой достаточно пористую среду, состоящую из частиц различной формы и размера. Под частицей понимается любое сплошное образование, имеющее скачок показателя преломления на границе. Поверхность вещества в этом масштабе является неоднозначной функцией. Нижняя граница масштаба – порядка размера пятна рассеяния света в веществе (примерно несколько длин волн).

4. Масштаб структуры частицы, соответствующий размерам порядка длины волны.

Вообще говоря, для поверхности Луны и других безатмосферных тел чёткую границу между этими масштабами провести нельзя, и, как будет показано дальше (раздел 1.4), это является весьма существенным фактором, определяющим закон рассеяния света лунной поверхностью. Однако теория рассеяния, построенная в приближении дискретных масштабов, более развита и позволяет в некотором приближении описывать рассеяние света поверхностями безатмосферных тел и оценивать качественно (а в некоторых случаях – и количественно) влияние альбедо и рельефа на закон отражения света.

Суть данной теории заключается в следующем. При заданных оптических свойствах вещества (действительной и мнимой частях показателя преломления) и размерах частиц рассчитывается индикатриса рассеяния света отдельной частицей (четвёртый масштаб). Затем, с использованием этой индикатрисы методами теории переноса излучения рассчитывается рассеяние света в порошкообразной среде и выводится фотометрическая функция поверхности в третьем масштабе. После этого учитывается влияние мезорельефа (второй масштаб) путём усреднения фотометрической функции по всем направлениям нормали к поверхности в пределах разрешения телескопа (при этом должны рассматриваются только те элементарные площадки, которые одновременно видны и освещены). Полученная в результате фотометрическая функция описывает отражение света макроповерхностью (первый масштаб) при заданных углах падения i, отражения e и фазы a .

Вывод индикатрисы рассеяния света частицей не входит в рассмотрение данного обзора. Остановимся подробней на моделях порошкообразной среды и мезорельефа, используемых для расчёта фотометрической функции сложной шероховатой поверхности.

Одной из первых моделей, позволившей, в первом приближении, количественно описать рассеяние света на поверхности, покрытой слоем реголита, была модель плоского однородного оптически полубесконечного слоя взвешенных сферических частиц. Данная модель была впервые рассмотрена Зеелигером [90], а затем развита Хапке [67] и часто называется моделью Хапке. В этой модели (в более обобщённом виде) предполагается, что полубесконечный слой заполнен частицами, имеющими радиус r. Количество частиц в единице объёма равно n. Частицы, вообще говоря, полупрозрачные, т.е. часть светового потока, попавшего в контур частицы, уходит из параллельного пучка, а часть – может оставаться. Введём коэффициент непрозрачности частиц k (его ещё называют поперечником ослабления), равный вероятности того, что квант света, попавший в сечение частицы, рассеется или поглотится на ней, а не пройдёт сквозь частицу. Далее введём альбедо однократного рассеяния w , равное вероятности того, что квант света, попавший в сечение частицы, рассеется на ней, а не поглотится. И, наконец, угловое распределение рассеянного на частице света будем описывать индикатрисой рассеяния c(a) , имеющей смысл плотности вероятности, нормированной следующим образом:

(здесь W — телесный угол).

Будем вначале предполагать, что диаметр частиц настолько мал по сравнению с расстоянием между частицами, что из-за дифракции затенением, создаваемым частицами, (т.е. наличием у них ограниченной тени) можно пренебречь:

(здесь – длина волны). В случае реголитового слоя Луны условие (1.7), конечно, не выполняется: более подходящей физической средой для такой модели является планетная атмосфера; однако логично начать рассмотрение именно с такого приближения, дающего, впрочем, результат, качественно применимый и к твёрдым поверхностям.

В случае выполнения условия (1.7) параметры n, r и k будут входить в уравнения теории только в одной комбинации – в виде показателя поглощения h = p r 2 n k , определяющего вероятность рассеяния или поглощения света на единичном отрезке пути. А так как мы рассматриваем рассеяние света в слое полубесконечной толщины, то от выбора единиц измерения расстояний конечный результат зависеть не должен, и мы всегда можем выбрать единицы измерения так, чтобы показатель h равнялся единице (другими словами, перейти от расстояния к оптическому пути: ). И тогда видимое альбедо будет зависеть только от альбедо однократного рассеяния w и индикатрисы рассеяния c(a) . Такая модель рассматривалась многими авторами [12,39,44,75,90]. Изложим вкратце полученные ими результаты.

Самым простым является случай тёмных частиц:

В этом случае можно учитывать только однократно рассеянное частицами излучение. Яркость поверхности слоя из таких частиц определяется выражением:

где I₀ – интенсивность нормально падающего света. В случае изотропно рассеивающих частиц ( c(a) =1) выражение (1.9) принимает вид:

Формула (1.10) называется законом Ломмеля-Зеелигера [75,90]. Примечательно, что фотометрическая функция, входящая в этот закон, не зависит ни от каких параметров:

Несмотря на то, что закон Ломмеля-Зеелигера получен для предельного случая (условия (1.7) и (1.8)), он уже качественно правильно описывает падение яркости от лимба к терминатору (см. п.1.6) и отсутствие потемнения к краю диска в полнолуние.

Если условие (1.8) не выполняется, то необходимо учитывать вклад в отражённое излучение рассеяния высших порядков, т.е. излучения, испытавшего рассеяние на частицах два и более раз.

Такая задача решается методами теории переноса излучения [12,13,44,49]. Исторически первым, хотя и менее формальным, является метод, предложенный Амбарцумяном [13] и основанный на использовании принципа инвариантности. Этот принцип состоит в том, что интенсивность излучения, диффузно отражённого полубесконечной однородной атмосферой, не изменится, если к ней добавить сверху слой произвольной, но конечной толщины. Приравнивая к нулю изменение, которое произойдёт с яркостью поверхности B( a ,i, e ) при добавлении слоя бесконечно малой толщины, и рассматривая случай изотропного рассеяния ( c(a) =1), можно получить выражение для самой яркости, удовлетворяющее данному принципу инвариантности:

где j (x) — функция Амбарцумяна, определяющаяся интегральным уравнением:

Выражение (1.12) также может быть получено строго путём решения уравнения переноса излучения [44]. Также может быть получено решение для случая произвольной индикатрисы c(a) . Для простейшей несферической индикатрисы

выражение для яркости будет иметь вид:

где функции Амбарцумяна j _i k задаются системой интегральных уравнений

Интересен случай, когда . Тогда отражённое полубесконечным слоем излучение будет, в основном, состоять из многократно рассеянного света, и интуитивно можно утверждать, что интенсивность этого излучения не будет зависеть от угла отражения e , а будет лишь пропорциональна освещённости поверхности, т.е. такая поверхность будет отражать ортотропно. Это обстоятельство было подмечено ещё Ламбертом, записавшим соответствующий закон отражения:

называемый законом Ламберта. Следует отметить, что распределение яркости по диску в формуле (1.12) при весьма близко к ортотропному (1.18), что подтверждает справедливость интуитивного суждения, приведшего к выражению (1.18).

Таким образом, закон отражения света плоским полубесконечным слоем в случае отсутствия затенения можно описать выражением (1.15) (или в случае изотропного рассеяния — выражением (1.12)), предельными случаями которого можно считать:

1)при — закон Ломмеля-Зеелигера (1.9) (в случае изотропного рассеяния — (1.10));

2)при — закон Ламберта (1.18).

Как уже было отмечено в п.1.3.1, условие (1.7) не является характерным для реголитового слоя лунной поверхности, а значит, при рассмотрении отражения света поверхностью Луны необходимо учитывать затенение, оказываемое частицами друг на друга. Теневой эффект проявляется в корреляции траекторий падающего и рассеянного лучей, что должно приводить к уменьшению ослабления света, проходящего более одного раза через один и тот же элемент объёма среды [12,39,45]. Расчёт теневого эффекта представляет собой достаточно сложную задачу, и решена она только для случая однократного рассеяния света (т.е. при выполнении условия (1.8)). При этом для существенного упрощения расчётов модель Хапке (п.1.3.1) дополняется ещё одним условием, по сути, противоположным условию (1.7):

Условие (1.19) задаёт приближение геометрической оптики, что представляется вполне разумным при рассмотрении рассеяния света слоем реголита.

Первые попытки описать теневой эффект в такой модели были недостаточно строгими. Так, например, предлагалось считать, что плоская поверхность отражает свет по закону Ломмеля-Зеелигера (1.9) (для однократного рассеяния), а реальная поверхность покрыта воображаемыми трубками (Хапке 67) или трапецеидальными углублениями (Люмме, Боуэл [76,77]), позволяющими рассчитать затенение. В ранних работах Хапке приводит следующий закон отражения:

где функция S( a ,g) описывает затенение воображаемыми трубками; фактор упаковки g есть отношение диаметра этих трубок к средней глубине, на которой световой поток при проникновении в поверхность уменьшается в e раз.

Более строгий подход был развит Ирвином [73] на основе результатов, полученных ранее Зеелигером [90]. Предложенный им вывод формулы, определяющей рассеяние света поверхностью, удовлетворяющей модели Хапке, был затем обобщён Мороженко и Яновицким на случай полупрозрачных частиц [39]. Подход, развитый в этих работах, заключается в следующем. При рассмотрении ослабления света, проходящего сквозь среду, частицы, лежащие на пути и падающего, и рассеянного пучков света, нужно учитывать только один раз (строго говоря, это утверждение справедливо только в случае непрозрачных частиц, однако может быть обобщено и на случай произвольного k ). Вычисляя объём перекрытия областей распространения падающего и рассеянного пучков света, можно найти уменьшение оптического пути, вызванное затенением. Полученное в результате применения такой процедуры выражение для яркости имеет вид [39]:

;

Здесь v — доля объёма, занятая частицами. Вместо неё иногда используется фактор упаковки , введенный Хапке (см. выше).

Формула (1.21) даёт интенсивность однократно отражённого излучения при учёте теневого эффекта. Решение задачи о многократном рассеянии с учётом теневого эффекта ещё не получено. Однако можно ожидать вполне удовлетворительных результатов, если рассеяние высших порядков найти приближённо без учёта теневого эффекта [12,39,73]. Это следует из того обстоятельства, что чем больше величина w и соответственно больше вклад рассеяния высших порядков, тем влияние теневого эффекта будет меньше за счёт взаимного освещения одних частиц другими. Таким образом, яркость поверхности можно представить в виде:

где B₁ определяется выражением (1.21), а поправка D B, учитывающая рассеяние высших порядков, может быть получена, например, для индикатрисы (1.14) с помощью формул (1.15) и (1.9):

Таким образом, яркость поверхности в рассматриваемой модели определяется выражением (1.26) и зависит от четырёх параметров: w , g, x₁ и k .

Другой подход к описанию теневого эффекта был развит в работах Шкуратова [45,58]. Там была рассмотрена модель мезорельефа, которую, однако, удалось применить и в задаче рассеяния света порошкообразной средой. Получена теневая функция, определяющая вероятность того, что точка поверхности одновременно видна и освещена, для однозначного рельефа с гауссовой статистикой. Далее было замечено, что сечение такой поверхности плоскостью, образующей со средним уровнем поверхности малый угол, очень похоже на сечение вертикальной плоскостью случайной порошкообразной среды. Тогда теневую функцию для порошкообразной среды можно считать частным случаем найденной функции — случаем, когда рассматривается рассеяние света в секущей плоскости. Полученные в результате зависимости от угла фазы качественно правильно описывают наблюдаемые фазовые зависимости яркости безатмосферных небесных тел. Ограничениями этой модели являются двумерность и приближение однократного рассеяния.

И, наконец, отметим полуэмпирический подход к рассматриваемой проблеме, сделанный Акимовым [5]. В его работе, в частности, показано, что эффект затенения для поверхности Луны может быть описан следующей функцией фазовой зависимости эквигонального альбедо:

где m – диффузное альбедо, m — эффективный коэффициент шероховатости. Величина m определяется отношением средней высоты неровностей к среднему расстоянию между ними, если частицы поверхности тёмные и непрозрачные. В противном же случае, т.е. при заметном влиянии многократного рассеяния, наблюдается засветка теней. Влияние засветки эквивалентно некоторому эффективному уменьшению высоты неровностей, зависящему от альбедо, что приводит к уменьшению коэффициента m . Это уменьшение в первом приближении можно описать линейной зависимостью:

где z — некоторый параметр, а h – коэффициент шероховатости, не зависящий от альбедо. Формула (1.28) определяет лишь фазовую зависимость яркости, но зато неплохо согласуется с наблюдениями при 20° a j ₀ 0 (x) из (1.16), с помощью которой аналогичным образом учитывается многократное рассеяние в формуле (1.26) при x₁=0. Формула (1.30) так же, как и (1.26), даёт завышенное значение пористости лунного грунта (около 80%). Это говорит о том, что для описания обратного рассеяния света при малых углах фазы только теневого эффекта недостаточно.

В связи с этим был предложен ряд нетеневых механизмов, формирующих оппозиционный эффект и называемых общим термином оптическая концентрация света на источник [3,53,71,82,95,104]. Это такие механизмы как глория (стеклянные шарики, отражающие при определённых условиях строго назад), «эффект бисерного экрана» (фокусировка падающих параллельно лучей частицами реголита на подложку), уголковые отражатели (кристаллы строго кубической формы). Однако эти явления, за исключением фокусировки, всё же проблематично привлекать для объяснения оппозиционного эффекта в связи с пренебрежимо низкой представительностью вышеперечисленных образований на поверхности Луны.

В настоящее время основным механизмом формирования оппозиционного эффекта принято считать явление когерентного усиления обратного рассеяния. Этот механизм возникает в среде обычных рассеивателей вследствие волновой природы света. Сущность этого явления заключается в том, что при многократном рассеянии света в порошкообразной среде значительную часть траекторий луча света можно разделить на пары, в которых выходящие из среды лучи интерферируют между собой. Причём разность фаз в такой паре стремится к нулю при , что приводит к увеличению яркости в оппозиции, которое теоретически может достигать почти двух раз.

Впервые этот механизм обсуждался в работах [27,100]. После этого он интенсивно изучался рядом исследователей, но в основном вне астрофизического аспекта [37]. Впервые вопрос о применении интерференционного механизма для объяснения оппозиционного эффекта яркости безатмосферных тел поставлен в работе [54]. В более поздних работах [55,70,79,80,91] происходит развитие этого подхода.

Как было уже отмечено выше, теневой механизм позволяет описать характер отражения света лунной поверхностью при умеренных углах фазы. При малых углах фазы к нему подключается когерентное усиление, которое может вносить существенный вклад при очень малых углах фазы ( a a >30° мало отличающегося от константы:

где r — эффективный размер (радиус) частиц; — длина волны; L — характерный масштаб рассеяния света в среде. Формула (1.33) достаточно хорошо описывает фазовый ход яркости поверхности Луны и других безатмосферных тел [91] и может быть применена для приведения наблюдательных данных к нормальному альбедо.

В пп.1.3.1-1.3.3 рассмотрено рассеяние света в порошкообразной среде – типичной модели поверхности безатмосферных тел в масштабе размеров меньше сантиметра. Математически это рассеяние описывается зависимостью яркости от угла фазы a , а также углов падения i и отражения e , измеряемых относительно нормали к плоской поверхности в более крупном масштабе. Однако, как при наземных наблюдениях, так и при космических, разрешение телескопа, как правило, намного больше сантиметровых размеров (при наблюдениях лунной поверхности с Земли максимальное разрешение – первые километры). Это приводит к тому, что измеряемая яркость является усреднённой в пределах элемента разрешения по всем положениям нормали к поверхности в масштабе мезорельефа.

В работе [4] показано, что подобное усреднение приводит к существенному изменению закона отражения. Так, например, если малые площадки поверхности отражают свет по закону Ломмеля-Зеелигера (1.11), для которого, в частности, яркость не зависит от фотометрической широты, то воздействие даже пологого мезорельефа приводит к заметному уменьшению яркости к полюсам:

где — средний квадратичный наклон неровностей (причём ). Для закона Ламберта (1.18) усреднение по мезорельефу, наоборот, приводит к относительному увеличению яркости краевых зон:

Помимо усреднения по всем положениям нормали, влияние мезорельефа проявляется также в виде теневого эффекта на крупномасштабных неровностях. Это влияние особенно заметно вблизи лимба и терминатора.

Учёт влияния мезорельефа, как в виде усреднения, так и в виде затенения, наиболее удачно был проделан Хапке в его формуле (1.30) [68]. Согласно Хапке, яркость поверхности, искажённой мезорельефом, можно представить в виде:

где B( a ,i’, e ’) – яркость «ровной» поверхности (1.30); i’, e ’ – эффективные углы падения и отражения, обусловленные усреднением по всем положениям нормали к поверхности; S( a ,i, e ) – функция, учитывающая теневой эффект, т.е. вероятность того, что рассматриваемая малая площадка в пределах элемента разрешения одновременно видна и освещена. Выражение для i’, e ’ и S было получено полуэмпирическим путём и выглядит следующим образом [68]:

1) при :

2) при :

;

; — средний наклон мезорельефа. В качестве индикатрисы c(a) в формуле (1.30) Хапке предлагает использовать функцию Хеньи-Гринстейна [72]:

где g — фактор асимметрии индикатрисы.

Таким образом, функция Хапке (1.36) зависит от пяти параметров: два из них (B₀ и h) описывают только оппозиционный эффект и три ( w , g и ) определяют как общий ход фазовой зависимости, так и распределение яркости по диску. Очевидно, что не все эти параметры независимы. Кроме того, значения пяти параметров неоднозначным образом могут быть подобраны при описании наблюдаемой зависимости [63].

В модели Люмме и Боуэла [76,77] также было учтено влияние мезорельефа. Полученная в результате фотометрическая функция содержит, как и функция Хапке, пять параметров, причём эти параметры также обладают неоднозначностью при описании экспериментальных зависимостей [62]. Большое количество параметров и громоздкость как функции Хапке, так и функции Люмме-Боуэла делают их использование неудобным, а дальнейшее уточнение закона отражения может приводить к ещё большему усложнению этих функций. Это говорит о том, что рассматриваемый в данном разделе подход, видимо, на этом себя исчерпывает, и для описания отражения света поверхностями безатмосферных тел следует пытаться использовать принципиально другие методы. В частности, такие методы могут основываться на характерных для планетных поверхностей свойствах инвариантности.

В разделе 1.3 были рассмотрены физические механизмы, формирующие закон отражения света Луной. Однако к настоящему времени наиболее адекватно описывающие отражение света лунной поверхностью соотношения были получены без привлечения данных механизмов. Авторы этих работ использовали иные подходы, учитывающие особенности поверхностей безатмосферных тел, позволяющие применять некоторые принципы инвариантности. Рассмотрим три таких подхода.

Первый подход был предложен Акимовым в работе [4]. Как следует из полученных им формул (1.34) и (1.35), для поверхности, первоначально отражающей по закону Ламберта, воздействие мезорельефа приводит к относительному увеличению яркости краевых зон; для закона Ломмеля-Зеелигера наблюдается обратная картина. Логично предположить, что существует закон распределения яркости по диску, инвариантный относительно воздействия мезорельефа. Учитывая то, что поверхность Луны подверглась длительному процессу переработки, можно надеяться на неплохое согласие такого закона с наблюдениями.

Задача в работе [4] ставится таким образом: найти функцию распределения яркости по диску, воздействие пологого мезорельефа на которую оставляет её той же самой с точностью до множителя, зависящего только от угла фазы. Решение этой задачи приводит к функции распределения, известной как закон Акимова:

Замечательным свойством формулы (1.43) является то, что она, подобно законам Ламберта и Ломмеля-Зеелигера, не содержит никаких параметров, описывающих поверхность. Также отметим, что на отдельные сомножители разделяются широтная и долготная зависимости:

;

Оказалось, что выражение (1.43) довольно неплохо описывает наблюдаемое распределение яркости по поверхности Луны [1,4]. Однако падение яркости к фотометрическим полюсам, даваемое формулой (1.45), всё же несколько завышено [4]. Тем не менее, на сегодняшний день закон Акимова является наиболее простым и удобным выражением, описывающим с достаточной точностью распределение яркости по диску Луны.

В целом видимое альбедо лунной поверхности при использовании закона Акимова определяется выражением (1.5), где в качестве эквигонального альбедо можно использовать, например, функцию (1.33)[91].

Другой подход применил Шкуратов [93]. Для описания структуры поверхности он предложил использовать так называемую функцию характеристического наклона на некоторой базе L: , где обозначает пространственное усреднение. Размер этой базы известным образом связан со структурой и альбедо поверхности [93].

Ход его рассуждений вкратце следующий. Предполагается, что фотометрическая функция зависит от единственного параметра d ₀, угла фазы и фотометрических координат f=f( d ₀, a , j , l ). Далее считается, что поверхность подвергается слабым хаотичным возмущениям параметра d ₀ с размером области корреляции много большим, чем сглаживающий масштаб L. Также полагается, что поверхность искажается пологим мезорельефом, что приводит к возмущению координат j и l . После этого на основании утверждения об инвариантности фотометрической функции f к стохастическим возмущениям d ₀, j и l получается общее решение задачи. Причём предполагается, что поверхности безатмосферных тел имеют бимодальное распределение слагающих их материалов, т.е. состоят из двух (тёмной и светлой) компонент. Поэтому для таких поверхностей фотометрическую функцию можно представить в виде линейной комбинации соответствующих частных решений:

а g — балансный множитель, зависящий от отношения альбедо светлого и темного материалов — и отношения площадей, занятых ими, :

Первое слагаемое в формуле (1.47) представляет собой закон Ламберта (1.18), описывающий отражение светлой поверхностью, а произведение косинусных множителей во втором слагаемом совпадает с законом отражения Акимова (1.43) и описывает отражение тёмной шероховатой поверхностью.

Данный подход обобщает подход Акимова (п.1.4.1) путём введения дополнительного варьируемого параметра d ₀. Это позволяет получить не только выражение для распределения яркости по диску, но и фотометрическую функцию в целом. Как показали исследования [93], закон рассеяния (1.47) хорошо описывает как фазовую зависимость, так и распределение яркости вдоль фотометрической долготы для Луны и других безатмосферных тел в широком диапазоне фазовых углов (0°..120°). Что касается широтной зависимости, то при a a a ) можно аппроксимировать выражением

где k=0.16 для морей и k=0.31 для материков. При бóльших углах фазы ( a >90°) наблюдается более резкое нелинейное возрастание параметра q.

Таким образом, в качестве распределения яркости по диску Луны можно с хорошей точностью использовать закон Акимова (1.43) с эмпирической широтной составляющей (1.50):

Будем называть эту функцию распределения комбинированной функцией Акимова, т.к. по сути, она является комбинацией теоретической (1.43) и эмпирической (1.53) функций Акимова (о последней речь пойдёт чуть ниже).

Различие широтной зависимости яркости морей и материков может объясняться увеличением многократного рассеяния в поверхностном слое материков по сравнению с более тёмными морями. Другое объяснение — явление вызвано влиянием мезорельефа, мощность которого на более древних материках больше, чем на более молодых морях. Для разделения вклада альбедо и рельефа в широтную зависимость яркости в работе [4] были проведены колориметрические исследования. При этом заметной широтной зависимости показателя цвета лунных образований при a =105° обнаружено не было. Т.к. альбедо в красных и синих лучах, для которых вычислялся показатель цвета, тем не менее, отличалось в среднем в 1.45 раза, был сделан вывод, что широтная зависимость яркости лунной поверхности обусловлена исключительно влиянием мезорельефа.

Для описания как широтной, так и долготной зависимости яркости лунных образований Акимовым [2,4] была предложена эмпирическая функция распределения яркости по диску шероховатой планеты:

где q — фактор гладкости, зависящий от угла фазы. Будем далее использовать именно это название параметра q. Следует отметить, что при q( a )=1 формула (1.53) обращается в закон Ламберта (1.18); при q( a )=0 она очень близка к закону Ломмеля-Зеелигера (1.11) (за исключением небольшого различия в долготной зависимости вблизи лимба и терминатора, см. раздел 1.6); наконец, при

формула (1.53) очень близка к теоретическому закону Акимова (1.43) (опять же с небольшими отличиями в долготной зависимости). По тем или иным характеристикам шероховатой поверхности перечисленные теоретические законы являются предельными. Эмпирическую зависимость (1.53) можно использовать для поверхностей с промежуточным значением параметров, характеризующих строение поверхности.

Различие между формулами (1.52) и (1.53) очень мало, и, по данным [2,4], они обе хорошо описывают распределение яркости по диску Луны при a d ₀ и g (см. п.1.4.2) по диску Луны. Эти карты статистически более надежны, так как они строились по целому набору изображений (1°, 6°, 12°, 96°). Однако у карт параметров d ₀ и g, как и у карт фазовых отношений, построенных этими авторами, имеется существенный недостаток — они явно искажены влиянием макрорельефа.

Появление ПЗС-приёмников [42] положило начало новой эпохе в наблюдательной астрономии. Появилась возможность непосредственного ввода в компьютер изображения Луны путём фотометрирования его прямо в фокальной плоскости телескопа. В НИИА ХНУ в 1989 году Корохиным был создан фотометрический комплекс на основе линейного ПЗС-фотоприемника, разработаны программы для обеспечения наблюдений и дальнейшей обработки и начато систематическое накопление наблюдательного материала 31. Данный фотометрический комплекс используется по настоящее время для наблюдений Луны, Солнца и Юпитера [34], в том числе и автором диссертации. Более подробно методика наблюдений и обработки изображений Луны описаны в Главе 2.

К настоящему времени в НИИА ХНУ получен набор ПЗС-изображений Луны при широком диапазоне изменения фазовых углов (от -133° до +135°). По изображениям при небольших углах фазы ( a m (см. п.1.3.2) по диску Луны [33], причем следует отметить, что авторам этой работы удалось разработать методику, освобождающую параметры фазовой зависимости от влияния макрорельефа. Также в работе [33] были построены карты распределения угла наклона макрорельефа вдоль селенографической долготы и коэффициента шероховатости h.

В целом, более, чем десятилетний, опыт применения ПЗС-фотоприемников в НИИА ХНУ для наблюдений Луны, Солнца и планет показал перспективность и высокую эффективность такого способа регистрации изображений для решения различных задач астрофизики [35].

Подводя итог рассмотрения проблемы рассеяния света лунной поверхностью, отметим следующее. Современные модели, использующие как теоретический, так и эмпирический подходы при определении закона отражения света Луной, позволяют получить соотношения, определяющие с хорошей точностью видимое альбедо лунной поверхности в достаточно широком диапазоне фотометрических условий наблюдения. Фазовая зависимость видимого альбедо (см. (1.5)) при углах фазы a r ₀, m , L, r, характеризующие поверхность и имеющие довольно очевидный физический смысл. Распределение яркости по диску Луны, в свою очередь, можно описать эмпирической функцией Акимова (1.53), работающей практически при любых углах фазы. Входящий в эту функцию фактор гладкости q зависит от угла фазы, причём, при a Y (1.53) очень слабо зависит от параметра q. На рисунке 1.1а приведено распределение яркости вдоль фотометрической долготы, даваемое функцией (1.53) при различных значениях q, а также, для сравнения, распределения, даваемые законами Акимова (такое же распределение и в комбинированной функции (1.52)), Ламберта и Ломмеля-Зеелигера.

Видно, что существенные отличия этих распределений друг от друга имеются лишь в узкой зоне вблизи лимба и терминатора, которую не так-то просто и пронаблюдать. В то же время широтная зависимость альбедо весьма чувствительна к изменениям параметра q (рис.1.1б), и, поэтому, наиболее логичным способом определения фактора гладкости q является исследование именно широтной зависимости яркости.

На основании вышеизложенных соображений в диссертационной работе были поставлены следующие задачи:

1. Используя современные технические средства, экспериментально исследовать широтную зависимость яркости лунной поверхности при больших углах фазы в различных участках спектра с целью уточнения фазовой зависимости фактора гладкости и, вообще, проверки применимости существующих законов отражения при больших фазовых углах.

2. Основываясь на более точных наблюдениях различных лунных образований в разных участках спектра, а также результатах индикатометрических измерений образцов, уточнить и, по возможности, разделить влияние, оказываемое рельефом и альбедо на фактор гладкости лунной поверхности.

Источник