Законы ньютона нельзя применять при расчете движения планет вокруг солнца

Всемирное тяготение и классическая небесная механика


Первый закон Кеплера (закон эллипсов)	Второй закон Кеплера (закон площадей)

Разделы о гравитационные законы и правила традиционной небесной механики:

Классические законы гравитации
Правила расположения планет

Классические законы гравитации

Динамический закон Ньютона и кинематические законы Кеплера, касающиеся взаимодействия двух тел и их движения при этом:

Закон всемирного тяготения, или закон гравитационного взаимодействия двух тел (Исаак Ньютон, 1682):
Первый закон Кеплера, или закон эллипсов (1609 г.): Все планеты движутся по эллиптическим орбитам, в одном из фокусов которых находится Солнце.
Второй закон Кеплера, или закон площадей (1609 г.): Радиус-вектор планеты описывает в равные промежутки времени равные площади. Этот закон эквивалентен закону сохранения момента импульса.
Третий закон Кеплера (1619 г.): Квадраты периодов обращения планет относятся как кубы больших полуосей их орбит: или . С учетом поправки Ньютона: .
Отсюда общее правило: чем ближе планеты к Солнцу, тем больше линейная и угловая скорости их обращения вокруг Солнца.
[Кроме того, из формулы следует, что масса имеет физическую размерность R 3 /T 2 , или ускорение изменения объёма]

Правила расположения планет

«Нумерологическое» правило Тициуса-Боде

Средние расстояния планет от Солнца подчиняются известному с конца XVI века эмпирическому правилу — закону Тициуса-Боде: R = 0.4 + 0.3×2 n, где R — расстояние от Солнца до планеты в астрономических единицах, n — целые числа, причем, для Меркурия n = — ∞, для Венеры n = 0, для Земли n = 1 и т.д.

После того как в 1781 г. астроном Гершель в соответствии с правилом Тициуса-Боде открыл планету Уран (n = 6), и поиски отсутствующей планеты между Марсом и Юпитером привели к открытию в 1801 г. первого астероида — Цереры, возникла твердая уверенность что мы имеем дело с законом природы. И даже тот факт, что Нептун и Плутон не вписываются в эту формулу не поколебал этой уверенности. Закон Боде характерен и для описания расстояний многих спутников Юпитера, Сатурна и Урана, что свидетельствует о неслучайности этих закономерностей.

О законе Тициуса-Боде было много дискуссий. Физическая значимость его соотношения и различных модификаций закона не очевидна, поскольку она не является следствием какой-либо теории. Некоторые авторы не исключают возможности случайного происхождения наблюдаемого распределения планетных и спутниковых расстояний от центральных тел. Другие видят в нем отражение начальных условий образования планетной системы. Но большее число исследователей склоняется к мысли о его эволюционном происхождении [?].

Гипотеза о резонансной структуре Солнечной системы была высказана А.М.Молчановым (Пудовкин и др. 1977)). Основанием для этого послужило то, что закон планетарных расстояний (закон Тициуса-Боде) не совсем адекватен сути явления. Более удачная форма описания явления пропорциональности расстояний между планетами и спутниками, по Молчанову, заключается в представлении этой особенности как соразмерности частот их вращений: планет — вокруг Солнца, а спутников — вокруг планет. Простые целочисленные соотношения более естественно возникают и легче интерпретируются в соотношениях между частотами, а переход к расстояниям планет от Солнца может быть сделан по третьему закону Кеплера. Преимущества такого подхода заключаются в том, что с одних позиций могут быть рассмотрены многочисленные случаи соизмеримости между частотами в Солнечной системе (Кузнецов В.В. Горячая Земля).

Вместе с тем существуют соизмеримости другого рода. Известно, что многие спутники планет имеют частоты вращения, совпадающие с частотой их обращения вокруг центрального тела, демонстрируя резонанс 1 : 1. Наиболее известным примером является резонанс Земля — Луна. Частота вращения Меркурия связана с частотой его обращения соотношением 2 : 3. Известно, что в распределении астероидов на орбитах, соответствующих соизмеримостям 1 : 2; 2 : 5; 1 : 3; наблюдаются пробелы Кирквуда. Аналогичный резонансный характер имеет щель Кассини в кольцах Сатурна и т.п.

Поразительны соизмеримости обращения планет Меркурия и Венеры. Оказывается, что движение Меркурия вокруг Солнца и вокруг своей оси согласовано с движением Земли. Соединение Земли и Меркурия происходит каждые 116 суток [

1/3 земного года]. За это время Меркурий делает ровно два оборота вокруг своей оси и, оказавшись в нижнем соединении с Землей, всегда повернут к ней в этом положении одной и той же стороной. Аналогично Меркурию ведет себя Венера, которая с периодичностью 584 дня [за это время Марс уже 5 витков сделал], сближаясь с Землей, оказывается в нижнем соединении. В эти моменты Венера неизменно обращена к Земле одной и той же стороной.

Источник

Законы Кеплера

В мире атомов и элементарных частиц гравитационные силы пренебрежимо малы по сравнению с другими видами силового взаимодействия между частицами. Очень непросто наблюдать гравитационное взаимодействие и между различными окружающими нас телами, даже если их массы составляют многие тысячи килограмм. Однако именно гравитация определяет поведение «больших» объектов, таких, как планеты, кометы и звезды, именно гравитация удерживает всех нас на Земле.

Гравитация управляет движением планет Солнечной системы. Без нее планеты, составляющие Солнечную систему, разбежались бы в разные стороны и потерялись в безбрежных просторах мирового пространства.

Закономерности движения планет с давних пор привлекали внимание людей. Изучение движения планет и строения Солнечной системы и привело к созданию теории гравитации – открытию закона всемирного тяготения.

С точки зрения земного наблюдателя планеты движутся по весьма сложным траекториям (рис. 1.24.1). Первая попытка создания модели Вселенной была предпринята Птолемеем (

140 г.). В центре мироздания Птолемей поместил Землю, вокруг которой по большим и малым кругам, как в хороводе, двигались планеты и звезды.

Рисунок 1.24.1. Условное изображение наблюдаемого движения Марса на фоне неподвижных звезд

Геоцентрическая система Птолемея продержалась более 14 столетий и только в середине XVI века была заменена гелиоцентрической системой Коперника. В системе Коперника траектории планет оказались более простыми. Немецкий астроном Иоганн Кеплер в начале XVII века на основе системы Коперника сформулировал три эмпирических закона движения планет Солнечной системы. Кеплер использовал результаты наблюдений за движением планет датского астронома Тихо Браге.

Первый закон Кеплера (1609 г.):

Все планеты движутся по эллиптическим орбитам, в одном из фокусов которых находится Солнце.

На рис. 1.24.2 показана эллиптическая орбита планеты, масса которой много меньше массы Солнца. Солнце находится в одном из фокусов эллипса. Ближайшая к Солнцу точка P траектории называется перигелием, точка A, наиболее удаленная от Солнца – афелием. Расстояние между афелием и перигелием – большая ось эллипса.

Рисунок 1.24.2. Эллиптическая орбита планеты массой m –11 Н·м 2 /кг 2 – гравитационная постоянная. Ньютон первый высказал мысль о том, что гравитационные силы определяют не только движение планет Солнечной системы; они действуют между любыми телами Вселенной. В частности, уже говорилось, что сила тяжести, действующая на тела вблизи поверхности Земли, имеет гравитационную природу.

Для круговых орбит первый и второй закон Кеплера выполняются автоматически, а третий закон утверждает, что T 2

R 3 , где Т – период обращения, R – радиус орбиты. Отсюда можно получить зависимость гравитационной силы от расстояния. При движении планеты по круговой траектории на нее действует сила, которая возникает за счет гравитационного взаимодействия планеты и Солнца:

Свойство консервативности гравитационных сил позволяет ввести понятие потенциальной энергии. Для сил всемирного тяготения удобно потенциальную энергию отсчитывать от бесконечно удаленной точки.

Потенциальная энергия тела массы m, находящегося на расстоянии r от неподвижного тела массы M, равна работе гравитационных сил при перемещении массы m из данной точки в бесконечность.

Математическая процедура вычисления потенциальной энергии тела в гравитационном поле состоит в суммировании работ на малых перемещениях (рис. 1.24.5).

Рисунок 1.24.5. Вычисление потенциальной энергии тела в гравитационном поле

Закон всемирного тяготения применим не только к точеным массам, но и к сферически симметричным телам. Работа гравитационной силы на малом перемещении есть:

Полная работа при перемещении тела массой m из начального положения в бесконечность находится суммированием работ ΔAi на малых перемещениях:

В пределе при Δri → 0 эта сумма переходит в интеграл. В результате вычислений для потенциальной энергии получается выражение

Знак «минус» указывает на то, что гравитационные силы являются силами притяжения.

Если тело находится в гравитационном поле на некотором расстоянии r от центра тяготения и имеет некоторую скорость υ, его полная механическая энергия равна

В соответствии с законом сохранения энергии полная энергия тела в гравитационном поле остается неизменной.

Полная энергия может быть положительной и отрицательной, а также равняться нулю. Знак полной энергии определяет характер движения небесного тела (рис. 1.24.6).

При E = E₁ r_max. В этом случае небесное тело движется по эллиптической орбите (планеты Солнечной системы, кометы).

Рисунок 1.24.6. Диаграмма энергий тела массой m в гравитационном поле, создаваемом сферически симметричным телом массой M и радиусом R

При E = E₂ = 0 тело может удалиться на бесконечность. Скорость тела на бесконечности будет равна нулю. Тело движется по параболической траектории.

При E = E₃ > 0 движение происходит по гиперболической траектории. Тело удаляется на бесконечность, имея запас кинетической энергии.

Законы Кеплера применимы не только к движению планет и других небесных тел в Солнечной системе, но и к движению искусственных спутников Земли и космических кораблей. В этом случае центром тяготения является Земля.

Первой космической скоростью называется скорость движения спутника по круговой орбите вблизи поверхности Земли.

Эту скорость необходимо набрать, чтобы преодолеть притяжение Земли и вывести тело (например, спутник) на орбиту Земли.

Второй космической скоростью называется минимальная скорость, которую нужно сообщить космическому кораблю у поверхности Земли, чтобы он, преодолев земное притяжение, превратился в искусственный спутник Солнца (искусственная планета). При этом корабль будет удаляться от Земли по параболической траектории.

Рис. 1.24.7 иллюстрирует космические скорости. Если скорость космического корабля равна υ₁ = 7.9·10 3 м/с и направлена параллельно поверхности Земли, то корабль будет двигаться по круговой орбите на небольшой высоте над Землей. При начальных скоростях, превышающих υ₁, но меньших υ₂ = 11,2·10 3 м/с, орбита корабля будет эллиптической. При начальной скорости υ₂ корабль будет двигаться по параболе, а при еще большей начальной скорости – по гиперболе.

Источник

Законы Ньютона для школьников

Исаак Ньютон и его законы: Freepick

Законы Ньютона описывают множество физических явлений, которые происходят во Вселенной. Со времен Ньютона наука колоссально продвинулась вперед, но и сейчас при проектировании новых автомобилей и запуске на Луну космических кораблей ученые ориентируются на эти законы. Их всего три, и каждому школьнику придется их изучить.

Первый закон Ньютона

В первом законе Ньютон обобщил информацию о том, как движется тело под действием сил. В жизни постоянно наблюдаем, как взаимодействуют тела, будь то удар по мячу или притягивание магнита к дверце холодильника. Мера каждого такого взаимодействия — сила, то есть величина, которая показывает, как и в каком направлении оно происходит.

Из наблюдений и опыта известно, что тела двигаются, когда на них действуют другие тела. Например, мяч бросаем, напрягая для толчка мышцы руки. Когда его ловим, то замедляем и останавливаем тоже рукой. Если другие тела не действуют, то тело или останется в покое, или будет совершать равномерное и прямолинейное движение.

Что такое магнитное поле, его свойства и источники

Это правило известно как закон инерции, а движение, которое в этом случае возникает, называют движением по инерции. Например:

в случае резкого торможения пассажиры автобуса двигаются по инерции вперед;
велосипедист вылетит вперед по инерции при резком торможении;
спутники на земной орбите двигаются по инерции без расхода топлива.

Первым об инерции написал еще Галилей, а Исаак Ньютон сформулировал правило в форме закона. Он звучит так: существуют инерциальные системы отсчета, относительно которых тело при отсутствии на него внешнего воздействия (или при его компенсации) будет сохранять состояние покоя или равномерно прямолинейно двигаться.

Иллюстрация законов Ньютона: Freepick

Суть первого закона легко продемонстрировать на примере: если на абсолютно ровной дороге толкнуть тележку и пренебречь силой трения колес и сопротивлением воздуха, то она на одинаковой скорости будет катиться бесконечно долгий период времени.

Сила тяжести: формула, единицы измерения, особенности

Но существуют и неинерциальные системы, в которых скорости тел могут меняться без силы. Например, такая система — автобус, в котором пассажиры едут, не ощущая движения. Стоит ему резко затормозить, как всех бросит вперед, хотя сила при этом не действует, то есть движение относительно автобуса оказывается беспричинным. В этом случае говорят о неинерциальной системе отсчета.

Движение в таких системах происходит с ускорением. При расчетах учитываются силы инерции.

Таким образом, говоря о скорости тела, обязательно указывают, относительно какой инерциальной системы отсчета она измерялась, так как для разных систем она может быть разной. Ускорение тела во всех системах сохраняется.

Второй закон Ньютона

Основываясь на повседневных наблюдениях, можно сделать вывод, что ускорение, которое сообщается телу тем больше, чем большая сила на него действует. К примеру, мяч летит быстрее, если был сильнее удар. О количественной связи между силой, которая действует на тело, и приобретаемым ускорением говорит второй закон Ньютона.

Почему Луна не падает на Землю: пояснения

Рассмотрим такой опыт:

Берут два мяча — легкий шар для пинг-понга и тяжелый шар из железа.
Действуют на них с одинаковой силой.
Тяжелый шар набирает маленькую скорость, то есть получает небольшое ускорение.
Легкий шар двигается с большей скоростью.

Ускорение рассчитывают по формуле: a = 2S/t², где S — путь, t — время его прохождения.

Если использовать различные силы и отмечать полученное ускорение, то окажется, что отношение силы к ускорению — постоянная величина для конкретного шара. Этот показатель называют массой.

Масса — мера инертности тела. Она указывает на то, как сильно тело оказывает сопротивление изменениям скорости. Чем больше масса, тем сложнее разгонять и останавливать тело.

Движение Земли вокруг Солнца и вокруг своей оси

Как же Ньютон сформулировал второй закон? Звучит он так: ускорение, которое получает тело, прямо пропорционально равнодействующей всех сил, действующих на него, и обратно пропорционально его массе (F = m×a).

При проведении расчетов на основании второго закона Ньютона важно выбирать единицы силы и массы. В СИ единица массы — килограмм (кг), а единица силы — ньютон (Н). Один ньютон равняется силе, под воздействием которой тело с массой 1 кг получает ускорение 1 м/с².

Третий закон Ньютона

Сила никогда не возникает самостоятельно, это явление предполагает наличие другой силы. Когда одно тело действует с определенной силой на другое («действие»), то и второе тело с определенной силой действует на первое («противодействие»):

Теплопроводность воды и льда и их особенности

Когда соударяются два бильярдных шара, то оба меняют скорость.
Земля притягивает Луну, заставляя ее двигаться по определенной траектории, но и Луна притягивает Землю. Ускорение нашей планеты под воздействием этой силы обнаруживается в приливах морей и океанов.

Земля и Луна: Freepick

Что еще известно о силах, которые возникают во время взаимодействия двух тел? Рассмотрим следующий опыт:

Берут два динамометра (приборы с пружиной для измерения сил), цепляют их друг за друга, растягивают и наблюдают за показаниями.
Оказывается, что при любом растяжении показания обоих динамометров совпадут, то есть друг на друга они воздействуют с одинаковой силой.

Опыт показывает, что при действии одного тела на другое с определенной силой, второе также действует на первое. Сила этого действия равна первой по модулю и противоположна по направлению. При этом обе силы находятся на одной прямой. Такова формулировка закона равенства действия и противодействия, открытого Ньютоном и известного как третий закон движения.

Закон Паскаля простыми словами: суть и значимость

В жизни сталкиваемся с этим законом довольно часто. Так, в при перетягивании каната каждая из команд действует, согласно третьему закону Ньютона, на другую (через канат) с одинаковой силой. При этом выигрывают (перетягивают канат) не те, кто сильнее тянет, а те, кто лучше упирается в поверхность Земли.

Третий закон Ньютона:

Объясняет движение транспортных средств. Лошадь двигает и везет нагруженные сани, так как на ее копыта действует большая сила трения от дороги, чем на скользкие полозья саней. На идеально скользких поверхностях, от которых не получится оттолкнуться, ни сани с лошадью, ни поезда, ни автомобили не смогут сдвинуться с места.
Помогает рассчитать силу отдачи во время выстрела, так как в этом случае снаряд летит в одну сторону, а орудие отталкивается в другую. Отдача представляет собой противодействие снаряда, действующее на орудие. Таким образом, ускорения, получаемые пушкой и снарядом, направлены противоположно, а по модулю обратно пропорциональны массам этих тел. В результате снаряд и пушка приобретут противоположно направленные скорости, находящиеся в том же отношении.
Описывает падение тел. Яблоко падает на поверхность Земли, так как оно притягивается земным шаром. Но при этом и само яблоко притягивает планету. Можно сказать, что яблоко с Землей падают друг на друга, но отличается скорость их падения из-за значительной разницы в массе.

Состояния воды в природе: условия перехода, необычные факты

Классическая механика и ее принципы формировались длительное время. На протяжении многих веков ученые выяснили законы, по которым двигаются материальные тела. Ньютон в работе «Математические начала натуральной философии» обобщил накопленные знания. Выдающийся физик сформулировал три закона, которые известны всему миру.

Уникальная подборка новостей от нашего шеф-редактора

Источник

➤