§ 1. Материальная точка. Система отсчёта
В окружающем нас мире всё находится в непрерывном движении. Под движением в общем смысле этого слова подразумевают любые изменения, происходящие в природе. Наиболее простым видом движения является механическое движение.
Из курса физики 7 класса вы знаете, что механическим движением тела называется изменение его положения в пространстве относительно других тел, происходящее с течением времени.
При решении различных научных и практических задач, связанных с механическим движением тел, нужно уметь описывать это движение, т. е. определять траекторию, скорость, пройденный путь, положение тела и некоторые другие характеристики движения для любого момента времени.
Например, запуская летательный аппарат с Земли на другую планету, учёные должны предварительно рассчитать, где находится эта планета относительно Земли в момент посадки на неё аппарата. А для этого необходимо выяснить, как меняются с течением времени направление и модуль скорости этой планеты и по какой траектории она движется.
Механическое движение воздушного шара
Из курса математики вы знаете, что положение точки можно задать с помощью координатной прямой или прямоугольной системы координат (рис. 1). Но как задать положение тела, имеющего размеры? Ведь каждая точка этого тела будет иметь свою собственную координату.
Рис. 1. Положение точки можно задать с помощью координатной прямой или прямоугольной системы координат
При описании движения тела, имеющего размеры, возникают и другие вопросы. Например, что следует понимать под скоростью тела, если оно, перемещаясь в пространстве, одновременно вращается вокруг собственной оси? Ведь скорость разных точек этого тела будет различна как по модулю, так и по направлению. Например, при суточном вращении Земли диаметрально противоположные её точки движутся в противоположных направлениях, причём чем ближе к оси расположена точка, тем меньше её скорость.
Каким же образом можно задать координату, скорость и другие характеристики движения тела, имеющего размеры? Оказывается, во многих случаях вместо движения реального тела можно рассматривать движение так называемой материальной точки, т. е. точки, обладающей массой этого тела.
Для материальной точки можно однозначно определить координату, скорость и другие физические величины, так как она не имеет размеров и не может вращаться вокруг собственной оси.
Материальных точек нет в природе. Материальная точка — это понятие, использование которого упрощает решение многих задач и при этом позволяет получить достаточно точные результаты.
Тело можно считать материальной точкой в тех случаях, когда его размерами (а значит, и формой, и вращением) можно пренебречь, поскольку они несущественны в условиях решаемой задачи.
- Материальная точка — это понятие, вводимое в механике для обозначения тела, которое рассматривается как точка, имеющая массу
Практически всякое тело можно рассматривать как материальную точку в тех случаях, когда расстояния, проходимые точками тела, очень велики по сравнению с его размерами.
Например, материальными точками считают Землю и другие планеты при изучении их движения вокруг Солнца. В данном случае различия в движении разных точек любой планеты, вызванные её суточным вращением, не влияют на величины, описывающие годовое движение.
Материальными точками считают планеты при изучении их движения вокруг Солнца
Но при решении задач, связанных с суточным вращением планет (например, при определении времени восхода солнца в разных местах поверхности земного шара), считать планету материальной точкой бессмысленно, так как результат задачи зависит от размеров этой планеты и скорости движения точек её поверхности. Так, например, во Владимирской часовой зоне солнце взойдёт на 1 ч позже, в Иркутской — на 2 ч позже, а в Московской — на 8 ч позже, чем в Магаданской.
За материальную точку правомерно принять самолёт, если требуется, например, определить среднюю скорость его движения на пути из Москвы в Новосибирск. Но при вычислении силы сопротивления воздуха, действующей на летящий самолёт, считать его материальной точкой нельзя, поскольку сила сопротивления зависит от формы и скорости движения самолёта.
За материальную точку можно принять самолёт, летящий из одного города в другой
Тело, движущееся поступательно 1 , можно принимать за материальную точку даже в том случае, если его размеры соизмеримы с проходимыми им расстояниями. Например, поступательно движется человек, стоящий на ступеньке движущегося эскалатора (рис. 2, а). В любой момент времени все точки тела человека движутся одинаково. Поэтому если мы хотим описать движение человека (т.е. определить, как меняется со временем его скорость, путь и т. д.), то достаточно рассмотреть движение только одной его точки. При этом решение задачи значительно упрощается.
При прямолинейном движении тела достаточно одной координатной оси для определения его положения.
Например, положение тележки с капельницей (рис. 2, б), движущейся по столу прямолинейно и поступательно, в любой момент времени можно определить с помощью линейки, расположенной вдоль траектории движения (тележка с капельницей принимается за материальную точку). Линейку в этом опыте удобно принять за тело отсчёта, а её шкала может служить координатной осью. (Напомним, что телом отсчёта называется тело, относительно которого рассматривается изменение положения других тел в пространстве.) Положение тележки с капельницей будет определяться относительно нулевого деления линейки.
Рис. 2. При поступательном движении тела все его точки движутся одинаково
Но если необходимо определить, например, путь, который прошла тележка за определённый промежуток времени, или скорость её движения, то помимо линейки понадобится прибор для измерения времени — часы.
В данном случае роль такого прибора выполняет капельница, из которой через равные промежутки времени падают капли. Поворачивая кран, можно добиться того, чтобы капли падали с интервалом, например, в 1 с. Посчитав число промежутков между следами капель на линейке, можно определить соответствующий промежуток времени.
Из приведённых примеров ясно, что для определения положения движущегося тела в любой момент времени, вида движения, скорости тела и некоторых других характеристик движения необходимы тело отсчёта, связанная с ним система координат (или одна координатная ось, если тело движется вдоль прямой) и прибор для измерения времени.
- Система координат, тело отсчёта, с которым она связана, и прибор для измерения времени образуют систему отсчёта, относительно которой рассматривается движение тела
Конечно, во многих случаях нельзя непосредственно измерить координаты движущегося тела в любой момент времени. У нас нет реальной возможности, например, расположить измерительную ленту и расставить наблюдателей с часами вдоль многокилометрового пути движущегося автомобиля, плывущего по океану лайнера, летящего самолёта, снаряда, вылетевшего из артиллерийского орудия,различных небесных тел, движение которых мы наблюдаем, и т. д.
Тем не менее знание законов физики позволяет определить координаты тел, движущихся в различных системах отсчёта, в частности в системе отсчёта, связанной с Землёй.
Вопросы
- Что называется материальной точкой?
- С какой целью используется понятие «материальная точка»?
- В каких случаях движущееся тело обычно рассматривают как материальную точку?
- Приведите пример, показывающий, что одно и то же тело в одной ситуации можно считать материальной точкой, а в другой — нет.
- В каком случае положение движущегося тела можно задать с помощью одной координатной оси?
- Что такое система отсчёта?
Упражнение 1
- Можно ли считать автомобиль материальной точкой при определении пути, который он прошёл за 2 ч, двигаясь со средней скоростью, равной 80 км/ч; при обгоне им другого автомобиля?
- Самолёт совершает перелёт из Москвы во Владивосток. Может ли рассматривать самолёт как материальную точку диспетчер, наблюдающий за его движением; пассажир этого самолёта?
- Когда говорят о скорости машины, поезда и других транспортных средств, тело отсчёта обычно не указывают. Что подразумевают в этом случае под телом отсчёта?
- Мальчик стоял на земле и наблюдал, как его младшая сестра каталась на карусели. После катания девочка сказала брату, что и он сам, и дома, и деревья быстро проносились мимо неё. Мальчик же стал утверждать, что он вместе с домами и деревьями был неподвижен, а двигалась сестра. Относительно каких тел отсчёта рассматривали движение девочка и мальчик? Объясните, кто прав в споре.
- Относительно какого тела отсчёта рассматривают движение, когда говорят: а) скорость ветра равна 5 м/с; б) бревно плывёт по течению реки, поэтому его скорость равна нулю; в) скорость плывущего по реке дерева равна скорости течения воды в реке; г) любая точка колеса движущегося велосипеда описывает окружность; д) солнце утром восходит на востоке, в течение дня движется по небу, а вечером заходит на западе?
1 Поступательное движение — движение тела, при котором прямая, соединяющая любые две точки этого тела, перемещается, оставаясь всё время параллельной своему первоначальному направлению. Поступательным может быть как прямолинейное, так и криволинейное движение. Например, поступательно движется кабина колеса обозрения.
Источник
Материальная точка
Для описания движения тела нужно знать, как движутся различные его точки. Однако в случае поступательного движения все точки тела движутся одинаково. Поэтому для описания поступательного движения тела достаточно описать движение одной его точки.
Также во многих задачах механики нет необходимости указывать положения отдельных частей тела. Если размеры тела малы по сравнению с расстояниями до других тел, то данное тело можно описывать как точку.
Слово «материальная» подчеркивает здесь отличие этой точки от геометрической. Геометрическая точка не обладает никакими физическими свойствами. Материальная точка может обладать массой, электрическим зарядом и другими физическими характеристиками.
Одно и то же тело в одних условиях можно считать материальной точкой, а в других – нет. Так, например, рассматривая движение корабля из одного морского порта в другой, корабль можно считать материальной точкой. Однако, при исследовании движения шарика, который катится по палубе корабля, корабль считать материальной точкой нельзя. Движение зайца, убегающего по лесу от волка, можно описывать, приняв зайца за материальную точку. Но нельзя считать зайца материальной точкой, описывая его попытки спрятаться в нору. При изучении движения планет вокруг Солнца их можно описывать материальными точками, а при суточном вращении планет вокруг своей оси такая модель неприменима.
Важно понимать, что в природе материальных точек не существует. Материальная точка – это абстракция, модель для описания движения.
Примеры решения задач по теме «Материальная точка»
| Задание | Можно ли принять за материальную точку: а) автомобиль, въезжающий в гараж; б) автомобиль на трассе Москва-Ярославль? |
| Ответ | а) автомобиль, въезжающий в гараж нельзя принять за материальную точку, так как в данных условиях существенны размеры автомобиля; |
б) автомобиль на трассе Москва-Ярославль можно принять за материальную точку, так как размеры автомобиля намного меньше расстояния между городами.
| Задание | Указать, в каких из приведенных ниже случаях изучаемое тело можно принять за материальную точку: а) рассчитывают давление трактора на грунт; б) вычисляют высоту, на которую поднялась ракета; в) рассчитывают работу при поднятии в горизонтальном положении плиты перекрытия известной массы на заданную высоту; г) определяют объем стального шарика при помощи измерительного цилиндра (мензурки). |
| Ответ | а) при расчете давления трактора на грунт трактор нельзя принять за материальную точку, так как в данном случае важно знать площадь поверхности гусениц; |
б) при расчете высоты подъема ракеты, ракету можно считать материальной точкой, так как ракета движется поступательно и расстояние, пройденное ракетой. намного больше ее размеров;
в) в данном случае плиту перекрытия можно считать материальной точкой. так как она совершает поступательное движение и для решения задачи достаточно знать перемещение ее центра масс;
г) при определении объема шарика. шарик считать материальной точкой нельзя, потому что в данной задаче существенны размеры шарика.
| Задание | Можно ли принять Землю за материальную точку при расчете: а) расстояния от Земли до Солнца; б) пути, пройденного Землей по орбите вокруг Солнца; в) длины экватора Земли; г) скорости движения точки экватора при суточном вращении Земли вокруг оси; д) скорости движения Земли по орбите вокруг Солнца? |
| Ответ | а) в данных условиях Землю можно принять за материальную точку, так как ее размеры намного меньше расстояния от нее до Солнца; |
б) в данных условиях Землю можно считать материальной точкой, так как путь, который она проходит по орбите намного превышает ее размеры;
в) при измерении длины экватора Землю считать материальной точкой нельзя, потому что в данном случае имеют значения размеры Земли;
г) в данном случае Землю нельзя считать материальной точкой, так при измерении скорости движения точки экватора при суточном вращении планеты, важны размеры планеты и ее форма;
д) в данном случае Землю можно принять за материальную точку, так как размеры орбиты намного превосходят размеры Земли.
Источник
Является ли земля материальной точкой. Решение. Материальная точка. А1. Можно ли Землю считать материальной точкой
A1. Можно ли принять за материальную точку: 1) Землю при расчете: а) расстояния от нее до Солнца; б) пути, пройденного Землей по орбите вокруг Солнца за месяц; в) длины ее экватора; 2) ракету при расчете: а) ее давления на грунт; б) максимальной высоты ее подъема; 3) поезд длиной 1 км при расчете пути, пройденным: а) за 10 с; б) за 1 час.
Решение
Рассмотрим случай 1 а более подробно:
1 б. Так как размеры Земли много меньше расстояния, которое оно проходит по орбите за месяц, то Землю можно считать материальной точкой.
1 в. Так как при расчете длины экватора Земли нельзя пренебречь ее размерами, то Землю нельзя считать материальной точкой.
2 а. Давление ракеты равно \(p=\frac\) , где F – сила тяжести ракеты; S – площадь поперечного сечения опоры ракеты, т.е. размерами ракеты пренебрегать нельзя. Следовательно, ракету нельзя считать материальной точкой.
2 б. Так как размеры ракеты много меньше расстояния, которое оно проходит для достижения максимальной высоты подъема, то ракету можно считать материальной точкой.
Как возникает необходимость во введении новых понятий? Какие понятия наиболее точно и емко описывают окружающий мир? Как наиболее естественно и целесообразно вводить новые понятия?
Чтобы ответить на эти и другие вопросы, посмотрим на процесс построения понятий и их развитие с точки зрения организации процесса учебной деятельности учащихся и учителя на уроках физики.
Образование понятия – узловой момент познания, так как понятие – совокупность суждений об общих и существенных качествах объектов. В понятии сохраняется и передается добытое знание.
Процесс формирования физических понятий сложный, многоступенчатый и диалектически противоречивый. В этой деятельности можно выделить следующие наиболее важные и общие приемы: а) анализ; б) синтез; в) сравнение; г) обобщение; д) абстрагирование; е) идеализация.
На первом этапе, в образах, созданных на уровне формирования представлений в ходе аналитико-синтетической деятельности, мысленно выделяются одно или несколько свойств объекта, важных с точки зрения исследователя для решения поставленной задачи. После этого в ходе сравнения мысленно отбирают все объекты, имеющие эти свойства, и определяют их по этим свойствам, то есть обобщают. В сознании человека в процессе абстрагирования создаются образы объектов чувственного мира, и эти образы заменяют в познавательном процессе реально существующие объекты, которые сознание как бы опредмечивает. В образах объектов некоторые свойства можно сохранять, отбрасывать, вводить, то есть конструировать новые абстракции. С помощью системы абстрактных объектов создается собственно научный язык, позволяющий формулировать научные положения и осуществлять научные рассуждения.
В том случае, если мы наделяем мыслимый предмет какими-то свойствами, которых он в действительности не имеет, например, если мы наделим физическое тело способностью восстанавливать при деформации свой первоначальный объём или форму, то построим понятие «абсолютно упругое тело», то мы строим идеальный объект. Если лишаем тело каких-то свойств, которым он в действительности обладает, например, если мы лишим физическое тело способности восстанавливать при деформации свой первоначальный объём или форму, то получим понятие «абсолютно неупругое тело», то мы также строим идеальный объект. Сам же прием называется идеализацией.
Результатом этой деятельности являются некоторые допущения, предположения, догадки об изучаемом объекте или явлении – рождается гипотеза, включающая в себя новые, более широкие понятия, содержащие в себе понятия, отображающие более узкий уровень знания. Как предположительное, вероятное знание, ещё не доказанное логически, и не настолько подтверждённое опытом, чтобы считаться достоверной теорией, гипотеза не истинна и не ложна – она неопределённа.
Способы проверки гипотез можно разделить на эмпирические и теоретические. Первые включают непосредственное наблюдение явлений, предсказываемых гипотезой (если оно возможно), и подтверждение в опыте следствий, вытекающих из неё. Теоретическая проверка охватывает исследование гипотезы: на непротиворечивость; на эмпирическую проверяемость; на приложимость ко всему классу изучаемых явлений; на выводимость её из более общих положений; на утверждение её посредством перестройки той теории, в рамках которой она выдвинута. На данном этапе происходит уточнение и углубление понятий в удобной для практики и физико–математических рассуждений форме.
В процессе построения теории, понятия включаются как составная часть данной теории в более широкую структуру. В каждой структуре можно выделить систему понятий, язык (для формирования понятий и высказываний) и логику (для получения одних высказываний из других). И только с этого момента, сформированное в рамках некоторой теории физическое понятие становится не только предметом исследования, но и средством познания объективной действительности. При этом свою познавательную функцию оно выполняет в зависимости от того, какие свойства изучаемых физических объектов в нём зафиксированы. Оно моделирует именно это, а не какое-то другое свойство исследуемого объекта.
Существуют различные способы введения идеальных объектов :
Через абстракцию отождествления;
Через операцию предельного перехода;
Через операцию дефиниции.
Идеализация применяется не только к непосредственно исследуемым объектам, но и к познавательным ситуациям (так, ряд идеализирующих допущений предшествует построению моделей), условиям задачи, процессам, методологическим предписаниям и т.п.
Например, под «точкой» понимается идеальный объект, не имеющий размеров. Для решения каких-то проблем познания, например, указания центра окружности, такое определение «точки» вполне пригодно. А можно ли из множества точек построить какой-нибудь объект, например «линию»? «физическое тело»? По-видимому, нет. Из 2, 3, 4 и т.д. точек, не имеющих размеров, мы получим объект, также не имеющий размеров, то есть точку.
Для выполнения задачи по построению такого идеального объекта как «линия», это понятие будет работать только в том случае, если оно будет усовершенствовано. Пусть точке как безразмерному объекту будет принадлежать некоторая окрестность вокруг этой точки, и тогда, располагая их в определенном порядке, мы можем сконструировать любые идеальные объекты (шар, круг, параболу и т.д.). Именно этот подход лежит в основе метода интегрирования.
Для моделирования реальных объектов и явлений реального мира, «точка» должна обладать другим свойством – массой. Новый идеальный объект познания зафиксирован в понятии «материальная точка». При определенных условиях, мы целый объект можем рассматривать как «материальную точку», что удобно для многих задач механики. Если «материальная точка» будет обладать некоторой окрестностью, то из множества таких «точек» можно сконструировать новый объект – «абсолютно твердое тело». Данное понятие является центральным в физике твердого тела.
Невесомая и нерастяжимая нить с материальной точкой на конце образует модель математического маятника, которая позволяет исследовать законы гармонических колебаний.
Невесомая и нерастяжимая нить, лежащая на гладкой поверхности, на концах которой находятся материальные точки, образует модель связанных тел.
Невесомая и нерастяжимая нить, перекинутая через невесомый и гладкий блок, в котором отсутствует трение, на концах которой находятся материальные точки, образует модель движения тел на блоке.
Можно продолжать и дальше, но и на этих примерах видно, что для решения различных целей познания, мы должны создавать новые понятия, абстракции, идеализации и модели, хоть и генетически связанные между собой, но все же несущие в себе основные черты именно того явления моделью которого они являются и более никакого.
Каковы границы упрощения (обеднения) природного явления посредством идеализации? Эти границы очерчены самой реальностью – в тот момент, когда модель перестает давать достоверный результат, она становится своей противоположностью – бесплодной фантазией. Приведем сценарий одного из занятий посвященного одной из самых известных идеализаций – «материальной точке».
Можно ли Землю считать материальной точкой?
1. Распространены следующие определения: «Материальной точкой называется тело, размеры которого пренебрежимо малы сравнительно с его расстояние до других тел». Или даже: «Материальная точка – это тело, вся масса которого сосредоточена в одной точке».
Развивая последнюю мысль, логично добавить: материальных точек в природе нет и быть не может, так как тело имеет конечные размеры. Получается, что физика тщательно и кропотливо исследует то, что не существует. Разумеется, в физике идеализированные модели встречаются на каждом шагу. Именно поэтому надо твердо представлять, по какому направлению идет идеализация в конкретных понятиях, каковы границы применимости веденных моделей.
Попробуйте исправить приведенные выше определения материальной точки, обобщив особенности вращения Земли вокруг Солнца.
Ответ: Движение Земли вокруг Солнца не является поступательным, так как Земля вращается вокруг своей оси. Однако совершенно очевидно, что на это вращение Солнце никак не влияет: поле тяжести Солнца сферически симметрично и достаточно однородно в пределах пространства, занятого Землей, и сила притяжения Солнцем не создает вращающего момента относительно центра Земли. Движение центра масс Земли не зависит от её вращения.
Конечно, Земля неоднородна по плотности, и к тому же не является шаром. Поле тяготения Солнца незначительно меняется в пределах части пространства, Занятого Землёй. По этим причинам, во-первых, отличен от нуля вращательный момент солнечного притяжения, и, во-вторых, возникают солнечные приливы – перемещающиеся с вращением Земли деформации её верхних слоев. Оба фактора оказывают влияние на суточное вращение Земли, однако это влияние столь незначительно, что астрономические наблюдения за периодом суточного вращения Земли до самого последнего времени являлись основой службы точного (эталонного) времени.
Следовательно, если нам нужно рассчитывать траекторию какой-то точки Земли в пространстве, мы можем временно забыть о вращении Земли, полагать всю массу сосредоточенной в её центр, рассчитать движение точки с такой массой, а затем наложить на рассчитанное движение суточное вращение Земли.
Итак, в данном случае ускорения всех точек Земли под действием только притяжения Солнца и других планет (кроме самой Земли) одинаковы и совпадают с величиной ускорения, вычисленной в предположении, что вся масса Земли сосредоточена в её центре. Скорость вращения Земли, её форма, распределение массы по объему на величину этого ускорения не влияют. Этот результат – следствие малого размера Земли сравнительно с её расстоянием до Солнца.
Высказанные соображения станут ещё очевиднее, если применить их к Венере. Венера покрыта плотным слоем облаков, так что детали её поверхности неразличимы. И никакие наблюдения за движением Венеры вокруг Солнца, не могли ответить на вопрос: каково собственное вращение этой планеты?
2. Можно ли принять Землю за материальную точку при расчете: а) расстояния от Земли до Солнца или Луны; б) пути, пройденного Землёй по орбите вокруг Солнца за месяц; в) длины экватора Земли; г) скорости движения точки экватора при суточном вращении Земли вокруг оси; д) скорости движения Земли по орбите вокруг Солнца; е) движения искусственного спутника вокруг Земли; ж) при посадке космического корабля на её поверхность?
Ответ: а) Да, так как расстояние от Земли до Луны и до Солнца во много раз больше размеров Земли; б) Да, так как путь пройденный Землёй по орбите за месяц во много раз больше размеров Земли; в) Нет, так как диаметр это один из характерных размеров Земли, что противоречит самому определению материальной точки; г) Нет, так как длина окружности экватора так же один из характерных размеров Земли, что противоречит самому определению материальной точки; д) Да так в этом случае путь проходимый Землей, во много раз больше размеров Земли; е) Нет, так как радиус орбиты спутника должен быть больше радиуса Земли, то есть при расчете орбиты спутника мы не имеем право не учитывать истинные размеры Земли; ж) Нет, так как в этом случае мы должны учитывать не только размеры Земли, но и то, что находится в точке предполагаемого приземления – вода или суша, а также характер рельефа.
3. Закон всемирного тяготения записывается следующим образом: .
Анализируя это соотношение, легко прийти к любопытным выводам: при неограниченном уменьшении расстояния между телами сила их взаимного притяжения должна возрастать также неограниченно, становясь бесконечно большой при нулевом расстоянии.
Почему же в таком случае мы без особого труда поднимаем тело с поверхности другого (например, камень с земли), встаем со стула и т.д.?
Ответ: Можно указать на несколько неточностей в приведенном тексте софизма рассуждении . Во-первых, закон всемирного тяготения, записанный в форме , относится только к точечным телам или к эллипсоидам и шарам. Во-вторых, если тела соприкасаются, это вовсе не означает, что равна нулю величина R , фигурирующая в формуле закона всемирного тяготения. Так, например, совершенно очевидно, что для двух соприкасающихся шаров с радиусами R 1 и R 2 нужно записать: R = R 1 + R 2 .
Источник