Правило Тициуса-Боде и поиски пятой планеты
Таинственная история появления правила Тициуса-Боде и не менее таинственные совпадения связанные с этим событием.
Что такое правило Тициуса-Боде?
В 1766 году немец по имени Иоганн Тициус который успел попробовать себя в астрономии, физике и математике, на досуге вывел довольно любопытное правило, позволяющее, зная расстояние от Солнца до Земли, рассчитать и расстояние до других планет солнечной системы. Как бы то ни было, на “открытие” Тициуса никто особого внимания не обратил, тем более и сам Иоганн не претендовал на роль великого астронома, а его формула расчета работала без всякого теоретического обоснования и вообще, выглядела скорее остроумной шуткой, чем подлинным научным инструментом.
Иоганн Тициус – астроном, физик, математик. Автор «правила Тациуса-Боде» позволяющего достаточно точно высчитать расстояние между планетами солнечной системы
Однако в 1772 году к идее Тициуса обратился другой немецкий астроном Иоганн Боде – он-то и оказался “популяризатором” новой теории, представившим формулу своего коллеги и земляка широкой общественности. С тех нор формула называется правилом Тициуса-Боде. И, хотя с момента открытия правила прошло уже больше двух веков, специалисты занятые изучением звездного неба до сих пор не выработали четкой позиции как обращаться с “правилом” – как со случайным совпадением или… впрочем, пусть каждый решит это для себя самостоятельно!
Как работает правило Тициуса-Боде
Расстояние от Земли до Солнца составляет 149,6 млн. километров, однако так как орбита Земли не идеально круглая, мы можем смело округлить это расстояние до 150 млн.км. Именно 150 млн. км – то расстояние, что называется астрономической единицей (а.е.).
Что сделал Тациус? Он сочинил довольно несложную формулу, которую можно записать в таком виде:
Rn = 0.4+(0.3 x 2 n )
- Rn – среднее расстояние от Солнца до планеты с порядковым номером n, в астрономических единицах.
- n – число, порядковый номер планеты, причем Марсу соответствует 2, Земле 1 (т.е. 1 а.е.), Венере – 0, Меркурию – бесконечность и т.п.
Вот так всё просто (несмотря на наличии того факта, что счет начинается даже не с нуля, а бесконечности – двойного нуля!). Почему в формуле фигурируют числа 0,4 и 0,3? Сам Тициус приводил такое обоснование:
Если взять расстояние от Сатурна (последняя из известных в то время планет) до Солнца за 100 единиц, то получится любопытная математика. Меркурий будет находится на расстоянии 4 таких единиц (4+0=4). Венера будет расположена на расстоянии 7 единиц (4+3=7). Земля: 4+6 = 10 единиц, Марс: 4+12=16 единиц… вы заметили, что второе число в этой формуле постоянно удваивается? Вот и Тициус заметил, а потому продолжил счет.
После Марса по логике вещей должно было быть 4+24 = 28 единиц, но там планет не было… зато на расстоянии 4+48 = 52 единицы был Юпитер, а на расстоянии 4+96 = 100 единиц – Сатурн. Интересная арифметика, неправда ли?
Теперь проверим как работает выведенная Тициусом формула. Рассчитаем, например расстояние для Земли, уже хорошо нам известное.
0,4+(0,3 х 2 1 ) = 1 (а.е.)
Совпадение? Конечно совпадение, давайте рассчитаем расстояние для другой планеты, например для Марса?
0,4+(0,3 х 2 2 ) = 1,6 (а.е.), постойте, а сколько действительно астрономических единиц отделяет Марс от Солнца? 1,52 а.е., но при этом нельзя забывать – орбита Марса – это эллипс, поэтому 1,52 это усредненное значение. Снова совпадение? Тогда давайте сделаем полный расчет для солнечной системы и посмотрим что получится в итоге.
планеты
Планеты солнечной системы. Во время Тациуса, их было немного меньше
Откуда пошел миф о “пятой планете” и была ли она вообще?
К моменту публикации правила Тициуса-Боде ещё не были открыты Уран, Нептун и Плутон, поэтому данные приведенные в таблице сперва просто ошеломили научную общественность. Шутка вдруг стала приобретать какой-то мистический оттенок, особенно после того, как в 1781 году был открыт Уран, истинное положение которого (19,6 а.е.) почти соответствовало теоретическому (19,2 а.е.)!
И тут уже задумались многие научные светила – если “правило” точно (вернее почти точно) указывает на 7 известных планет, то… где та самая восьмая, а точнее пятая планета, предсказанная на расстоянии 2,8 а.е., между Марсом и Юпитером? Фактически, до этого момента никто и не обсуждал (и не предполагал) всерьез её наличие – ведь сразу после Марса шел Юпитер, и никаких признаков того, что между ними могло где-то вклинится ещё одно небесное тело не было. Фактически пресловутый миф о пятой планете (Фаэтоне) был “документально засвидетельствован” именно правилом Тициуса-Боде – других доказательств свидетельствующих о наличии ещё одного небесного тела в Солнечной системе, к концу 18-го века не существовало.
Широкое обсуждение вопроса “пятой планеты” состоялось на Астрономическом конгрессе в 1790 году, однако никакой ясности в этом вопросе не было ещё долгих десять лет, пока в 1801 году астроном Джузеппе Пиацци не открыл астероид Цереру, расположенный на расстоянии… 2,8 астрономических единиц от Солнца.
Сравнение размеров астероида Церера и нашей Луны. Понятное дело, что до уровня планеты Церера не дотягивает
Правило Тициуса-Боде в ретроспективе
Открытие Цереры не стало триумфом правила Тициуса-Боде – несмотря на то, что этот астероид имел круглую форму и был довольно солидного диаметра (950 км), все-таки это была явно не планета. Да и времена пошли другие – научные методы требовали научного подхода, а не несложной формулы, половина значений в которую подставлялась словно “от балды”.
О правиле Тициуса-Боде стали постепенно забывать, и хотя по мере открытия других объектов пояса астероидов между Марсом и Юпитером, все чаще стала звучать версия о “погибшей пятой планете”, но из авторитетного источника, правило снова откочевало в стан “забавных идей” и околонаучных трюков.
Открытие в 1846 г. планеты Нептун вообще поставило на истории “правила” крест (вместо предсказанных 30 а.е., Нептун располагался в 38,8 а.е. от Солнца), а открытие Плутона в 1930 г. – жирную точку (39,46 а.е. вместо предсказанных 77,2 а.е.).
Впрочем, как уже говорилось: правило Тициуса-Боде — это не закон, подобный, например, законам Кеплера или Ньютона, а правило, полученное из анализа имеющихся данных о расстояниях известных планет от Солнца. Просто некое удивительное соотношение, мимо которого проходили долгое время.
А к любому правилу имеются свои отклонения – во всяком случае ничего не обычного в таких отклонениях нет, иногда они даже служат подтверждением правил.
Пояс астероидов разделяющий солнечную систему на внутреннюю и внешнюю части
К примеру, Плутон действительно не соответствует своему “месту” согласно правилу, но… ведь он расположен на расстоянии примерно соответствующем расстоянию указанному до Нептуна. А странное расстояние в 77 а.е. (т.е. очень далеко за орбитой Нептуна, на “задворках” Солнечной системы)… постойте, так ведь примерно здесь мы найдем Эриду (среднее расстояние 67,8 а.е., при разбросе 38-97 а.е.).
Пускай и Церера и Плутон и Эрида не являются “настоящими” планетами (а для здоровяка-Нептуна и вовсе не нашлось места), однако череда совпадений выглядит все равно довольно интересно. Мы одновременно не можем “верить” в работу правила Тициуса-Боде, но и однозначно “не верить” в него мы тоже не можем.
Возможно совпадения в результатах вычислений по правилу Тициуса-Боде это просто случайное совпадение, но возможно это и “частично работающий” механизм, часть элементов которого работает в наше время также как в незапамятные времена, а часть безвозвратно утрачена и “унесена рекой времени”. То есть правило показывает нам идеальную “теорию”, а нынешняя Солнечная система это – не идеальная “практика” с учетом всевозможных изменений и катаклизмов за миллиарды лет существования.
Менее мистическая, но от этого не более необычная теория гласит, что странные совпадения вызваны сочетанием особых условий орбитального резонанса небесных тел в более-менее стабильной планетной системе, на которую не действуют внешние факторы.
Если так и есть, то теоретически вообще любая планетная система должна более-менее соответствовать правилу Тициуса-Боде, а это в свою очередь, могло бы здорово помочь в открытии новых планет за пределами Солнечной системы. К сожалению, подтвердить или опровергнуть эту теорию мы пока тоже не можем – при всем совершенстве нынешней техники обнаружения экзопланет, наблюдение в далеких звездных системах планет размером с Меркурий или Марс (не говоря про карликовые планеты) нам недоступны.
Однако так будет не всегда, и возможно, спустя 300 лет с момента открытия, о загадочном правиле Тициуса-Боде вскоре заговорят вновь!
Александр Фролов,
в основе материала глава книги “Внуки Солнца”, В.С.Гетман.
Источник
ПРАВИЛО ТИЦИУСА-БОДЕ
Гравитация, вероятности, и Устойчивость Солнечной системы
Тот, кто занимался вычислениями знает, какое испытываешь удовольствие, когда, используя новую формулу, получаешь результат, отличающийся от ожидаемого, к примеру, в 1.000036 или 0.99995 раз. Это вдохновляет. Чувствуешь себя очень умным, чуть ли не Эйнштейном. Показываешь это на обозрение народу. А потом вдруг обнаруживаешь, что единицы измерения не сходятся. Е-мае какой позор. Природа сыграла злую шутку. Это я говорю к тому, что этап вдохновения от численных совпадений мной уже пройден. А здесь я попытаюсь критически посмотреть на странные результаты по вычислениям орбит планет. Сразу замечу, что прецеденты здесь уже были. Так хорошо известно правило Тициуса-Боде.
Правило Тициуса-Боде a = 0.1(3*2 n +4) астр. ед., где: а — среднее расстояние от планеты до Солнца в астрономических единицах; n = «минус бесконечность» для Меркурия; n = 0 для Венеры; n = 1 для Земли; n = 2 для Марса; n = 3 для пояса астероидов (обломки Фаэтона?); n = 4 для Юпитера.
Отношение вычисленных радиусов к наблюдаемым показаны ниже:
| Объект | Отношение |
| Меркурий | 1,0333 |
| Венера | 0,96775 |
| Земля | 1 |
| Марс | 1,0502 |
| Фаэтон | доигрался |
| Юпитер | 0,99917 |
| Сатурн | 1,0436 |
| Уран | 1,0208 |
| Нептун | 1,2913 |
| Плутон | 1,9676 |
Плутон вряд ли можно считать полноценной планетой, — он в шесть раз легче Луны, орбита его вытянута и иногда он залетает ближе Нептуна.
Точность результатов удивляет, но увы, правило Тициуса-Боде не основано на каких-нибудь физических принципах.
Иван Макарченко указал на существование другой закономерности в расположении планет:
| Объект | Большая полуось | Отношение с предыдущим |
| Меркурий | 0.387 | . |
| Венера | 0.723 | 1.87 |
| Земля | 1.000 | 1.38 |
| Марс | 1.52 | 1,52 |
| Фаэтон | . | . |
| Юпитер | 5.20 | sqrt(3.42)=1.85 |
| Сатурн | 9.54 | 1.83 |
| Уран | 19.2 | 2.01 |
| Нептун | 30.1 | 1.57 |
| Плутон | 39.4 | 1.31 |
| среднее | . | 1.66 |
Золотое сечение (1+sqrt(5))/2=1.62 (если не вpу).
Твоя правда: 1.6180339887. — изумительное число, но в предложенной схеме точность пониже, и опять таки нет физического обоснования предлагаемой закономерности.
Это было, так сказать, отступление, указывающее на то, что в Солнечной системе существуют какие-то резонансы.
У меня получается несколько другая картина.
Во-первых, использовано физическое обоснование, и получены неожиданные странные совпадения на основании формулы r = sqr(Gm/(Hc)), где r — радиус устойчивой орбиты, H — константа Хаббла, m — масса планеты.
Во-вторых, в применяемой мной формуле использована сравнительно точная константа Хаббла, полученная мной независимым способом, и уточненная гравитационная постоянная.
H = 2.374684198E-18 об/сек = 73.27511 км/с/Мпк
G = 6.671479888E-11 Нм 2 /кг 2
А это значит, что тот, кто мог бы раньше меня получить формулу r = sqr(Gm/(Hc)), вряд ли заметил бы закономерность, поскольку он использовал бы очень неточное значение постоянной Хаббла, которое варьируется от 50 до 100 км/с/Мпк. То есть, я полагаю, что эта закономерность найдена впервые; что её доказательство автоматически является доказательством того, что константа Хаббла действительно равна 73.27511 км/с/Мпк, либо очень близка к этому значению и может быть чуть-чуть изменена, если мое уточнение G окажется ошибочным.
Следовательно, нужно оценить вероятность того, являются ли полученные совпадения случайными либо это действительно закономерность.
Итак, где же совпадения? Пытаясь найти радиусы устойчивых орбит по формуле r = sqr(Gm/(Hc)), мы обнаруживаем, что ошибка для большинства планет получается не в случайное число раз больше или меньше, а очень близка к единице, трем, пяти. А именно:
| Объект | Отношение вычисленного к наблюдаемому | Нормировка |
| Меркурий | 3,038 / 3 = | 1,01254 |
| Земля | 5,0014 / 5 = | 1,00028 |
| Марс | 1,0760 / 1 = | 1,0760 |
| Сатурн | 5,0914 / 5 = | 1,0183 |
| Уран | 0,99308 |
В эту «красоту» не вписывается Венера с ошибкой около 2 p : 6,24206 / 2 p = 1,0066,
Юпитер с ошибкой 17,13.
Hептун с ошибкой 0,68925 или 1 / 1,4509.
Плутон не в счет, орбита его сильно вытянута и вероятно неустойчива, а мы исследуем устойчивые орбиты. Спутники планет дают большую ошибку.
Предлагаемая формула для устойчивых обрит работает и в микромире, протон дает ошибку 9,5 раз по сравнению с комптоновской орбитой, а электрон в 9,6 раз по сравнению с классическим радиусом электрона. Hо там порядок в орбитах навела квантовая механика. Хотя визит постоянной Хаббла вместе с гравитационной константой на те масштабы очень интересен.
Для оценки вероятности случайного совпадения мы не берем ни протон, ни электрон, ни Плутон. Венера ни туда, ни сюда, тем не менее, пусть она вместе с Юпитером и Плутоном засчитываются в количество планет, опровергающих закономерность.
Итак, в рулетке принимают участие 8 планет. Какова вероятность того, что 5 из этих планет упадут в точки близкие к 1, 3, 5, 7?
Ограничимся пока семеркой.
Как решить эту задачу? Сколько раз нужно запускать рулетку, чтобы мы увидели, хотя бы один раз, чтобы 5 из 8-ми шаров остановились у делений 1, 3, 5, 7 на непрерывном полотне от 0 до 7 и отличались бы от этих чисел не больше чем в 1,01254; 1,00028; 1,0760; 1,0183; 1,0070 раз.
Я еще эту задачу не решил, так интуитивно думаю, что рулетку нужно запускать где-то миллиард раз.
А вы как думаете?
Что это доказывает?
Существование резонансов?
Согласен. А как насчет примененного значения константы Хаббла?
Случайность?
Думаю что нет. Константа Хаббла найдена правильно. Её точное значение определяется в этой работе по формуле:
H = 2mprmel 2 cG / h 2 / a 2 .
Существует некоторая вероятность, что в этой формуле вместо массы протона может стоять атомная единица массы, или некоторая усредненная масса нуклона. Но пока весь пакет формул для определения главных физических констант, содержащих постоянную Хаббла, полностью согласуется с данными CODATA. Так что если постоянная Хаббла и изменится, то не больше чем на тысячные доли от получаемого по этой формуле значения.
Впервые я получил постоянную Хаббла, пользуясь формулой для нахождения устойчивых орбит планет r = sqr(Gm/(Hc)) где то в районе 1990 года, и считал её усредняя по планетам. Тогда я не знал формулы H = 2mprmel 2 cG / h 2 / a 2 , полученной пару лет назад, и соответственно не видел квантования орбит. И лишь сейчас, в феврале 2001 года, я применил это точное значение константы Хаббла для определения радиусов устойчивых орбит, и увидел, что старая формула показывает квантование орбит. Вероятность случайного совпадения исчезающе мала. Бог должен был запускать рулетку миллиард раз, чтобы 5 из восьми планет оказались у орбит с квантовыми числами 1, 3, 5.
Следуя обратным путем, можно получить значение постоянной Хаббла через квантовые числа, радиусы и массы планет. Поскольку эти величины наиболее точно известны для планеты Земля, то мы запишем значение константы Хаббла, используя данные о Земле: квантовое число 5, масса 5.9736*10 24 kg, главная полуось 1.4960*10 11 m. Для гравитационной постоянной в первом случае возьмем значение 6.671479888E-11 Нм 2 /кг 2 , полученное мной, во втором предлагаемое CODATA: 6.673E-11 Нм 2 /кг 2 .
H = GM/(nr) 2 /c. n =5.
H1 = 2,3759E-18 об/сек = 73,314 км/с/Мпк
H2 = 2,376E-18 об/сек = 73,33 км/с/Мпк
Сравнивая значение H1 с точным значением H = 2.374684198E-18 об/сек, видим, что разница действительно составляет менее одной тысячной доли: 0.00053. Имея в виду то, что точный расчет орбит может вестись с учетом влияния других планет, спутников и т.п., мы будем использовать далее точное значение константы Хаббла, а полученные сейчас значения показывают лишь то, что значение Хаббла найдено верно, и в дальнейшем может быть уточнено не более, чем на тысячную долю. А сейчас можно смело пользоваться значением H = 73.3 км/с/Мпк.
Поиски квантовых чисел спутников планет
Составим полную таблицу для планет и их спутников с целью поиска закономерностей или квантовых чисел. В этой таблице мы будем предполагать, что отношение вычисленного радиуса к наблюдаемому стремится к некоторому целому квантовому числу, если отличие составляет не более двух десятых долей от целого, и обозначаем красным цветом. То есть, если мы видим число 17,13, то полагаем, что квантовое число данного спутника или планеты 17. Если это отличие больше чем две десятых, то квантовое число данной планеты не определено. Если результат находится между числами 6 и 1/6, то данная планета или спутник подтверждает закон устойчивых орбит, но не подтверждает квантование. Эти результаты полужирным шрифтом. Если планета или спутник не подтверждает ни квантование, ни закон устойчивых орбит, то эти результаты оставим черными. Другие странности выделим синим.
| Объект | Масса объекта (*10 24 кг) | Среднее расстояние до Солнца (*10 9 м). В скобках перигелий/афелий. Для спутников планет — расстояние до планеты. В скобках эксцентриситет орбиты. | Отношение вычисленного радиуса к наблюдаемому |
| Меркурий | 0.3302 | 57.91 (46.00 / 69.82; 0.2056) | 3,038 3 |
| Венера | 4.8685 | 108.21 (107.48 / 108.94; 0.0067) | 6,2421 2 p |
| Земля | 5.9736 5.973538542 | 149.60 (147.09 / 152.10; 0.0167) | 5,0014 5 |
| Марс | 0.64185 | 227.92 (206.62 / 249.23; 0.0935 ) | 1,0760 1 |
| Фаэтон | . | доигрался | . |
| Юпитер | 1 898.6 | 778.57 (740.52 / 816.62; 0.0489) | 17,132 17 |
| Сатурн | 568.46 | 1433.53 (1352.55 / 1514.50; 0.0565) | 5,0914 5 |
| Уран | 86.832 | 2872.46 (2741.30 / 3003.62; 0.0457) | 0,99308 1 |
| Нептун | 102.43 | 4495.06 (4444.45 / 4545.67; 0.0113) | 0,68925 |
| Плутон | 0.0125 | 5869.66 (4434.99 / 7304.33; 0.2444) | 0.00583 |
| . | . | Спутники Марса (*10 6 м) | . |
| Фобос | 10.6 | 9.378 (0.0151) | 3.36 |
| Деймос | 2.4 | 23.459 (0.0005) | 0.64 |
| . | (*10 20 кг) | Луна и спутники Юпитера (*10 6 м) | . |
| Луна | 734.9 | 384.4 (0.0549) | 215.9 216 = 12*18 |
| Ио | 893.3 | 421.6 (0.004) | 217.0 217 = 7*31 |
| Европа | 479.7 | 670.9 (0.009) | 99.94 100 = 10*10 |
| Ганимед | 1482 | 1070 (0.002) | 110.1 110 = 10*11 |
| Каллисто | 1076 | 1883 (0.007) | 53.33 |
| Metis | 0.001 | 127.96 («0.041) | 0.76 |
| Adrastea | 0.0002 | 128.98 ( 0) | 0.34 |
| Amalthea | 0.072 | 181.3 (0.003) | 4.5 |
| Thebe | 0.008 | 221.90 (0.015) | 1.2 |
| Leda | 0.00006 | 11 094 (0.148) | 0.002 |
| Himalia | 0.095 | 11 480 (0.163) | 0.082 |
| Lysithea | 0.0008 | 11 720 (0.107) | 0.007 |
| Elara | 0.008 | 11 737 (0.207) | 0.02 |
| Ananke | 0.0004 | 21 200 (0.169) | 0.003 |
| Carme | 0.001 | 22 600 (0.207) | 0.004 |
| Pasiphae | 0.002 | 23 500 (0.378) | 0.006 |
| Sinope | 0.0008 | 23 700 (0.275) | 0,004 |
| . | (*10 20 кг) | Спутники Сатурна (*10 6 м) | . |
| Mimas | 0.375 | 185.52 (0.0202) | 10,1 10 |
| Enceladus | 0.73 | 238.02 (0.0045) | 11,0 11 |
| Tethys | 6.22 | 294.66 (0.0000) | 25,9 26 |
| Dione | 11.0 | 377.40 (0.0022) | 26,9 27 |
| Rhea | 23.1 | 527.04 (0.0010) | 27,9 28 |
| Титан | 1345.5 | 1 221.83 (0.0292) | 91,901 92 |
| Hyperion | 0.2 | 1 481.1 (0.1042) | 0,92 1 |
| Iapetus | 15.9 | 3 561.3 (0.0283) | 3,43 |
| Prometheus | 0.0014 | 139.353 (0.0024) | 0,82 |
| Pandora | 0.0013 | 141.700 (0.0042) | 0,78 |
| Epimetheus | 0.0054 | 151.422 (0.009) | 1,49 |
| Janus | 0.0192 | 151.472 (0.007) | 2,80 |
| Phoebe | 0.004 | 12 952 (0.1633) | 0.015 |
| . | (*10 20 кг) | Спутники Урана | . |
| Miranda | 0.66 | 129.39 (0.0027) | 19,2 |
| Ariel | 13.4 | 191.02 (0.0034) | 58,7 |
| Umbriel | 11.7 | 266.30 (0.0050) | 39,3 |
| Titania | 35.2 | 435.91 (0.0022) | 41,7 |
| Oberon | 30.1 | 583.52 (0.0008) | 28,8 |
| . | (*10 20 кг) | Спутники Нептуна | . |
| Тритон | 214.7 | 354.76 (0.000016) | 126.4 |
| Nereid | 0.2 | 5 513.4 (0.7512) | 0.25 |
| . | (*10 20 кг) | Спутник Плутона | . |
| Charon | 19 | 19.600 (0.0) | 681 |
Мы видим, что результатов обозначенных полужирным шрифтом, значительно больше, чем было бы в случае, если бы выбор орбиты был произволен. Это доказывает, что «расширение» пространства по закону Хаббла противоборствует ускорению Лапласа и поэтому мы наблюдаем Устойчивость Солнечной системы. С другой стороны, результатов окрашенных красным гораздо больше, чем было бы в случае произвольного падения орбит на континуум. Это доказывает квантование орбит в Солнечной системе. И наконец, то, что в формуле для определения радиусов использовано значение константы Хаббла, полученной по другим формулам, доказывает, что константа Хаббла найдена верно. В качестве иллюстрации я привожу таблицу, в которой я использую случайные значения постоянной Хаббла, и мы сравниваем результат, с последней колонкой, полученной на основе используемого здесь значения константы Хаббла.
| Доля от H | 0,5334 | 0,5795 | 0,29 | 0,302 | 0,775 | 1 |
| Меркурий | 4,16 | 3,990 | 5,65 | 5,53 | 3,45 | 3,04 |
3
5
1
17
5
1
